X :=z a et J" =: b

La première de ces équations, considérée comme si elle était seule, convient à tous les points pour lesquels Pabscisse est égale à a ; elle convient par conséquent à tous les points de la parallèle à Taxe des ordonnées , menée à la distance AP = a , et rcpré^ sente cette parallèle. De même, Péquation jr=.b appartient à tous les points de la parallèle à Taxe des abscisses , menée h la distance AQ = b. Le système des équations xz=a et ^ =r 5 appartient donc au point qui se trouve à la foi» sur les deux

parallèles , cVst-a-dire à leur intersection M ; et voilà pourquoi x* = a et j^ = 5 sont dites les équatians du point M.

4. La parallèle à Taxe des ordonnées , représentée par Pcquatlon x = a , se trouve à la droite de cet axe si a est positif, à la gauche si a est négatif, et coïncide avec le même axe si a est nul 4 de sorte que Téquation x = o appartient à tous les points de Taxe des ordonnées et ne convient qu^à eux seuls. De même, . la parallèle à Taxe des abscisses, représentée par Téquatiou jr=h^ est au-dessus ou au-dessous de Taxe des x, suivant que b est positif ou négatif; et si h est nul , elle coïncide avec cet axe, pour lequel, conséquemment , on a toujours ^ = 0.

EnGn , Pensemble des équations x = o et jr:=o appartient au point commun aux deux axes et caractérise Tongine A des coordonnées. »

5. Cherchons maintenant la distance de deux points dont on connaît les coordonnées rectangulaires. Soient M et M' ces deux points ( fig. 2 ) , <f leur distance MM', x et j' les coordonnées AP et PM du point M , x' et y les coordonnées du point M' : si l'on mène MIV parallèle à AX, on aura MN =zj- — y ei NM' =zx — x'\ le triangle rectangle MNM' donnera donc, pour déterminer la distance d cherchée^

Cette formule convient à toutes les positions des deux points proposés , pourvu qu'on y donne le signe •^- aux coordonnées mesurées dans un sens contraire à celui que nous venons de considérer. C'est ce qu'on vérifie aisément, en supposant successivement les deux points dans chacun des angles des axes ^ ou de part et d'autre des mêmes axes.

Si le point M' tombe à l'origine A, pour laquelle V = o et y z=zo^ il viendra , pour déterminer la distance d du point {x^j')ovLMk l'origine des coordonnées ,

ér = x*+y, ou d=j/x'+^'.

6. Dans tout ce qui va suivre, nous ne calculerons les formules de la géométrie analytique qu|s pour les points situés dans l'angle des coordonnées positives. Si donc on veut appliquer les mêmes formules aux points situés dans les autres angles des axes, il suffira d'j affecter du signe -^ les lignes qui prendront une direction contraire à celle qu'elles avaient dans l'angle proposé

( 6 ) (G.4oo); et les formules, ainsi modifiées, seront celles que Tob trouverait directement en recommençant les raisonnemcns, les popstmctions et les calculs qui ont fourni les premières.

Equations de la ligne droite,

IV. Lorsque les coordonnées x et ^ de chacun Ar% points d\ine ligne doivent satisfaire à la même équation ; en prenant pour X un nombre quelconque a, cette équation donnera à y une valeur h , aii nioins ^ et si 6 est réelle , le point dont a et A sont les coordonnées, sera nécessairement un de ceux de la ligne. De cette manière, Téquation proposée fait connaître successive- ^lent tous les points de la ligne et peut servir à la tracer.

On voit par là qu^une équation entre deux variables x et y y feprè$ente une ligne dont chacun des points a ces variables pour coordonnées. Aussi appelle-t-on éqtiation é^une ligne la relation qui existe entre les coordonnées de chacun des points de cette ligne \ et celle-ci à son tour est appelée le lieu de Téquation.

8. Cherchons Péquation d^upe droite AE passant par Tongine A des coordonnées ( fig. 3 ). Soient AX et AY deux axes quelconques ; prenons Fabscisse positive AO = i et soit a la valeur de Pordonnée correspondante OV; soit M un point quelconque de la droite AE, x el jr les coordonnées AP et PM du point M : les deux triangles semblables AOV et APM donnent

jrzrzax.

Telle est Pcquation de la droite AE ; car non-seulement celte équation détermine tous les points de AE, situés dans Pangle Y AX \ mais aussi tous les points dans Tanglc RAY'. C^est ce qu^on vérifie , par exemple , en faisant a; = — 3 , dans j- = ax \ car la valeur résultante jr =. — 3a étant négative , détermine un point au-dessous de Taxe AX (G.401), et ce point tombe sur le prolongement de EA. E/Tectivemcnt, les coordonnées de ce point étant • — 3 et — 3a, ont pour valeurs absolues 3 et 3a; el si Ton prend du côté des abscisses négatives , la distance AI = 3, et quW mène Tordonnée IG, les triangles semblables AOV et AIG donneront ijSj^a'IG; d^où IG = 3a ; les coordonnées — 3 et — 3a déterminent donc , en elFet , le point G de la droite EAG.

( 7 ) 9* Non-teulement Téquation y"=.ax appartiait à tous les points de la droite A£, indéfiniment prolongée \ mais de plos, en y feisant varier a, cette équation détermine tontes les droite qui peuvent passer par Porigine. En effet, comme a est Fordonnée correspondante à Pabscisse positive AO = i;sia = cp, ce qui arrive quand la droite est parallèle à son ordonnée, cette droite coïncidera avec Taxe AY; et c^est ce que montre Téqua-

tion j^=ajr; car ayant alors x=: ^ = 0, quel que soit^, tous

les points de la droite se trouvent sur Taxe des ordonnées ( 4 )• Partant de cette position , il est clair qu^à mesure que a diminuera y la droite approchera de Taxe AX ; et si a devient qu( , c^est-à-dirc si le point V tombe en O, la droite aura deux points communs A et G avec Taxe AX et coïncidera avec cet axe. G^st encore ce qu^indîque Féquation y = oor, qui donne alors jr=r: o, quel que soit x.

