f 4.^ + etc. àrinfim,ouest<i
on voit que e est compris entre a et 3 , et ne saurait être an
nombre entier. Si e pouvait être un nombre fractionnaire 6xact
— , on aurait
n^ ^ "*"?"*" ^3 "^ ^ a. 3.4.../! ■*":». 3... il (n+i) "*" ^^'
Multipliant de part et d'^aulrc par a.3.4**-(n — i)r, il viendrait
' Or, cette égalité est impossible ; car le premier membre est on
. "nombre entier, tandis que le second membre nVn est pas un,
puisque la seconde série de ce second membre est plus petite que
;rir+ (;ii)-- + (;::pTji + otc. àPinCni, ouest <i.
Donc e est un nombre irrationnel , et ne peut s'^^btenir que par approximation. On a vu en algèbre que e=a, 7 182818285, à moins dW billionicme près (*).
(*) La formule (D), quoique donnée par la considération de rinfmi, n'*cn est pas moins trés-cxacle, et peut se vérifier comme il suit : soient a', &', c', ..., A' les valeurs de x séries indéfinies, composées respectivement en a, &, c, ..., A-, prccisc'ment comme la formule (D) est composée en X, Si Ton multiplie la série a^ par la série &', le premier terme du produit rt'i' sera Tunité, et les autres se composeront des termes du premier degré, du second, du troisième,. etc., à Pinfini. Pour obtenir tous les termes du degré r, il faudra multiplier le terme du degré r, dans a', par le premier terme de h^\ puis ajouter au résultat, le produit du terme du degré r — 1, dans «', par le second terme de h^\ ajouter au résultat, le produit du terme du degré r — a, dans a\ par le terme du degré a de h^ ; et ainsi de suite , jusqu^à ce quVn prenant ainsi les termes à rebonrs. dans a', et en avançant toujours dans &', on soit arrivé au produit du i*'' terme de a' par le terme du degré r dans b^ : en procédant ainsi , on troaT« que la somme des termes du degré r dans le produit ii^b\ est
^99' ^^ calculs absolument pareils à ceux du n* 397, proi|-
ah
Mettant en facteur commun — , on verra , d^aprcs la formula
du binôme, (pie le terme du degré r dans le ptoduit a^h\ se réduit à
^ -^ De sorte que le produit a^V^ des deux séries a' et 5', est com-
posé avec a •\^h , comme la série d est composée avec a.
Multipliant Jlf par c', puis le produit par a ^ et ainsi de suite, on verra de la même manière que le produit a^Wc? ... A' est composé avec a-f-A + c4- •••4-A:, comme la série a', est composée avec a. Si Von suppose tous les x nombres a, h^ c, ..., A, égaux entre eu^, leur somme sera ax et le produit a'&V ... A' vaudra la puissance xiéme de a'. De sorte qu^on aura
a3x3 . J^jT
= i+ax'\ — - — Ht^-I h
Soit a = 1 , la valeur de la série a' sera alors celle que nous avons dé' signée par e ; et dans ce cas, la formule ( 1 ) devient la formule (D) ^ celle-ci est donc vraie lorsque x est un nombre entier positif quelconque. D^un autre cûté, comme la formule (1) est vraie pour toutes les valeurs qu^ob
voudra donner à a, si Ton y fait a =: — , elle donnera la puissance x^*
de a', égale à une série , qui , à cause de u entier positif, se réduira à la puissance u*^* de e. Voù en extrayant la racine j:™* de part et d^autrc,
on aura la puissance — iéme de e , égale à <^, cVst-à-<1ire, à cause de a =
u ^ , Cl'
— , égale à ce que devient la formule (D), lorsqu^on y change or en —
Enfin, cette formule (D) est vraie aussi lorsque Vexposant x est un nombre quelconque négatif; car la valeur de a^b^ ayant lieu quels que soient les nombres a et ^ , si on y fait a =: x et 6 = — x , elle donnera a^b*=z i, D^où, à cause que la valeur de a' se réduit, diaprés ce qui précède, à la puissance x ième de «, on aura la puissance — xième de e égale à 6', c^est-â-dire , à ce que devient la formule ( D) , quand on y change x en — x.
Ainsi, la formule (D) est démontrée pour toutes les valeurs commen-
, surables, positives ou négatives, de Texposant x. Cette formule aura
donc lieu aussi lorsque Texposant x sera incommensurable ; et on pour^
encore employer la même formule, lorsque Pexposaint x sera imaginaire.
( Les idées de cette démonstration et de celle qui a donné la formule (D), sont dues à Fouvrage intitulé : Mélanges d'analyse aigébrûfue et de géométrie^ par M. m Staiwillk. Paris, i8i5.
