Voici plusieurs problèmes à résoudre

Trouver la somme de tous les nombres qu^on obtient en écrivant cbar* cun des nombres de m chiiFres, autant de l'ois cp^il a d^unitcs.

On demande la formule pour calculer lu somme des n premiers termes de chacune des séries :

171 277, 3777, 47777, 577777, 6777777, etc. 18, 3888, 588888, 78888888, 9888888888, etc.

En général, a étant un nombre de m cliiilircs, on demande la formule pour calculer la somme des n premiers termes de la sédc , dont le i;°>* terme est le nombre v suivi de a écrit v fois de suite. [ Le v"^* terme

pourrait étxe le nombre impair av — i suivi de a écrit ai;—- 1 fois succès^ sivn : on {)cut trouver aussi la valeur de tous les chiffres considéré» comme exprimant des unités simples. 3

A la suite des 9 chiffires signifîcatiis écrits v fois, on place successivement les 1 , a, 3, 4i •••) 9 premiers chiffres; ce qui fournit 9 termes pour cliaque valeur de i'. On demande, 1° la somme de tous les termes ainsi formés qui répondent aux valeurs de v, depuis o jusqu^à m\ ai° le nombre total de chiHres qu^il faut pour écrire tous ces termes ; 3*^ enfin la valeur de toutes les sommes qu^on obtient en additionnant, dans chacun des mêmes termes, les chiffres considérés comme exprimant des unités simples ?

Trouver la somme de tous les termes formes avec les nombres de fit chiflres, en écrivant successivemciit le premier de ces nombres, les a premiers, les 3 premiers, ..., et enfin tous les mêmes nombres.

Ou forme une série avec les nombres entiers , depuis 1 jusqu^au plus grand de m chiffres, en écrivant chaque nombre à la droite de celui' qui est itaincdiatement plus petit. On demande, i** la somme de tous les termes de la série; a** la valt-ur de tous les nombres obtenus en prenant^ dans cha(|uc tcrmo de ceu.- série , la somme des chiffres , considérés comme exprimant des unités simples ; 3^* enfin le nombre total de chifires employés pour écrire la série proposée.

Ou écrit un nombre donné a à la droite de chactm des nombres entiers^ depuis 1 jusqu^au plus grand de m chiffres*, on demande, 1° la somme de tous les termes de la série résultante; o,** la valeur de toutes ]' s sommes qu'ion trouve (;n addilionnnnt , dans chaque terme, les chiffres considérés comme exprimant des unités simples.

Trouver combien il faut de chiffres pour composer une table de loga» ritimies, depuis 1 jusqu^à lo", inclusivement, n cLmt «^ 10 et les logarithmes ayant p décimales.

Trouver combien il faut de chiffroji pour écrire fa série formée avec les nombres entiers, depuis 1 jusqu^au plus grand de m chiffres, en plaçant chaque nombre autant de fois quHl a d^mités.

Combien faut-il de chiffres pour écrire la série formée avec les nombres entiers, depuis 1 jusqu'au plus grand de m chiffres, en plaçant chaque nombre à la droite de celui moindre d'une unité f

Soient tous le^ nombres entiers que Ton peut écrire avec u des chiffres ordinaires ; soit un de cet» nombres de m chifires ; soient placés les uns sous les autres, et en avançant chaque fois de k rangs vers la droite, le nombre proposé, puis successivement son double, son triple, sou quadruple. ..., son produit par 1;, et soit prise la somme de tous les nombres ainsi disposés. Ayant formé ainsi, avec chaqua nombre de m des u chiffres, les n sommes qui répondent à v=: 1, a, 3, 4^ •••1 1^ on demande, i° la \aleur P de toutes les sommes formées de cette manière avec tous le^ nombres de m chiffres ; a** la valeur Q de toutes les sommes (|ue Ton peut

ainsi produire avec tous les nombres entiers , depuis le plus petit d^nn JQsqa*au plus ^and de m des u cliiffres proposes ; 3° le nombre R des opérations à faire pour avoir ces dernières sommes ; 4° enfin ., le nombre S de tous les nombres à écrire pour former les mêmes sommes , en supposant qu^on écrive les nombres et le rtôultat de chaque opération. [On pourrait écrire les uns sous les autres et en avançant chaque fois de k rangs vers la 'droite, le nombre proposé, puis successivement ce nombre augmenté de ^, de a^, de 3^, ..., de v^.J

De quelques séries infinies.