Enfin , a devenant négatif et égal à — Oy^ la droite tombe au-dessous de Taxe des x et prend la position AN. G^est ce qu^on voit encore par Péquation jrznax^ qui devient alors yziz—^ Oy X X ; car tant que x est positif, y est négatif, et on ne peut avoir ^ positif qu^en prenant x négatif: ce qui montre quo la droite reste au-dessous de Taxe des x du c6té des abscisses po^ sitivcs et ne passe au-dessus de cet axe que du côté des abscisses négatives.

On voit donc, par cette discussion, que Téquation ^ := oo? représente successivement toutes les droites qui passent par Porigine des coordonnées et peut servir à les décrire.

10. Considérons maintenant une droite BH rencontrant Paxe des j^ à une distance AB = & de Porigine A. Soit D un point quelconque de cette droite , x etjr les coordonnées de ce point. Menons par Porigine A la parallèle AE à BH, rencontrant PD en M ; nous aurons , diaprés ce qui précède , PM = ax. Ajou* tant d^un côté MD et de Pautre son égale AB ou 6, puis observant que PM-|- MD vaut^ , il viendra

Cette équation ajrant lieu pour tous les points de la droite BH, indéfiniment prolongée dans les deux sens, est Péquation de cette droite.

1 1 . Réciproquement , totiU équation du premier degré eiître

( 8 ) lêi variahîês x êi y, représente une ligne droite et en détermine la posiiiûn. En effet , cette équation peut toujours se ramener à la forme ^ = ai: -{- 5. Si Ton j fait d^abord xz=io^ poor avoir le point situé sur Taxe. des j^, il viendra / = ^ ; et suivant que h sera positif ou négatif, ce point sera au-dessus ou au-dessous de Paxe des abscisses. Supposons h positif et prenons AB =: i; menons BF parallèle à AX et soient D, D', D", ..., les points dont les coordonnées satisfont à Péquation j* =: ax-^b ou j' — hz=:ax\ nous aurons donc, en observant (jue les parallèles PC. FC, P"C'', ... , sont égales à b ,

ÇD = a.BC, C'D' = a.BC', .C"D"=a.BC'', ...;

d'où CD ; Bç :; ç'D' : Bc ;: c"D" : bc, ...

Et comme les angles BCD, BC'D', BC'D", ... , sont égaux, il s'ensuit que les triangles BDC, BD'C, BD"C", ..., sont équiangles ; donc toutes les droites BD, BD\ BD", ... , coïncident et tou$ les points B, D, D\ D", . . . , sont à une même droite : donc enfin , toute équation de la forme j*=:aj:-f- ^^ représente «ne ligne droite | dont :ç et j^ sont les coo^don^ées de chacun 4e ses points.

12. Dans cette équation , ^ est la distance de Forigine an point où la droite coupe Taxe des ordonnées, et a est l'ordonnée correspondante à Pabscisse positive j:= i , pour la parallèle à la droite proposée, menée par l'origine ; a représente aussi le rap^ port des sinus des angles q\ie cette droite fait avec les axes des x et deq y. Car soit 0 l'angle YAX , de ces deux axes et u l'angle que la droite BH fait avec l'axe des x \ son angle avec Taxe des j* sera donc é — «. Menant AE parallèle à BH et prenant AO = 1 \ daps le triangle AOV, on aura OV=:a, l'angle OAVzz: « et l'angle AVO iz: é— r «5 il viendra donc 1 ; a J ^ sin (I — «) •

sm m \ d^ou a = . ' >t Hit si é = 90", on aura azz: tang «.

1 3. Tant que a et & sont indéterminés, la situation de la droite n'est pas connue ; mais si a et 5 sont donnes , ou si l'on a des conditions qui les dclermincnt , il sera bien facile d'en conclure la position de la droite. Pour cela , le moyen le plus simple, en général, est de chercher les points où cette droite coupe les axes, en faisant successivement xzizo clj^=:o, dans son équation. C'est ainsi qu'on trouvera la droite représentée par l'équatio^

l4- Trauwer TèquaiUn étune ligne droite passant par deux points donnés, f angle. des axes étant bailleurs quelconque.

Soient (i/, j^) le premier point, (^'i J^') le second ^\.yz=.* ax-\-h Téquation de la droite cherchée, a et ^ étant inconnus. Puisque cette droite passe par les points dont les coordonnées sont x' et y* y af^ et y*\ son équation sera satbfaite lorsqu^on y remplacera x par 3^ et jr par ^, puis x par xf' et y par^'^ ainsi oq a les trois équations

yz=zax + ^1

Prenant dans les deux dernières équations les valeurs de a et

6, puis substituant dans la première, le résultat sera Téquation

. demandée. Mais Péliminalion se fait beaucoup plus simplement,

en retranchant la seconde équation de la première cl la troisième

de la seconde ; car on a , par ce moyen ,

d^où Ton tire

Il est aisé de vérifier que la seconde de ces équations est celle de la droite qui passe par les deux points {p^^y^ et {j^\ ^')î car si y =^jr\ elle donne x:=, x^ \ et si y:=:y\ elle founut a:= a;". On voit d^ailleurs que le h de celte droite a pour va-

leur 6= ^,^, .