•-drx
vent que si n est infini ^ et q[u^on ait égard à la joimule (D), on
aura
Nous ferons usage de ces formules.
3oo. A Taide des séries binomîales et exponentielles, il est facile de trouver les séries logarithmiques ^ En e0et, nous venons
de voir que quand n est infini, on a f i 4"~) = ^* Posons
e* z=: I -|- V ^ d'où zle n: / (i + v) : nous aurons ( ^ + - )
m+vetzzz:n(i + v)** — '*• Multipliant de part et diantre par le et substituant, il viendra
l{i+v) = le[n(i+v)^—n'].
Développant diaprés la formule du binôme, réduisant et observant que n est infini , ce qui donne — = o , on ta-ouvera
/(iH-t;) = /e[t; — - + y— ^ + -5-etc.],...(E)
série dont la loi est évidente jusqu'^à Pinfini et dans laquelle v est un nombre quelconque , positif ou négatif.
Soi. La série (E) est démontrée en algèbre, sans le secours de l'infini , et on en déduit d''autres séries , propres à calculer, avec la plus grande facilité, les tables de logarithmes^ Ici nous nous bornerons à tirer de la série (E), deux résultats assez remarquables.
D'abord si Ton change v en — v dans la formule (E) et qu'on en retranche le résultat, il est clair que, conune /(i + *')
Prenant dans celte formule, v =z J/* — i , doublant les deux membres et observant que aZû = Z (a'), on verra que le premier membre devient /(— i) ; et comme (l/ — i)*^ "''*=: (^- *)^ 1/ — Il on trouvera
Z(-i) = (i--i- + f — f+^— etc.)4'*l/— ».
aura
Or, la sène entre parenthèses a une valeur finie ; car elle représente le quart ^u rapport de la circonférence au diamètre , comme on le verra en trigonométrie ; ainsi on a /(■ — i) = irie l/'— - 1 , c''cst-à-dire que le logarithme d'une quantité négative est imaginaire. j
3o3. Pour tirer une autre conséquence de la formule (E)^ faisons v=: — i ^ le i" membre sera /o ou — oo ^ on aura donc
« = « + 4- + i + f + T + -s- +,f .+ T + etc. ... W
Le second membre de cette formule est la série harmonique \ la valeur de cette série est donc infinie. Cest ce qu'ion peut démontrer directement. En effet, imaginons que Ton groupe lies termes de la série barmom'que, de manière que chaque groupe contienne toutes les firactions dont les dénominateurs sont les nombres entiers , depuis une puissance de a exclusivement jusques et y compris la puissance de a immédiatement supérieure \ le n"' de ces groupes sera
Or, chacune des t!^ fractions qui composent ce groupe, est
plus grande que la dernière, qui se réduit à ■ \ donc le groupe
lui-mcmc est plus grand que '-j^^^ ou que -f. Mais il y a , dans
la série luirmoniquc, autant de groupes que de puissances de 2, c^est-à-dire une infinité \ cette série est donc plus grande qu^un nombre infini de fois -J- ; elle est par conséquent infinie.
3o3. Il est bon de remarquer que plusieurs séries numériques, continuées à Tinfini, ont une valeur finie, c''est-à-dire une limite.
Par exemple, si Ton prend la somme des n premiers termes, et que dans cette somme , on fasse n infini , on verra que
r 1- etc. % à Tinfini , ^: t »
-f- etc. , à Pinfini , = 1 ;
— r — r^ + T ^ + etc. , à riafini 1=7'
3o4* Trouver la vraie valeur d'une fraction qui se réduit à -5- par rhjrpotJièse de ^zzibl.
Puisque x zn à réduit à zéro chacun des deux termes de h fracrion proposée, ces deux termes ont nécessairement pour fiiO' teur commun , une certaine puissance de x — a \ on mettra donc ce facteur commun en évidence , en transformant le binôme X — a en un monôme u, cVst-à-dire, en supposant jc—azzzu^ ou X rz a -J- tt. Alors , effectuant tous les développcmcns indiqués , au moyen des séries binomiales , exponentielles ou logarithmiques , etc. ; ordonnant par rapport aux pui^ances ascendantes de u \ supprimant le facteur en 11 commun au numérateur et au dénominateur , et faisant ensuite ix =z o , ce qui donne xz=:a^ le résultat sera la valeur de la fraction proposée qui répond k xnza.
lx—-la
Par exemple , si Ton ^ jrz=. , Phypothèse jt = a donnera j^=:^. Mais en faisant orz^a-f- ^^ et développant diaprés la série (E), on aura
l± + u)-la x^ ^ uy^
u tt \ • a /
le ule , • j, « '«
OU y-zz: 1- etc. : d'où r = 7- ,
lorsque u rz: o , ou x zz: a.
