C-f-VX
X— .— 1;-4 V rv +-; V —-etc.
Prenant successivement 2; = 1 , 2 , 3 , 4 1 ••• •> ^t 0° >^iura successivement les quantités d^eau sorties du vase pendant les instans i*', a*, 3*, 4*1 ••m ^^'^ la somme z de ces quantités sera donc toute Peau versée par le vase en a heures \ on aura par conséquent
Z = nx S^-< — S, ïS. + -rS.«— etc.
Substituant les valeurs de S,, S^, S3, S., ..., tirées de la formule du n" i4o, puis divisant les deux membres par c, ob-
servant que nx = a et posant ~ z= 6 , on trouvera
On sait (3oo) que la première ligne du second membre se
réduit à -^ — - ! quant à la seconde ligne , 0 est clair que le
multiplicateur de x est plus petit que la série b^b*-\'b^-^b^ -j- etc. , série qui est le développement dç /> (i — 6)""' ou de
T« Ainsi on a
Mais j: r= - : et puisque n est infini , x est une -quantité infiniment petite, qu^on peut regarder conune nulle ^ il vient 4j>ne enfin , ^ J ^ (l±i).
3o8. Extraire les racines des nombres au moj-en des séries hinomiales,
D''abord, comme
si Ton pose j: =: — et qu^on développe d'après la formule du binôme, on aura
jr/ .. - - ' Fi*' ^ f—\ . «, ar— i ^3/-— 1 . T
A, B, G, D, ..., désignant respectivement les a*, S**, 4*1 ^*i •••« termes entre crochets carres.
Si donc on veut extraire la racine r"* d'un nombre donné, à Paide de cette formule^ il faudra partager ce nombre en deux autres, Tun a^ qui soit la j[>lu5 grande puissance r"^* possible, et Tautre h qui soit moindre que le premier et le moindre possible à regard de ce premier \ ce qui pourra donner h négatif. De cette manière , x sera plus petit que Funité et le moindre possi* ble à regard de Punité ; tous les termes de la série iront donc en diminuant , et il n'en faudra pas un grand nombre pour donner le degré d'approximation demandé.
Par exemple, soit proposé de trouver la racine 5"* de 260',
à moins d^i^i cent-millième près. Dons ce cas, comme 2^3 est la plos grande puissance 5"* contenue dam a6o , on aura
160 = 3^+17, r=r5 et xz=ij^\
la série deviendra donc
■^ L *î*i5 laiD laio 2430 * J
Réduisant les termes en décimales jusqu'aux millionièmes, inclusivement, on vefra que ^360 z= 3,o4o848« Le 5"* terme entre crochets carres ne donne pas de millionièmes ; et puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs , et vont en diminuant , Terreur commise en prenant les quatre premiers est moindre que le 5*"* (Algèbre) : donc, comme ce 5""* terme est négatif, la valeur précédente est un peu trop grande \ mais on voit d^ailleurs qvi^on a ^^260 = 3|o4o84 1 ^ moins d^un cent« millième près.
Pour second exemple , soit proposé de trouver la racine eubique de 56, à moins d^un dimillième près. Le plus grand cube contenu en 56 étant 27, si Ton pren^^t 56 rz: 27 + 29 , x vaudrait ^ et les termes de la série iraient en augmentant. Mais on
peut aussi prendre 56 = 64 — 85 et alors x vaudra J-. La
série deviendra donc
s..^.,r 1 A 5B 5C uD T
1/56:^:4 i y 7 etc. •
^Or, X étant négatif, dans la série générale , tous les termes qui suivent le v"*, sont négatifs ; et comme leurs cocfBciens en r vont en diminuant ; si Pon représente par S la somme de tous <fes termes et par h le coefficient du v"*, lequel sera aArx'*'""', dn aura
S <C akx'^ (i + X + x* + x^ + elc), ou S<ûAx^-'X
Ainsi Terreur commise en ne prenant que les 4 premiers tcr^ mes de la série qui donne \y 56 , est moindre que fe septième du quatrième terme, qui se réduit k 0,000482 ; cette erreur est donc moindre que 0,000069. ^^ ^ P^^ conséquent \^56 zn 3/8256, à moins d'*un dimillième près.
Soit }/7T^=a+j^ d^où b=j'Çra^'+'^jr+eU:.^
. SI ^ doit ctrc une petite fraction^ on pourra négliger tous les termes qui suivent le premier entre parentlicses , et on aura,
pour i" approximation, jr= ' /--i' Substituant cette valeur
dans le second terme entre parenthèses , et négligeant tous lef suivans , on aura une seconde valeur de jr^ beaucoup plus approchée que la première , et qui donnera la formule
Diaprés cette formule, si ^z=z:3, t= 17 et r=5, on trouvera 1^260 z=z 3,o4o83 , comme plus haut , à Texception du dernier chiffre.