Remarquons de plus, que si une droite passe par le point (^1^)1 ^^^ équation sera toujours de la forme

i5. L'angle des axes étant quelconque , si les deux droites y = ax -f' ^ '^ y = ^'^ "1" ^'1 9ont parallkles, on aura toujours a=:a'; et réciproquement. Car puisque les d^iiii^ droites proposées sont parallèles, les parallèles /i et //, à ces deux droites, menées par Torigine , coïncident nécessairement ; il en est donc de même des ordonnées a et a', qui , pour ces parallèles p et //, correspondent à la même abscisse 1 positive (12); c^est-à-dire que a=a'.

Hêciproquement, si 0=0^^ le» parallèles p et |/ aux deox droites proposées, menées par roriginc, auront deux poi'ols de communs et coïncideront ; les deux droites proposées seront donc alors parallèles à une même troisième, et conséquemmeot parallèles entre elles.

16. Il est bon d^observer que quand deux droites se coupent, les coordonnées a; et ^ du point d^intersection , sont respective* ment les mêmes dans les équations de ces droites ; et réciproquement. Si donc on résout les deux équations

jr=zax -\- è et jr=z a'x -f- ^ 1

les valeurs résultantes seront conmiunes à ces équations et seront les coordonnées du point de rencontre des droites que ces mêmes équations représentent : on aura

xz=z r et J' = J--

Si a = a\ sans qu^on ait h =: 5', ces valeqrs seront infinies; le point d^'ntcrsection sera donc infiniment éloigné : aussi alon les deux droites sont parallèles.

Si on avait à la fois a = a' et bz=:b\ les deux droites se con* fondraient et auraient une infinité de points conmiuns : c^est aussi ce qu'^indiquent les valeurs a;=| et j^=| , que Ton trouve dans ce cas.

17. Calculer V angle de deux droites, rapportées à des axes rectangu laires .

Menons par Torigine A les parallèles AE et AF aux deux droites proposées jr'=.ajc •\- h cl ^" = a'x 4" ^ î Tangle EAF sera donc le même que celui de ces deux droites (fig. 4)« Soient « et J les angles que les droites proposées font avec Taxe des X ; on aura donc Tangle EAX = « et Tangle FAX =î= «' ; d'où Fangle EAF 1:= «' — « , et en outre a r= tang « et a' = tang «' ( i!i). Soit / la tangente de Pangle «' — « des deux droites proposées, de sorte que /=tang(«' — «). Développant le seçoqd membre, il viendra

« tanff *' — taii£j « a*

Soit s le sinus de Tanglc «f'^« des deux droites ; son cosinus sera y \ — «* et on aura

/= -; d'où sz=

Substituant la valeur précédente de / et réduisant, on trouvera

|/(i+a»)(i + «'') Cette formule , ou celle qui donne /, suffira pour construire Tangle des deux droites ^=ax+ 5 et j^=a'x'-f-^', rapportées à des axes rectangulaires.

i8. Si cet angle «' — « est droit, sa tangente /sera infinie cC son sinus s égal au rayon i ; donc les formules précédentes donneront chacune aa'+ i = o. Réciproquement, si aa! -\- i=.o^ on aura / = oo et « = i ^ Pangle des deux droites proposées sera donc droit. Ainsi on a ce théorème, que nous emploierons souvent :

Lor$quê deux droiUs y = ax -j- h e/ y^ = a'x + h', rapporUes à des axe$ reeiangulaires, sont perpendiculaires Vune à Vautre j çn a toi^ours aa'4~ t ==o/ ^^ réciproquement. Cesi d^ailleurs ce que Ton peut démontrer directement , par la construction d^uno figure , et sans le secours de la Trigonométrie.

19. Pour avoir Tangle m* — m des deux droites proposées r=ax-f-& tljr=:a'x'\-h\ lorsque les axes sont obliques et font entre eux un angle

A , on observe qu^alors a == -: — 7- r (13). Développant sin (0 — «) ,

^ sm(6 — «) "^ ^

puis chassant le dénominateur et divisant les deux membres par cos«,

on aura

'M * 1^ . a sin $ a sm 9 — a cos 6 tancr m. =; tang m, : d où tancr « = — ; -•

i-|-acos8 L équation a'=i -. — — — , donne de même tang «'=

sin(9 — *')' ■ i+a'cosG

Posant toujours f r=: tang (ef — *), développant et substituant les valeurs que Ton vient de trouver pour tang « et tang «', il viendra

(a' — ii)sin9 i-\-aa'-{'(a'\-a')cosè

Si les deux droites sont parallèles, «'=«, t =: tang («' — «) = o et par suite ef:=:=.a^ comme au n** i5«

Si les deux droites sont perpendiculaires, Fangle •' — •=90^ et <= tang 90** = 00 ; ce qui exige qu^on ait

condition qui, lorsque 6 =90^, se réduit à i-)-aa'=:o, comme au n" 18.

20. Trouver Paire du foralUlogrammê ABCD, doni le sommet éPun angle est à f origine des coordonnées rectangulaires, connaissant bailleurs Us équations jznaxetjzz: a'x deo c6tés AB et AD qui comprennent cet angle, ainsi que Us longueurs A' et Ylf de ces côtés ( fig. 4 )• Soient « et J les angles B AX et DAX ; soit s le sinus de Pangle BAD ou J~m, Menant la haatenr DG du parallélogramme ABCD, le triangle rectangle ADG donnera i I « I * B' * DG=B'f^ et Paire de ce parallélogramme sera AB X DG ou A'B'«. Substituant la valeur de #, trouTée plus haut ( 1 7) , il viendra

l/^(i4-«')(i4-«") Soient x^^ y les coordonnées du point B et x^\ jr** celles du point D; on trouve aisément que A'B'«=:ary — J^^'»

