GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Les secliobs coniques ont des usages si imporUm, dans les arts et les sciences, qu^on doit s^attadber à rendre leurs propriétés accessibles et familières à tous ceux qui étudient la géométrie (*)< Le véritable moyen, sans doute, est de faire entrer la recherche de ces propriétés dans renseignement élémentaire : aussi le présent ouvrage forme-t-il la quatrième partie du traité de géométrie que nous avons publié*

Les méthodes purement géométriques , du moins celles employées dans les élémens, bien que fort daires et fort simples^ ont cependant ^inconvénient de trop isoler les principes et dVn rendre TcncEalneBient difficile à saisir : il nous a paru préférable de faire usage des méthodes analytiques, dont Tavantage est de conduire aux théorèmes de la manière la plus naturelle, si ce n^est la plus simple. Far cette marche, non-aeulement ce petit ouvrage fait connaître les propriétés les plus usuelles des courbet du second degné; mais en outre, il devient une iiAroduction ufile à Pétude de la Géométrie analytique.

Equations du point.

1. La Giomètrie analytique fait partie de PApplication dé TAIgèbre à la Géométrie en géticml \ son but est de fournir les principes pour résoudre toute question de géométrie, indéterminée ou non , à Taide des éqaations qui repriseftient les points^ les lignes ou les surfaces d^nne figure , sans qu^l soit même nécessaire de tracer d^abord cette figure.

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(*) Cest à <^i M. Bérgery est panrenu, avec beaucoup de 8iiocëS|' t^ap-* sa Géométrie des courbes, appliquée à Tindustrie. Metz, 1836*

A rafenîr, une indication telle que (G. 4<^}) signifiera le n° 4^0 dd la Géométrie dont oe traité fenoc là 4^* partie.

Gomme la plupart des problèmes de géométrie se réduisent, en dernière analyse, à trouver les distances dW ou de plusieurs points inconnus à d^autres points ou k des droites fixes , il faut d^abord savoir comment on détermine les difTérens points dW plan.

1. Pour obtenir la position dW point M sur un plan, on conçoit deux droites AX et AY indéfinies, se coupant en A (fig. !***); puis on mène MP parallèle à AY et terminée à AX : il est clair que le point M est déterminé dès que Ton connaît les longueurs AP et PM. Or, ces longueurs sont appelées coordonnées du point M ; les droites AX et AY sont les axés des coordonnées , et le point commun A en est Vorigine, Suivant que Pangle YAX est droit ou non, les coordonnées sont dites reciangulairea ou obliques. La distance AP est nommée Vabseisse du point M et la longueur PM en est Vordonnée, On désigne géné- . ralement le» abscisses par x et les ordonnées par j* : AX est alors Vaxe des x ou des abscisses et AY Vaxe des jr ou des ordonnées»

On regarde comme positives , toutes les abscisses mesurées sur AX, de A vers X, et toutes les ordonnées mesurées sur AY au-dessus de Taxe des x : alors les abscisses mesurées en sens contraire de A vers X', sont négatives, de même que les ordonnées mesurées au-dessous de AX, de A vers Y' (G. 4oo). Si donc on veut trouver le point dont Pabscisse x = — s et Tordonnce j^ z= 3 , on prendra d^abord la distance AP'= i, puis on mènera, par le point P', une parallèle à AY, et on prendra sur cette parallèle la longueur P'M'rzS; le point M' ainsi déterminé, sera le point cherché.

3. On appelle équations d^un point ^ les équations qui expriment les valeurs de Pabscisse et de Pordonnée de ce point. De sorte que si a et 5 sont ces valeurs, les équations du point seront