Diaprés cette règle, pour avoir le maximum de ç dans
réquaUon ç = x^j\Sa—x —j) ,
on y changera x et jr en x -{- u ci j- -{- v\ et, après tous les développemens nécessaires , on trouvera
A=zxjr*(ioa — ^j^ — 3x), B =: x*j*(ioa— îix — 3/*)^ C=zy(^5a — 3x—jr),
E = 2XJ- ( lOtf — 3x — Zjr),
Les équations A zz: o' et B = o donnent x =^ = 2a.
Delà, C = — i2a\ Dz=— i2fl* et E=z— 16a'.
Ainsi la condition ^CD — £*^o est satisfaite : et comme D est négatif, il s^ensuit que les valeurs xz=:j'=z 2a répondent au raaxinium de ^, et que ce maximum est-^ = i6a^, comme on peut le vérifier d^ailleurs en posant
x=z2a-\^ z et yzizia — z.
Des calculs semblables aux précédens conduisent au maximum de p dans Téquation ^=:x^j-''(/2 — x — j")^', m, /i et ^ étant des nombres quelconques positifs ou négatifs.
3 18. Soit à trouver le minimum de ^ dans les deux équations à trois inconnues
6fl = 6j:*^+3x'z + ^' cl ^'=zixy-\-iLX^'\' z^»
Si d^abord on élimine j de ces équations , le résultat pourra se mettre sous la forme
Diaprés la règle du n* 3i6, si Ton ftubsuHue x -(^ u à x et £ -^ V h z^ il faudra , pour avoir ^' = ^ + An -f Bw -J- C.i*+ D7->*+ "Euv -}- etc. , développer le nuraéraleur , après y avoir pose X — ^ iz: m , et y prendre ensuite 6rt -f- 5x + m == n j puis multiplier le numérateur ainsi préparé, par le développement de t(jC'\- lij^'i poussé jusqu'^au terme en w*. De celle ^lanière on trouvera
D = -, E = , etc.
Pour le minimum de ^ , il faut que A et B soient nuls eC que le trinôme C + D**+E# soit positif (3 1 6). Là première condi-
tion donne m rz o et 5x — — ^ = o î ^^^^ x = ^ nz y^a.
Ces valeurs réduisent C + T>et* 4" ^* ^ r^ ou à 5 , quantité
positive : donc le minimum àa p a lieu, cl il donne x -^zjf"^
3 19. Si Ton avait les deux équations
xyz -=. 1718 nza et 8(x+j')^ + iax^-f.48^ = ^,
on en déduirait sans doute le minimum de ^ par la mëtho<k précédente ; mais il sera beaucoup plus facile d''emplojer celle du n" 89 , laquelle donnera , pour le minimum de ^ , les deux équations
cl 1 2xy =: 48a -f- 8 JX \ d^ou Ton tire d\ibord xzz 7-, et ensuite, à cause de a =11 1718,
X — iiSîx — Ggiîrzro.
(*) Ces valeurs pésolvcnt le problème que voici : On veut construire un vase cylindrique, dont l'intérieur du couvercle soit nn segment spli^ riqt^e à une base ; on veut que la capacité, tant du cylindre que dn segment, soit de a ^ centimètres cubes. £t comme la surface interne «-# d« vase et du couvercle, doit être dorée, on désire, pour diminuer les £raii autant que possible, que cetto surface soit un minimum. Quels doivent être, pour cela, le rayon x de la base du cylindre, sa bauteor^ el oelU B du segment f
La seule racine réelle positive de cette équation étant jr =11, on en conclut x :=ijr rz ^ = 1 2 et ^ n: 4608 (*).
3ao. EnGn, siTon a les deux équations
ÇZZiXJ'Z et (x+i)(^+i)(-c+2) — xj^zzioootf,
on trouvera , pour le maximum de ^ ,
xr=^=: — -5- + J/-3 ( 5oort — \) , js = 2x
et (p = 2x^(**).
331. De toutes les fractions, quelle est celle qui surpasse sa puissance m iémc du plus grand nombre possible f
Quelle doit élre la valeur du nombre x,'pour que la racine jriéme de 4ix soit un maxim\im , ou pour que la puissance x iéme de x soit un minimum ?
(*) Ces valeurs résolvent le problème suivant : Oa veut construire une citerne à faces rectangulaires et de la contenance de 17380 hectolitres. Le revêtement de la surface convexe et de celle du fond sera pavé 4 Aor* Tauue carrée^ la voûte à anse de panier placée au-dessus, coûtera 8^ par aune carrée de projection horizontale, et le prix pour creuser la citerne sera de 48^ par aune de profondeur. On demande quelles doivent être les dimensions x^y^ z de cette citerne, pour que sa construction coûte le moias possible f
(**) Voici le problème résolu par ces valeurs : On a une masse d'argent fin du poids de ar grammes, dont on veut construire un vase cylindrique, à base elliptique. Comme les parois devront avoir partout un millimètre dV-paisstrur, aussi bien que le couvercle, on demande la hauteur 2 du vase et les demi-axes jt et jr de son couvercle et de sa base^ pour que la èapacite x^ du même vase soit un maximum ?
fin.