2 1 . Les coordonnées étant rectangulaires, la distance P du poùti

(x', y') à la droite yizz ax+b^ sera toujours Vzzr——

Soit EF la droite j-^iax + h.Wle point (x^, y) et Mil :=:P la perpendiculaire cherchée (fîg. 5). L^angle de EFavec AX étant égal à Tanglc de AX avec AV, parallèle à EF; si Ton prend AO = 1, ce qui donne la perpendiculaire OV = a, les deux triangles AOV et IMM' seront semblables ; on aura donc

AO : MM' ; : AV; IM', ou 1 ; ?;; ^7+? ; IM'=Pj/7+7. Mais ayant AP' = j/ et I étant un point de la droite proposée EF ou jr :iz ax '\' b ^ il vient IP' nz ax* -}- h. Donc comme M'P' =y, onaïM'z=/— ox'— ô; d'où l'on Ure

Pj/r+^=y— «^' — * et P = 2±Z^^.

1/^1 + a* Il est facile de vérifier que si le point (^x'^y) tombait en W\ au-dessoqs de I9 droite proposée EF, la valeur de P serait négative.

On parviendrait d'ailleurs à la formule précédente, au moyen de l'équation de la droite donnée, de celle de sa perpendiculaire menée par (j^, ^') et de la distance P entre le pied (x, j-) et le point ( x', j-') : on aurait alors à combiner les équations

j-z=:ax -\- b^ y — j^=:a'( x— ^or*), . i + aa' = o, P' = (^-y)' + (*-x')';

et on serait ainsi dispensé de construire une figure.

21. Le petit nombre de principes qui précèdent , suffit pour résoudre très-simplement tous les problèmes qui ne dépendent que de la ligne droite, sur un plan. On aura, dans la suite, souvent Toccasion d^appliquer ces principes ^ nous nous bornerons donc , pour le moment , au théorème que voici :

Si dêi extréndUt de lorbase AB t^un triangle quelconque ABC, an mhiâ Jês paral&leg aux deux autres eùtê$, et que par deux pointe quelconques P et Q, pris à volonté sur ces parallèles, on mène aux mêmes côtés, deux nouvelles parallèles, se coupant en "Dsje dis que les trois droites AQ, BP et DC se rencontreront en un même point (^ûg, 6).

Prenons les côtés CA et CB pour les axes des x et des^ obliques \ faisons CA = a , CB z=z h , kV-zzp et BQr^g : la droite AQ passant par les deux points (a, o) et ( — ^, &), aura pour équation (i 4) b

De même, 4a droite BP passant par les deux pojnts (0,6} et ( a , *— fi ) , aura pour équation

Enfin, Téquation de la droite DC, qui passe par les points (o, o) et (-^p, — 9), sera de la forme

Pour le point où les deux premières droites se coupent, les x et les y sont respectivement les mêmes dans les équations de ces droites. Résolvant donc ces deux équations, les valeurs résultantes seront les coordonnées x et ^ du point commun aux deux droites AQ et BP : et puisque ces valeurs satisfont à Féquatioa do la droite DC, il s^ensuit que le point d^intersection de AQ et BP, se trouve sur DC.

Et comme les signes de jp et ^ peuvent être quelconques , il faut en conclure que les droite» AP et BQ peuvent être menées indistinctement de part et d^autre de la base du triangle , sans que le théorème cesse pow cela d^avoir lieu.

a3. On démontrerait, d^uoe manière tout-à-faît analogne^ les théorèmes des n**' 1^5 et 126 de la Géométrie, après avoir établi que les eoordmmisê du milieu de la droite qui Joint les

Hr + j")'

a4' '^^ ^*on veut trouver analytiquemeni le point égalenkent distaat de trois droites tfui se coupent etjbrment un triangle^ on Tem qa^O existe quatre de ces points et qa^ils se trouvent aux interscctîoos des bisectrices de deux angles du triangle avec leurs perpendiculaires aoi sommets des iSiémes angles. De là ^ en cherchant le point paiement Joigne des trois sommets du même triangle, on sera conduit aiijl profpriâéi indiquées ) page 294 de la G^mctrie.

a5. Enfin, voici encore quelques propositions à traiter :

lé Trouver Paire d^un triangle , au moyen des coordomiëes des tonmets de ses angles.

IL Trouver le lieu de tous les points ^lemeflil dislafls chacoii de deox points donnés*

m. Quel est le lieU de tous les points tels , qu^en menant de chacu deux droites à deux points donnés, Ifl différence des carrés de œ» drotla taille un carré donné c* f

1 V« Lorsque des extrémités de la base d^un triangle, on mène des droitrs k dent points semblâblemetit placés stir les deux autres c:6tés ^ œs deox droites se coupent sur la droite menée du sommet an milieu de la base.

V. D^un point donné hors d^un angle tracé , mener une sécanle tefle, que les distances de ce point aux deux où cette sécante coupe les deai côtés de Pangle , aient le rapport donné n.

Equations de la circonférence et de sa tangente.

36. Soient p ei q les coordonnées rectangulaires du centre d^un cercle donné ^ x eij' celles d W point quelconque de sa circonférence et R la dislance de ces deux points ou le rajon \ diaprés ce qu^on a vu ( 5 ) , il est clair qu^on aura toujours

Telle est Pëquatîon la plus générale de la circonférence t elle renferme trois constanteg indéterminées , parce qu^il faut trois conditions pour déterminer le centre et le rajon d^un cercle.

27. Lorsque Porigine est un point de la circonférence, on a p* 4" 9* = ^' i *^ Téqualion du cercle devient

^••-f-^' — 2px — 2jj-=:o.