Le procédé s'applique aux fractions rationnelles aussi bien qu\iux fractions irrationnelles. Nous laissons à chercher les vraies valeurs des quatre fractions
|?/(x»-i)--[/(x~i) ^3,^^^,6 j/m^ fl^~^
Ces fractions sont réduites à ~- par les hypothèses a: zz: 1 , xzza, jrrzia'ctarzzo. On aurait la valeur de la dernière fraction en y substituant les développemens des exponentielles qui y entrent.
3o5. Un vase peut se remplir par un tuj-au et se vider par un autre. Pendant combien de temps doit-on faire couler les deux tuyaux^ le premier pe fournissant que de Teau^ pour que le vase^ contenant d'abord a litrons de vin , n*en contienne plus que h litrons ? On suppose que les tuyaux versent uni-^ formément cluicun c litrons de liquide par heurey et que Veau
\ '45 ) ijtd entre dans le vase^ se mêle sur-le-champ et exactement avec le liquide que ce vase contient.
Soit X le nombre d'heures cherché, et n le nombre infini «IMnstaus contenus «Sans une heure ^ x heures en contiendront donc nx. Soient x^ et :c^ , j les quantités de vin pur que le vase contient avant et après le v'^^ instant. Puisque par hem-e , ou n iustans, chaque tuyau verse unifôrmémenf c litrons de liquide;
à chaque instant il en verse -; et par conséquent, après chaque
instant il y aura toujours a litrons de liquide dans le vase. Or,
comme - sont c fois le an iime de a, il s^ensuit qu^à chaque
instant il sort c fois le an ième du mélange : et puisque Peau est exactement mêlée avec le vin , on voit qu^à chaque instant il sort du vase c fois le an ième du vin et c fois le an ième de Feaa que ce vase contient. Donc pendant le t;"* instant, il sort du vase c fois le an ième du vin x^\ par ^conséquent, après le i;** insiapt, la quantité de vin x^ qui reste dans le vase, est
Posant -^zd^ et faisant v = i , 3, 3, 4i •••) '^^i puis multia
ph'ant, observant que x, = a et que x^jp, , = h^ il viendra
d\nx „ , , ^
zziafi J ; d^où bzzia.
car n est infini (299)* Cette équation facile à résoudre par logaritlimes , fera connaître x. Si a=b^ on aura- x = o , comme cela doit être. Si Z» =1: o, x sera infini \ et si bz=. 10a, x^era négatif, comme il est aisé de voir pourquoi.
3o6. On a deux vases V et V, en forme de prismes ou de cylindres droits^ dont Us hases b et V sont horizontales. Le vase V est rempli d^eau jusqu'à la hauteur h e( le vase V est vide. On ouvre les robinets adaptés aux bases h et b', et Veau du vase V tombe dans le vase V, d'pii elle est évacuée auf dehors. En supposant que Veau sorte de chaque vase avec une vitesse variable^ proportionnelle à chaque instant à la hauteur de Veau dans ce vase^ et que les vitesses soient a et a', quand les liauteurs sont égales à 1 , dans les vases V et V'/ on demande^ 1" quelles seront les hauteurs êÊ et ç du liquide dans les deux vases après le temps ni y 2* à quelle époque
Feau aura atteint sa plus grande hauteur dans le yase V , et quelle sera alors celte plus grande hauteut* ?
Il Taut d^abord remarquer que la vitesse d'^ccoulcment à un instant quelconque , est la quantité d^eau qui sortirait du vase pendant Funité do temps, si, à partir de cet instant, le mouvement du liquide devenait uniforme. X)r, si Ton imagine Punité dte temps divisée en une infinité d'instans égaux et infiniment petits, il est clair que la vitesse dY'Coulcment pourra être considérée comme ne variant qu'eau commencement de cliaquc instant *, car cela reviendra à supposer que cette vitesse varie à des intervalles de temps infiniment petits, et par conséquent d^une manière continue, comme cela est efTectivement.
Cela posé, i^ soit n le nombre infini d^'nstans contenus dans Tunilé de temps; les m unités en contiendront donc mn.y Soient x^ €ij^^ les hauteurs respectives de Peau dans les vases V et V, ftvdnt le r ième instant, et ^v,^^J^^,^ 1<"S hauteurs après. Par renoncé , les vitesses du liquide , au commencement du v ième instant, sont les quatrièmes termes des proportions