Voici encore quelques problèmes :
Combien un Tasc qui a coule pendant a heures, a>t-il versé d^eau? On suppose que ce vase ait perdu, pendant un instant quelconque, une quantité dVau égale à la valeur de cet instant multiplié par le carré du rap* port de c heures à c heures augmentées d^un nombre d^instans marqua .
par le rang de celui que Pon considère, f Réponse : ■ j*
Quelle somme x devrait-on rendre au bout de n années, pour vxè% somme a prêtée pendant ce temps, au taux de r pour 1 par an, si & chaque instant de la durée de Tannée, Tintcrêt échu se joignait au c»pital pour porter intérêt Tinstant suivant! (R. x-=zae^* S\ tf=:ioooo, #1 = 1, r = o,o5, on aura x=io5iaf7i.)
On retranche constamment d^un nombre donné a, la <^ ième partie de a fois un nombre inconnu \ la 3/i icme partie de 3 fois le 1 *^ reste ; la 3a ième partie de \ fois le 1^ \ la ^a iémc partie de 5 fois le 3*, et ainsi de suite. Quelle devrait ^'ire la >aleur x de ce nombre inconnu, pour que les restes diminuant sans cesse , ne pussent cependant devenir nuls qu^à
rinfini-'^^ V -T- y
On rctranclie constamment Tunité d^un certain nombre inconnu, et des quoliens que Ton trouve en divisant par a, le double du i*** reste, 3 fois le 1''^ 4 ^«^i^ 1<^ ^^1 ^ ^^^ 1^ 4'^ ^' ^i'^i ^^ suite. Quelle devrait être la valeur x de ce nombre inconnu , pour que les restes diminuant sans cesse , ne pussent cependant devenir nuls qu^à Pinfîni T ( Réponse : x=:e«— 1.)
Une personne va et vient dans une allée d^un jardin et s^astreînt à ne (aire chaque fols qu^une certaine fiuction du chemin qu^elle vient de
parcourir en sens contraire. Elle continue ainsi jusqu^à ce qu*il ne lui reste plus de chemin à faire. On demande quel sera alors le chemin total X qu^elle aura parcouru et à quelle distance y elle sera du premier point de départf-On-suppose que la personne ait fait a métrés la première fois, et que la fraction de chemin soit successivement un quart, a sixièmes, 3 huitièmes, 4 dixièmes, 5 douzièmes, etc. [ Réponse : x ==
Dans ce problème, la fraction de chemin pourrait être constamment \ \ et alors on aurait x=3a et jr=:|a: la fraction de chemin pourrait être successivement une demie, un tiers, un quart, un cinquième, un sixième, etc.; dans ce cas il viendrait x =: ae — a et j^ =-•
Du maximum et du minimum.
309, Si ^ est une fonction connue de x et qu^on donne à x une suite de valeurs très-peu différentes les unes des autres, il en résultera nécessairement pour ^ autant de valeurs généralement inégales. Et si tes valeurs de ^, d^abord croissantes, deviennent ensuite décroissantes , puis croissent et décroissent de nouveau , ainsi de suite , la valeur qui surpassera les deux qui Ja précèdent et Is^ suivent immédiatement sera un maximum de ^ ; au contraire , la^valeur surpassée par les deux qui la précèdent et la suivent immédiatement, en sera un minimum.
3 10. La méthode du maximum et du minimum repose sur le principe suivant :
Si dans la série Au.+ Ba'+ Cu+Du^+ etc., A, B, C, ..., sont des quantités indépendantes de u, je dis qu'on pourra toujours prendre u assez petit pour que le premier terme Au surpasse la somme S de tous ceux qui le suivent.
En effet, soit N le plus grand des cocflicîens A, B, C, D, ..., on aura nécessairement
S <Nu'(i +" + "'+ w' + etc.)i d'^où , en prenant m <C 1 1 il vieut
Mais N étant un nombre fini indépendant de 1/, il est clair qu'ion peut toujours donner à u une petitesse telle qu'ion ait
A ]> ; d'où Au >-
et Am>S.
3i 1 . Maintenant, supposons que, dans Fcquation à une inconnue ^ =if(x\ rinconnue x ait la valeur qui donne le minimum de ^. Si Ton y change a; en x + m et qu'on développe suivant les puissances ascendantes de u , le premier terme du développement sera ^, car c'est à quoi ce développement se réduit quand on j fait u = o ; on aura donc
^' = ^ + Am + Bu' + Cu + Da* + etc.,
A, B, C, D, etc., étant des quantités en x, mais indépendantes de u. Changeant u en — u, on aura le résultat de la substitution de X — u au lieu de x dans Téquation ^ =J'(x) : il viendra donc
ç" =: ^ — Ali + Bu* — Cu 4- Du^ — etc.