Alors si on y fait^ = o , pour avoir les points oh laxirconférence coupe Taxe des x, il viendra xrrro et x=r !2p; ainsi les points d^intersection sont Porigine et celui dont Pabsdsse 2p est double de Tabscisse p du centre. D*où il soit qao la perpen^eu-

lairê q, menée du centre eur la corde ip, dvriee cette iforde en deux partiee égalée,

a8. Si Torighie est à Pextrémité d^an diamètre, pris pour axe des X, les coordonnées du centre seront nécessairement j9 = R et 9 =1 o ^ alors Téquation de la circonférence prend la forme

et comme yx^ +^ exprime la distance du point (x, j-) de la circonférence à l\>rigine des coordonnées ( 5 ) , ou représente une corde , on voit que cette corde cet moyenne freporteennelle entre le diamètre aR et le eegment x aé^'acent à cette même corde, 39. La m^me équation prend aussi la forme

y^znOkRx — X* ou j-*:=:(!iR — x)x.

Or, X et 2R — X sont les se^ens du diamètre, déterminés par Pordonnée j^ ; de là résulte donc que et dPun peémt de la circonférence, on abaisse une perpendiculaire eur le diamhtre, cette perpendiculaire sera moyenne proportionnelle entre lee deux eeymené qu'elle détermine sur ce diamètre.

30. Enfin , si Porigine des coordonnées rectangulaires est au centre, p et f seront nub ; et Péqiiatîon (1) deviendra

Cette équation est la plus simple de la circonférence: asssi eslce celle qu^on emploie le plus fréquemment.

Par ce qui précède, on voit que le» coordonsées x et^ étant rectangulaires, Téquation de la circonférence est toujours du second degré et ne conlieift pas ^e produit x^.

3 1 . Réciproquement , les coordenniee netj étant rectangulaires, toute équation qui ne contient pas le produit ij^ maie renferme lee carrée x* efj^, avec dee cee^ciene égaux et de mémo eigne, représente une cireonférence^ Car cette équation peut toujours se ramener à la forme (x — p^ '\'(j' — y)* mR*. C'est ainsi , par exemple., qoe Péquation

Ax» + Aj-»+Bx + Çj- + D = o,

Celte équation est celle de la drconference, dont les coordonr* nées du centre et le rajon , sont respectivement (26)

( 18 ) Il est aisé, diaprés cela , de trouver le ceiftre et le rajoa de la circonféreace rcprësentcc par réquation ^

32 . L^équation de la circonférence nous a déjà donné plosieiirs propriétés de cette ligne; et elle doit lesfonmir tontes, plli^ qu^elle la représente complètement. Voyons, par exemple, â les deux droites menées des extrémités d^un diamètre à un même point de la courbe, sont perpendiculaires Tune à Tautre (fig. 7).

D^abord Péquation de la droite BM étant de la forme ^r= ex -1- & , la condition de passer par le point Bou(-'— R, o), donnera o = — aR-|-&. Retranchant cette équation de la précédente, on aura, pour Téqualion de la droite BM ,

De même, Péquation de la droite CM sera

D^ailleurs, Téquatiôn de la circonférence est

x'+jr«=:R».

Lerdeux droites devant se couper en M sur la circonférence^ les coordonnées du point d^intersection , sont respectivement les mêmes dans les trois équations précédentes. Si donc on prend les valeurs de x et de j-^ dans les deux premières , et qu^on substitue dans la troisième , celle-ci sera satisfaite , et on aura ainsi , réductions faites ,

La dernière équation donne d^abord oa' -}*i = o; ce qui prouve que les droites menées des extrémités d\in diamètre à on même point de la circonférence , sont perpendiculaires Tune à Pautre (18). La même équation fournît ensuite aaf^ o ^ d^oua = 0 et a'==^, ou bien af^zioei a=f. Cela signifie que, si Pune des deux droites est menée suivant Taxe des x, Tautre aura telle direction qu^on voudra.

Il est visible , en effet , que dans cette dernière supposition ^ les deux droites se coupent toujours sur la circonférence , conformément à rhjpothèse; mais cette seconde solution ne fournit aucune propriété, et on aurait pu se dispenser d^y aVoir égard*

HànarqùiDiis qiie si , dans le produit des deui premiéfM ^^ttidtis pti^ Iposées, oti substitue la valeur de aa' tirée de aa^'\- 1=0, on résoudra le problème où il £iut trouver le lieu des sommets de tons les angles droits^ dont les côtés passent constamment par deux poizits d<Amés«

33. Cherchons actuellement les relations nécessaires jK>ur que deux circonférences se coupent ou se touchent. Prenons pour axe des x la droite d qui joint les deux centres, Porigine des coordonnées rectangulaires étant au centre du plus grand des deux cercles et Pabséisse positive du second centre étant la droite d elle-même : il est dair qiie les équations des deux circonférences sont respectivement

x»+j^=;R» et (jc— d)»-f-^ = R'».