3g6. Lorsque Pcxposant m est un nombre entier positif, il est 'démontre , dans tousles traités d'^algcbre , que

Voyons si celle formule est exacte lorsque m est un nombre quelconque , positif ou négatif. A cet effet , considérons les v iéries indéfinies

X* -f- etc.

1 + hX'{- \ ^ ^ x' + etc.

c' = i + cor + -^ ^ + etc.

A' = 1 4- ^JT + - ^*~'^ j' + etc.

Dans ces v valeurs, les nombres a, ^, c, ..., k^ sont quelconques, mais tous sous la forme positive. Si Ton conçoit que le produit a^b^c' .,, A' de ces v valeurs soit ordonné par rapport aux puissance ascendantes de x \ quVnsuite on y suppose entiers et réellement positifs tous les nombres a^h^c^ •••i A 5 ce produit, d'^aprcs la formule (C), aura alors pour facteurs

(i+ar)«, (1+^)*, (i+x7, ..., (i+x/;

de sorte que si Ton fait /ï4"^ + ^+ ••• + ^ = ''> <>° ^v^rti

Et puîsqu^on vient de supposer entiers et réellement positifs les nombres a, 6, c, ..., A:, il s^ensuit que r est aussi un nombre entier positif,' et qu'^ainsi on a

a^Vd... A'= i+rx+ li^^^^ :r*+ clc. ... (i)

Or^ il est évident que si le produit a'b'c' ... L' a une certaine forme lorsque a, b, c, ... L sont des nombres quelconques^ il conservera la même forme quand a, b, c, ... k deviendront des nombres entiers indéterminés , sans changer de signes j car il est visible qu^alors il n'y aura pas de nouvelles réductions dans ce produit, et que par suite sa forme restera la même. Donc le probuît a'b'c^ ... A' avait la forme (i) avant d'y supposer entiers et réellement positifs les nombres /x, 6, c, ..., A. De sorte que quels que soient ces nombres, le produit a'b'd ... A' aura toujours la forme ( i ).

Gela posé, si Ton suppose égaux entre eux les v nombres positifs quelconques a^ b^ c, ..., A, on aura rma-j-^-f-c-j-»-^ -f- A = vfl ; puis a'= 6' =: c'= ••• = A' et a^b^d ... k'=a^*

D'ailleurs, en prenant a égal à la fraction positive —, il viendra

r= va = u, nombre entier positif; donc le second membre de ridentité (i) est le développement de (i+J^)"» déjà le premier

membre vaut «'*'; donc ( i -f- ^)" = û'^, ou ( i -f- ^^ = û'« Si donc on remplace , dans l'expression de a\ le nombre a par sa

valeur - , on aura

(I + x)''= i + ^x + iliil— ^ X* + etc. ... (a)

Or, ce résultat est ce que devient la formule (C) du binôme, quand on y change l'exposant m en -• Cette formule est donc vraie lorsque l'exposant m est un nombre fractionnaire positif.

Je dis aussi que la même formule a lieu quand l'exposant m est un nombre quelconque négatif. En cflct, la formule (i) n'est démontrée que pour les cas où les nombres /z, /?, c, ..., A, ont une forme positive. Mais cette forme positive existe encore lorsqu'on suppose que b représente le nombre négatif — p^ p étant ^ entier ou fractionnaire ; car dans la multiplication de a' par &', ^ on n'a considéré que b et non pas — p '^ ci d'ailleurs les règles de cette multiplication demeurent les mêmes , soit que b repré- ' sente un nombre positif, soit que b représente un nombre négatif