Cela posé, si A n'était pas zéro, on pourrait toujours prendre Il assez petit pour que le terme Aii surpassât la somme de tous ceux qui le suivent dans les valeurs de ^' et ^"; donc, puisque ce terme entre avec des signes contraires dans ces valeurs , soit que A soit positif ou négatif, l'une serait plus grande et l'autre plus petite que ^, quelque petite que fût d'ailleurs la quantité u ; donc ^ ne serait pas à son minimum ; ce qui est contre l'hypothèse. Donc on a nécessairement A=o. De plus, le cocfiicieut B doit être positif; car si ce coefficient était négatif et égal à — B' ; à cause de A == o , et parce que — • BV peut toujours surpasser la somme de tous les termes suivans dans ç' et ^", on verra que ç' et ^" seraient moindre^ que ^ ; ce qui est absurde, puisque ^ est à son minimum. Donc B est nécessairement positif. Donc lorsque ^ est un minimum , on a A = o et B positif.
On démontrerait de même que , quand ç est un maximum , il vient A = o et B négatif.
On voit par là que , pour avoir tes valeurs de V inconnue x qui portent la variable ^ = f ( x ) à son maximum ou à son minimum^ il faut remplacer x par x + u dans F équation ^ = f (x) ; puis développer et réduire de manière à trouver un résultat de la forme ^'=: ^ + ^" "i" Ba'+ etc.; poser ensuite K=>o et résoudre cette équation par rapport àx: les valeurs résultantes devront donner B négatif pour le maximum de ç et B positif pour le minimum.
Si ces valeurs rendaient B nul , il est clair, par ce qui précède, qu'elles devraient d'abord dqnner aussi C = o , puis D négatif pour le maximum de f et D posiuf pom* le minimum.
3 13. On peut aisément appliquer la règle précédente à la détermination dii maximum de ç dans Tcquation ^=:x*(Stf-*x). Mais si Ton a ^=:(:r+ i)l/(ii— x),
on y changera x en x -f- ti ; et pour développer le nouveau second membre de manière à trouver un résultat de la forme ^ z=z ^ '\' Au •}- Bu* '■{' elc.y on prendra la formule
|/A + /u. = l/A + j^-5^ + ctc.
On y fera 'A=ii — x ei h = — i; multipliant ensuite ptr ar 4" 1 -{- << et ordonnant par rapport à u, on trouvera
. ai — 3x -^ 45 — 3x
A = r: r et B = — ^
a|/(ii— x) 8l/(ii— x)3
LVquation A == o donnant x = 7 et cette valeur rendant B négatif, il s^ensuit que le maximum de 0 répond à x=: 7, et que ce maximum est ^=r 16; ce qix^on peut d^ailleurs vérifier en posant X = 7 -{- z.
3i3. I^ chose essentielle^ à la règle précédente est, qu^en substituant x^u an lieu de x, on sacihe développer le résultat sous la forme f '= ^ + Au + Bu*-|- etc.; ce qui est quelquefois difficile. Mais souvent on y parviendra au moyen de la multiplication, de la division et de Tcxtractlon de la racine carrée des quantités algébriques : on y parviendra encore en se servant des séries binomiales , exponentielles et logarithmiques. Si cependant tous CCS moyens ne suffisaient pas, la question sortirait tout-à-fait des élémens , et ne pourrait se résoudre que par le calcul di/férentieL
3i4- Pour donner une nouvelle application de la règle du n* 3i 1, dicrchons le minimum de ç, dans les équations
x^j zzza et ^ =: ixy -J- x' (*).
Eliminant d'^abord j-, il viendra
la
Si Ton change x en,x -|- u et qu^on développe de manière à avoir un résultat de la forme ^^'=. ç -j- Au + Bm*-j- etc.; ce qui
(*) Ces équations appartiennent au problème : Parmi tous les cylindriques de m^me capacité' ira, quel est celui dont la sur&ce intenit w$ est un xninitnum f
te réduit à former le carré àe x-^-ù et à diviser m par x-\-u^ jusqu^à ce qu^on ait le terme du quotient affecté de u*, on trou*
ç' =: ^ + a (^-^^J II + (^—j^^j a* +-etc.