Pour les points où les deux circonférences se coupent, les x tilesy •ont respectivement les mêmes dans les équations précédentes ; de sorte, qu^en résolvant ces équations, on trouvera ^ pour les coordonnées dev points d^intersecdon ,

i» On voit qu^il y a deux points d^intersection , pour lesquels x n'ai qu^une seule valeur ; ce qui prouve que la droite if ui joint Uk deux points de rencontre est perpendiculaire à la droite qui joint les deux centres* De plus , comble les deux valeurs de j* sont égales et de signes contraires, la première droite est divisée en deux parties égales par la seconde^

a* R étant le plus grand rayon , les deux premiers factetirs sous'le radical àtf sont positift ; donc si les deux autres facteurs sont positifs aussi, c^est-â-dire si Ton a en même temps <2^R-)-R'et<2^R — R', les deux valeurs dejr seront réelles et les deux circonférences se couperont en deux points. Donc , lorsque la distance des centres de deux cercles est moin^ dre que la somme de leurs rayons^ mais plus grande que leur différence^ les deux circor^érences se coupent*

lies deux valeurs de j^ seraient encore réelles , si Ton pouvait avoir en même temps R^<2+R' et <2^R4-R'. Mais ces inégalités sont impossibles; car dès que R><24-R', a plus forte raiion R4-R'><2.

d^ Lorsqu^on a <2^R + R', Pun des deux derniers facteurs sous le ra^ dical de^ est négatif, taudis que les trois autres sont positifr ; donc alort les deux valeurs dtjr sont imaginaires et les deux cercles ne se coupent pas. n en serait de même si Ton avait <2<^R — R^

4** Si <2=:R -|~R'i le dernier fiicteur sous le radical de jr sera nul ; les deux valeurs se réduiront à une seule o , et par conséquent les deux circonférences n^anronl quW seul point de commun , placé sur la distanc» des centres* H en serait encore de même ai Ton avai» dzzzK — R^

5** Réciproquement , dès que les deux circonférences n^ont qu*nn seul

pqint de oomiiina, les deox Taloin dey la riSdiliienlà mM te^ ne peut arri?er qa^aatant qa^èllet lODi noDee tootet lee deuL, et per tnifte qo^antant que VtojL dm deux dcmien freleiin sous le radical est aéro. On 'adoiicjr=oct cl=R-f-R', oacl=R— R'; ainsi çimumI «Imx cv^oityérmtees se touchent y le point de eontaei esi place sur ia diHamoe dm oenires , et cette dittanee vaut la somme ou la différence des rmpms»

00 Enfin, si d=zo el R^R', les deoz Taleors âejr soot imapnairei; nais si <<=oetRs=R',xeljr sont indëtenninës: aussi les ciiconfércnoss sont-elles intérieures Pane à Tautre , dans le premier cas, et oomcidcBt dans le second.

34* Examinons maintenant les propriétés qui résultent de rintefsectÎQa d^une circonférence par une droite on plusieurs. Soient jt', jr' les coordonnées d'un point donné sur le plan d'Sm cerde. L^origine dea coordonnéea rectangulaires étant au centre , les équations de la circonl&ence 4 d^une sécante menée par le point (a:', ^) , seront respectlTcment

x«+jr»=:R» ety— jr/=a(x— «/).

Soit z la distance du point ( x*^ ) à Tnn des points d^teraection de la sécante avec la circonférence; pour ce point d^intersection, les x et lei y seront respectivement les mêmes dans les deux équations préoédentei et dans ceile-^ ;

,»=(»-:t')« + Cr-/)«.

Prenant donc les Taleurs de x et de j^ dans la seconde et la troisiéat équation *, puis substituant dans la première , après avoir posé |/^i-f«» Ci^m; observant d^aillenrs que si d désigne la distance dn point (^,y ) à Porigine, on a <2*=i=x^* +^'i ^^ obtiendra

z^ + ^(xf+ayt)z+d*—'R*=zo... (i).

Cette équation n^ajrant que deux racines , il s^ensuit qu^une droite ne peut jamais couper la circonférence qu^en deux points. Soient z^ et z" les deux valeurs de x ^ on aura , diaprés la composiiion des équations,

m zV=<l> — R'.

Le produit s'x" étant indépendant de la valeur de a , qui détermine la direction de la sécante , on voit que si par le même point (^>^), on mène une autre sécante et qu^on désigne par t/', v'' les distances de ce point aux deux points d^intersection , on trouvera pareillement i/t^=z <2*^-R* : donc x'2"== v'v", et conséquemment

Cette proportion a lieu , l' lorsque le point ( x', j^ ) est dans rintérienr du cercle ; a* lorsqu^il est au-dehors ; 3* lorsqu^ëtant au-dehora , ùm a v^z=iv*K De là résultent donc les trois théorèmes qu^on démontre en géométrie.

Maiiiteiitnt ^ soppoions que les denx Taleurt a' et «^ de s , dios Tëqoa- ' tioB (i ), soient^^gales : dans ce cas , li droite jr-.^ = <> ( * — ^ ) ^era tangente à la circonférence , pnisqiie ses deux points d^intersectîon arec cette courbe, se rëoniront en un seul ; on aura donc dors z>+xf'z=z azf, V^'= È^*j et ensuite

,,;=f±2l et .'= ± k'^TF.

Si donc le point (xf^jr*) est hors du cercle, on aura <2^R et les deux valeurs de x' seront rëeUes et ^les ; on peut donc , par un point hort du eerele^ mener â la circonférence , deux tangentes égales entre elles»

Si le point {xf^jr*) était dans Fintérieur du cerde, c^est-à-dire si Ton avait ^<CR; ** serait imaginaire et il n^j aurait point de tangente ^ ce qui est d^aiUeurs aident*

Enfin, si le point (x^^y) est sur la circonfe'rence ; en daignant par x" tXf"ie% coordonnées, on aura x* z=.x*\ y' z=zy" et a:"«-(-j^'*=R" • et comme alors <<=R , il vient z'r=:o et x^' -|- ay*' = o \ d^où a = —

-j- Cette valeur de a étant unique , on voit que par un point (x'', y'' )

donné sur la eireonférenee , on ne peut mener qu^une seule tangente â cette ligne. De là on ùrejry -{-xx^f = R' pour Tcquatipu de la tangente ; mais nous allons chercher cette équation d^une autre manière.