— p. Ainsi ridentitë (i) est vraie encore quand on y fkit 5 = — •^. Si donc on pose en même temps a = ^, c= o, d=o^ .,., A = o, ce qui. donne c'=i, ^"=1, ..., A'= l'et r^=a-\-' h = p — /^ = o, ridentité ( i ) deviendra a'^' = i . Remplaçant dans a', la quantité a pafr sa valeur p^ on verra par les formules (C) et (2), que afin^i-^-xy. Donc l'équation a'^'= 1, donne î'=(i-|-ar)"'''. Changeant donc 6 en — /?, dans V^ on trouvera

.(-fx)-A'=i-;>x + ^^^g±^^x'-^^^+'>^f+'^x» + etc.

Or, ce résulta*: est ce que devient la formule (C) du binôme, lorsqu'^on y change Pexposant m en-^p. Par conséquent cette formule est vraie quand Texposant m est un nombre quelconque négatif (*).

(*) Si Ton fait a'{-x=:i — z et m=: — 1, le binôme de Newton donnera , pour la puissance - — 1 de 1 — 2 , une valeur qu^on trouverait aussi en divisant 1 par 1 — z. De sorte q^ie le binôme de Newton est vrai lorsque Texposant m =: — 1 • S^il était vrai encore quand rezposant m est un nombre entier négatif — u, il donnerait une formule que, pour abréger, nous représenterons par

(i — z)~^ = 1 -J- i/z + jc,** + ... -|- c^z'* + etc. ... (1)

Divisant les deux membres de cette équation par 1 — 2, on aura une équation (a) dont le premier membre sera la pubsance — (u -|- 1) de 1 — z-^ et dans le second membre, le coefficient d^ une puissance de x, sera la somme des coeffîciens de cette puissance et de toutes les puissances inférieures dans le' dividende. Et en effet, il est aisé de voir que cette loi ayant lieu pour le /liéme terme du quotient, aura lieu aussi pour le SHivant; et que par conséquent elle est générale. De sorte que le (/i -f- 1) it^me terme du second membre de Péquation (a) est

Substituant et réduisant d\'îprcs la première formule (i3i), où c=i, on verra que le («-f" 0 i<^me terme de la puissance — (m-|-iJ de i<— z est ce que devient le (n-j-i)"'' terme du biuome de Newton, lorsqu^on y change Texposant m en — {ii H- 1). D^où il suit que, si le binôme de Newton est vrai lors€fne V exposant m= — u , // sera vrai aussi lorsque Vexposant m vaudra — («-f-i). Or, le binôme de Newton est vrai lorsque Pexposant m =r — 1 • donc il sera vrai aussi lorsque Texposant m =

— a. Etant vrai pour m = — a , il sera vrai aussi pour m=r — 3 , pour m=: — .4,''» = — 5, et en général, pour toutes les valeurs négative entières de Texposant w. Et Pou dqil bien observer que cette concliision aurait encore lieu, si le biuome était \'\- x\ car les raisunnemens précé-

La formule au binôme étant ainsi démontrée pour tous les cas où Pexposant est un nombre commensurable, positif ou négadf, aura lieu encore quand Pexposant sera irrationnel ; et la généralité de Palgèbre conduit à faire usage de la même formule^ lorsque Pexposant est imaginaire.

On doit observer d'^aillcùrs que quand Pexposant m n^est pas un nombre entier positif, le second membre de la formule (G) est composé d'une infinité de termes , car aucun des coefficienii en j» ne devient nul.

397. Les séries binomiales conduisent aux séries expànen" tUUeSy et voici comment : soit e la valeur de f 1 -]- - j , lorsque n est infini , et soit élevé de part et d^autre à la puissance x^ x étant quelconque ; on aura donc e*=: f 1 + - j , Développant le second membre, diaprés la formule du binôme, il viendra

wj(w3r— i)(nx--a)... (nx — r+i) •

Cette formule peut s'^écrire comme il suit :

Or, ri est infini , par bjrpotlicsc \ donc - =r o, et par suite, il vient

398. Comme e est indépendant de x, e ne changera pas en faisant x= 1 ; ce qui donnera