io%+?.io^(9..io''+i)...(i

On a d'ailleurs t^^^ = 'v + 9 (^ + 0 • ^ o^* ^^^ équatîoi^ servirait à trouver t^ *^ mais on y parvient immédiatement , en observiant que t^ étant le nombre de chiâres qu'il faut pour écrire

tous les nombres entiers, depuis i jusqu^au plus grand de v dilffres, on a, diaprés ce qui précède (292)1

Cette valeur de f^, substituée dans Pexpression (1), la réduit à

î?.î;.io»^ + ^.io'^ + -2..î;.io^ + V-i»''- Prenant successivement v=: o, 1, a, 3, ..., m — i, on aura successivement les nombres de chifires qu^il faut pour écrire les termes de la séné, depuis 1 jusqu^à celui terminé par le plus grand nombre de 1 , a, 3, 4^ "- 1 ''^ chii&es^ la somme des résultats sera donc le nombre x demandé. Ainsi, en réduisant, on trouv^a

^=é[(99'«— 2o)io"»- + u(9m— i)io'«-> — 11].

ag^. Trouver la somme x des nombres que fournit la suite des nombres entiers^ depuis i jusqu'au plus grand de m chiffres^ en prenant^ dans chacun^ la somme des chiffres regardés comme exprimant des unités simples.

Soient S^ et S^ les sommes des nombres fournis ainsi par la suite des nombres de v et de v -}- 1 cliilîres : si à côté de chacun des 9. io^~* nombres de v chifTrcs, on écrit successivement cliacun des 1 o chinres, la somme des nombres fournis par tous les nombres de v + * chiffres qui en résultent , sera

S^+. = lo^v + 9-45. 10^-.

Cette équation donne aisément

.S^^-fCiLio'^-"— 10^-').

Prenant successivement v= i, 2, 3, 4i •••t.'^i el ajoutant, il viendra ^ -, 5. ,om-.. (,0'"— 1). *