35. Proposons-nous de trouver rëq[uadon dWe droite (J)) perpendictûaire à rextrémitë ix"^y) du rayon B.. D^abord Tcquation de ce rayon est de la forme jr= a'x\ et puisque le point ( x"^ y ) appartient à la fois au mdme rayon et à la drconférence x* + J^*= I^*i on a à la fois

y = aV' et x"*4.y* = R\

L'^ëquatîon de la droite (D), passant par le point (^x^^ j"}^ est de la forme ^ y r — ^ ^ ^p ;c// ) .

la condition dMtre perpendiculaire au rayon B., donne oa'-f- 1

xff yff

z=o\ d'où k cause de a'=:-7r, il vient a = — '^. Substituant

cette valeur dans Téquation de (D) et réduisant d'après la relation x"* + j^ = R*, on trouvera Péqnation cherchée

Maintenant pour montrer que la droite (D) représentée par cette équation , est tout entière hors du cercle , retranchons le double de la même équation hors de celle-ci : x^'-j-^^'^^R*; nous aurons yri-^a^yf^:c''»aa:x"=— R"

Cette soustraction n'ayant pas changé les valeurs des coor-

aopnëes x t\jr d^un point quelconque delà droite (^Û), Inéquation résultante représente toujours la même droite. Soit d la distance du point ( x, j-) au centre ; on aura x' -}* J^ = ^- Ajoutant celte équation à la précédente , il viendra

Cette équation représente encore la même droite (D). Or, le premier membre étant toujours positif, quel que soit le point ( X, ^) de cette droite , la distance d de ce point au centre sera toujours plus grande que le rayon R ; tous les points de (D) sont donc hors du cercle, à Texception du point (•2^\j^')i qui est sur la circonférence \ la droite (D) n^a donc que le wcA point (x'^ y^^ de commun avec cette courbe : donc elle lui est tangente en ce point.

On voit ainsi que la perpendiculaire à V extrémité (x'', j'') iun rayon est tangente à la circonfirence. L^équation de cette tangente est jry^ -|- xjf^^=B^^ et sa direction est dctenninée

par a = —'-rr

36. Voyons maintenant comment On peut mener tme tangente à la circonférence, par un point donné (:e/, j-'). Soit <2.1a distance de ce point à Forigine ou au centre ; on aura d^abord

De plus , le point de contact cherché ( x'\ y" ) , étant sur la circonférence , on a

Enfin , la tangente yy + ^^ = ^'i devant passer par le point (a;', ^'), pour lequel ariz: ar' et yz=.y\ il vient

y/'+:rV'=R»...(3)

Résolvant les deux dernières équations , par rapport à x" et à y\ on aura \t& coordonnées du point de contact cherché \ et les valeurs résultantes montreront de plus dans quels cas il y aura deux tangentes, une seule ou aucune.

Mais il sera beaucoup plus simple de déduire des trois équations précédentes, le moyen de construire la tangente menée par le point ( x\ y ) hors du cercle. Or, ajoutant la seconde équation au quart de la première et retranchant la troisième, on

irouvcra (y'i^7+(x''-|x')'=K ... (4)

Les coordonnées x" et y* n'^ayant pas changé de valeurs , elles appartiennent, dans cette équation, au même point que dans les équations proposées. Mais il est visible que la nouvelle équation représente une circonférence , dont \y et \7f sont les coordonnées du centre (^6); conséquemment ce centre est le milieu de la distance à. Et comme le rayon est ^, on voit que cette circonférence est décrite sur la distance à^ prise pour diamètre. D^ailleurs, les coordonnées x^et^'^du point de contact cherché , doivent satisfaire à Péquation (4) \ ce point appartient donc à la nouvelle circonférence : déjà il appartient à la proposée ; il se trouve donc aux intersections de ces deux courbes, Pe sorte que si Ton joint par des droites ces deux points d^interscction au point donné ( x\ j*' ) i on aura les deux tangentes que Ton peut mener à la circonférence , par un point situé hors du cercle \ et telle est précisément la construction présente en géométrie pour mener une tangente à la circonférence, dMa point donné hors de cette courbe.

37. Un cercle, dont O ett le centre, et un peint P étant donnée êur un plan, trouver le lieu de» intereecOon» det tangentes aux pointe oii la circonfértiice est coupée par une droite quelconque menée du point P.

Plaçons Pongine des coordonnées rectangulaires au centre O et Paie des x suivant la droite d qui joint ce centre au point P« Soient {^x\y) et (x",^") les points où la droite tirée de P coupe la circonférence \ Téquation de cette droite jiera donc

Et puisque le point P ou (i, o) se trouve sur la même droitt

on a yf y/f , yl ytl yf

Les tangentes menées aux points ( ^1 ^ ) et ( :p", y ) , ont respectivement pour équations

:^y + xx' = K\

Pour le point dMntersection de ces tangentes , les x et les j^ sont respectivement lès mêmes dans leurs équations. Retranchant la seconde de ces équations de la première, puis remplaçant,

dans Pëquadon résultante , la fraction ^; — ^, , par sa valeor

trouvée plus haut, et réduisant, il viendra

jry^xx'=zdx\ d'où R* = dlr et ar = -^-

Cette valeur de x étant constamment la même , quelle que soit la sécante menée de P, c'est-à-dire quelle que soit Pordonnée j*, représente évidemment une parallèle à Taxe des jr. Et suivant que d sera ^ ou <^ R , c'est-à-dire suivant que le point P sera au-dehors ou dans Pintérieur du cercle, cette parallèle, iau contraire , coupera le cercle , ou lui sera extérieure.

U résulte donc des calculs précédons , que H é^un pomi tUtd dans U plan éPun cercle, on tnhie autant de sécantêê çt^am vendra, les points de rencontre des deux tangentes ans interêeeiiems de chaque sécante, seront tous sur une perpendiculaire à la droite qui joint le centre du cercle au point proposé.

