I : ^1/ :: ^ : o^v^ » ij'-v i: ^' i ^'jv
Or, il suit de la définition du mot vitesse^ que si TécoulemeDt devenait constant au commencement du f"' instant, il sortirait des vases V et V, et d^mc manière uniforme, les volumes d'eau ax^ et a'j'^y pendant Tunité de temps ou n instans; donc à
chaque instant y il en sortirait -x^ et —j'^- Et puisque la vitesse
du liquide est constante pendant le v"" instant, il s'ensuit que pendant cet instant, il sort réellement des vases V et V les volumes dVau - x^ et -j'^» Donc, api es le v""* instant, les vases V et V renferment respectivement les volumes d 'eau que voici :
^^t. — -^1/ et b[r^ — j-j'^ + -x^.
Et comme ces volumes sont les produits respectifs dos bases b et i' par les hauteurs x^ et r^^^ ; si on divise ces mêmes volumes par les bases b et Ir^ on aura les hauteurs x,, . . et r,,^.. Posant donc , pour abréger^
j = c, - = rf, i-- = A, »-- = ;> et 3^ = r,
on verra qu*après le v"' instant , les hauteurs de Tean dans les deux vases V et V, sont respectivement :
Prenant successivement t;= i , 1, 3, 4i '"i ^n^ ^^ns la première de ces équations, multipliant et observant que x, = & et
# = &*^'»î d'où x^ = hk'^-\ Par cette valeur la seconde équation (i) devient
et prend la forme
Faisant successivement v= i, a, 3, 4i '"y ''^ ^^ iqontant;
observant d'*aillcurs que j^^ =^ o , ^';„„^, = ^ et A: — ^ =: — ^, on trouvera A^ **
Or, n est infini ; donc on a (7.99)
Jtm» = ^ , - ^)'""= *-*'" et ;,«'•=( I - ^)'~'= e-**».
Avec ces valeurs, on trouve définitivement
iÊZizhe^'^ et ç> = ^^ [e-^ — e--^].
a* n est évident que la plus grande hauteur de Peau dans le vase V, aura lieu lorsque ce vase perdra précisémcitt autant d''eau, dans un instant, que le vase V lui en fouinira; car Tinstant suivant , V perdra plus dVau et en recevra moins. Or, 50Ît nx le rang de cet instant, et par conséquent x le nombre d^unilés de temps 5 il est clair qu'ion aura nx^^ =z a'j^^^^ , ou bien
Cette équation donne, pour déterminer le temps x de la plus grande hauteur j^^^ dans le vase V,
e-C-*-) ('-») = , !^; d'où ^- = ^ e-«**.
Quoique toutes les valeurs relatives- au second vase V prèsneut la forme ; , lorsque d=c^ cVst-à dire lorsque a^l b'Hal bf
il n^j a cependant point d^îndétcrmination dans ce cas. En efTct,
si Ton pose d=c-^u^ qu^on substitue les développcmens des
"exponentielles e""""* et «"v*-!)", qu^on réduise et divise par ii,
et qu^nfin on pose ii=:o ou d=:c^ comme au n^ 3o4i on verra
qu^alors , ^« , ^
^ çz=.hmrt ^^ et x = i4--. i
valeurs qu^on obtiendrait d^ailleurs en refaisant les calculs de 1* et 2% dans Phypothèse de d=c^ qui donne pz=.k.
Dans le problème que nous venons de résoudre , on pourrait supposer que Peau sort du vase Y avec la vitesse constante a\ c^est-à-dire , que Teau y est entretenue à la même hauteur. On pourrait encore supposer que le a* vase V ne contenant d'*abord que du vin pur, à la hauteur h\ Peau qu^il reçoit du i*' Y se mêle sur-le-champ et exaclepient avec le liquide que le 2* vase renferme, et demander combien il restera de vin pur, .dans ce 2** vase, i* après le temps m; 2^ à Pépoque de la plus grande hauteui; du liquide dans le même vase.
307. Combien un yase qui a coulé pendant a heures ^ a-t-il versé d^eau? On suppose que ce vase ait perdu pendant un instant quelconque , une quantité d'eau égale à la valeur de cet instant multipliée par le rapport de c heures à c heures augmentées d'un nombre d'instans marqué par le rang de celui que Von considère, ■
Soit n le nombre infini d^instans égaux à x qui composent le temps a\ on aura donc nx = a. Diaprés Pénoncé, il est clair qae Peau sortie du vase, pendant le v^* instant, a pour valeur
ex
, ou ex (c 4- vxY^ ou enfin