Le coefficient de u devant être nul^ cela donne x — a=o\ d^où X = ^a. Comme cette valeur rend positif le coefficient de li*, elle répond au minimum de ^, et donne, par la première équation proposée, ^= iX^* ^^ sorte que, pour le minimum de ^, on a X = J" = p^rt \ et ce minimum est 3 [//a*. "3i5. Soit encore à trouver le minimum de ç dans Téquation
Changeant x en x -f- ci , et exécutant les calculs , comme au n* 3 13, on trouvera, sans beaucoup de difficultés, que
Pour que ^ soit à son minimum , il faut que le coefficient de u soit nul et celui de u* positif (3 1 1). La seconde condition est visiblement remplie, et la première donne, pour déterminer la valeur de x qui répond an minimum de ^ ,
a» + x* ^>+(c — jr)«* Si nr=/? z= 1 , cette équation donnera u * ^ * * x • c — -p(**)«
(*) Celte équation appartient au problème : Deux plaines sont séparées pAT une droite; Vune est un sable mouvant, où un cheval vigoureux ne peut faire qu^une lieue par heure, et Pautre est une belle pelouse, où le même cheval peut faire, sans se fatiguer davantage, 3 lieues par heure. Quel chemin le cheval doit-il suivre, pour aller, dans le moindre temps possible, d^un point situe dans la première plaine à un point dc'la seconde? On sait que les perpendiculaires menées de ces points sur U droite de séparation sont a et à lieues, et comprennent, sur cette droite, iine distance de c lieues.
(**) Cette proportion résout le problème que voici : En quel point d^un canal rcctiligue faut-il établir un pont, pour que les deux branches dé route qui vout de ce pont à deux villes situées d^un même côté du canal , donnent la moindre somme possible T
3 16. Coi\sidérotis à présent Féquation p =y*(a:, j^), daf» laquelle on suppose que x cl jr aient Içs valeurs qui donnent le maximum ou le minimum de ^. Si Ton change x enj^'\' utî y en y-^- Vy il faudra développer de manière à avoir un résultat de la forme
^'= ^ + Au + Bv + vCa' + Di;»-f Eav + ctc. ,
A, B, G^ D, ... , étant indépendans de a et de v.
Changeant u en— ^ u et t; en — Vy dans ^\ on aura la valeur ^" que fournity(j:, ^), quand on y remplace x ct^ par x— b et ^ — v\ il viendra d^nc
^" = ^ — kn — Bt; + Ca' + Dr* + Eut; — etc- Soit v=.mu^ les valeurs ^' et ^' seront alors
<p' = (p + (A + B*») li + (C 4.D*r'4.E*») ii«+ etc., <p" = ç) — ( A + B«) M -f (C + Dii»' + Ea») li» — etc.
Raisonnant comme au n° 3 1 1 , on verra d^abord que , pour le maximum ou le minimum de ^ , on doit avoir A -f- B# z= 0, quel que soit m \ ce qui exige que A z= o et B = o. On verra ensuite que le coefficient C + D«* + E<i» doit être positif pour le minimum de f et négatif pour le maximum. Mais ce cœfficicnt revient à
pour qu'îil reste toujours positif ou négatif, c''est-à-dirc, pour qu'il ne puisse jamais clianger de signe, il faut que 4CD-Î-E' soit positif. En effet , si 4CD — E* était négatif, en pi^nant
iXSm'zz. — E, le multiplicateur de r-r- deviendrait négatif: faisant
ensuite croître m positivement ou négativement, on finirait par
rendre ( 2D<» -f- E)* >► ^QX^ — E', et par conséquent le multiplicateur de — serait positif et changerait de signe ; donc aussi
le coefHcient de 11^ changerait de signe , et ^ ne serait ni à son maximum, ni à son minimum; ce qui est contre Phjpodièse. Donc on aura 4CD — E' >• o , et par conséquent C et D de
même signe. Le multiplicateur de j=: sera donc toujours positif;
par conséquent , suivant que D sera positif ou négatif, le coefficient de u* sera positif ou négatif, et la valeur de p sera un minimum ou un maxiaium.
C »57 ) Le rcsumë de ce qu'on vient de dire, montre que pour trouver les valeurs de i. et de y qui portent la fonction p m f (x, j) à son maximum ou à son minimum^ Ufaut changer x en x -}- u et y en y '\- y ; développer et réduire de manière à trouver un résultat de la forme
^' zz: ^ + Ali + Bv + Cm"+ Di;'+ Ettv + etc. \
puis résoudre les équations A z= o e/ B =: o ; et les valeurs qui en résulteront pour x et pour y, devront rendre positive la quantité 4CD — E*, et donner en outre D positif pour le minimum de ç etD négatif pour le maximum.