38. On peut donc dire que la sécante pivote sur le point P, quand le point de rencontre des deux tangentes correspondantes parcourt la perpendiculaire P', dont on vient de parler. Pour exprimer plus brièvement ce fait, on a donné au point P, un nom qui signifie pivot de rotation \ il s'appelle pâle de la perpendiculaire P', et celle-ci est dite la polaire du point P. Rien n'est plus facile que de trouver le pôle, lorsque la polaire est donnée, et réciproquement \ il suffit pour cela , de déterminer d oa x dans dx '=z R'.

Soit P" le point où la perpendiculaire P' rencontre la droite dy c'est-à-dire l'extrémité de l'abscisse x; on a nommé pèles conjugués d'un cercle, deux points P et P" en ligne droite aVec son centre, de manière que le rayon R soit moyen proportionnel entre leurs distances dd xkce centre. D'où il suit que le sommet d'un angle circonscrit au cercle et le milieu de la corde qui joint les deux contacts, sont deux pôles conjugués l'un. de l'aatre.

Sg. On appelle axe radical de deux cercles, une droite teHe^ qu'en menant de l'un quelconque de ses points , des tangentes aux deux circonférences , ces tangentes sont égales entre elles. Voyons s'il peut exister une telle droite. Soit d la distance de& centres des deux cercles proposés ^ R et R' leurs rayons. Plaçons l'origine des coordonnées rectangulaires au centre da premier cercle et l'axe des x suivant la droite d. Soit (x'i J^) on point

id , qu^en menant de ce point des tangiéntes aux deux drconfé* rences, les longueurs de ces tangentes, depuis le point (x', y) jusqu^aux deux contacts , soient égales chacune à e ; il est visible que les distances de (x', j^) à Porigîne et au centre du second cercle, forment dçux triangles rectangles, ayant l\m R et c pour c6tés de Fangle droit, et Pautre R' et c : on a par conséquent

^+y = R* + c% Retranchant la seconde de ces équations de la première, ou aur^

Cette équation représente une droite df^ paraUèle à Taxe des' ordonnées ; car elle reste la même , quelle que soit la longueur e des deux tangentes égales menées du point ( ^i ^ ) i c^estràdire quel que soit ce point et par conséquent son ordonnée^. De plus, comme cette équation est unique et qu^elle est vraie, quelles que soient les trois quantités R, R' et d, il sVnsuit que deux cercles ont toujours et n^ont jamais qu^un seul axe radical , tel que nous Pavons défini : c^est la droite <F perpendiculaire à la distance d des centres et éloignée du premier de la distance x', que nous venons de calculer. H est bien facile, diaprés cette valeur, de construire Paxe radical de deux cercles donnés.

4o. 11 résulte aussi de la valeur précédente de x', i* que si deux cercles se coupent, leur axe radical est dirigé suivant la corde commune ; a* que si deux cercles se touchent , intérieurement ou extérieurement, leur axe radical est la tangente commune au point qu^ils ont de commun ; 3* enfin , que la différence des carrés des rajons de deux cercles , est égale à la différence des carrés des distances de leurs centres au point où Paxe radical coupe la droite qui joint ces deux centres. Ce point est dit le Centre radical des deux cercles proposés.

4i • Lê$ axêt radicaux de trois eercUi quelconquec, prie deur à deux, te coupent toujourt en un même point, appelé centre radical de ces cercles.

Supposons d^abord que les trois cercles proposés A , B , C ^ ne se coupent pas, ou du moins que Pun d^eux ne coupe pa» les deux autres ; soit P le point de rencontre de Paxe radical de» deux oerdes A et B, avec Paxe radical des deux cercles A et C;

du point P menoiu les tangentes A^ B\ C, aux cerdes A, B« G. Poisqae P appartient à Taxe radical dès deux cercles A et B, les tangentes A' et B' sont égales (Sg). De même, puisque P appartient à Taxe radical des deux cercles A et G , les tangentes A' et O sont égales. Donc les tangentes B' et Gf, égales à h même A\ sont égales entre elles, et par conséquent P est ud point de Taxe radical des àevan, cercles B et G : donc enfin les frois axes radicaux se rencontrent au même point P.

Supposons actuellement que les trois cercles A, B, G se coupent ; soient R, R\ R'' leurs rayons ; les équations de ces cerdes Keronl respectivement

Ça:—py + (jr—qy = K' ou A"=o,

^x—fY + {jr—^y=ïif* ou B'^zzo,

(x-j/J + Cr-rÔ*;=ïl'" OH G'';= o.

Les équations des cordes communes à ces trois cercles, c'^eità-dire de leurs axes radicaux , sont respecdrcment

A" — B"=o, A'' — G^=:o et B^ — G^rro.

Or, pour le point P d^intersection des deux premiers axes, les x et les j* sont respectivement les mêmes dans leurs équations; donc , puisqu^en retranchant la première de ces équations de la seconde, on obtient B" — C" = o, c^est-à-dire Péquation do troisième axe radical , il s^ensuit que le point P tombe aussi sur cet axe.

^2. Voici quelques problèmes à résoudre :

I. Trouver le lieu de tous les points tels, que la somme des carrés des flistanccs de chacun à deux points donnes , vaille un carré donné c*.

II. Connaissapt Panglc d^ deux droites qui se coupent au centre d^an cercle donné, mener à celui^ une tangente telle, que ses parties comprises entre le point de contact et les deux droites proposées ^ aient un rapport connu n. ( Ce problème peut avoir huit solutions.)

III. Par un point doni^é sur le plan d'*un cercle connu , mener demL sécantes perpendiculai^pcs entre elles, de manière que les parties interceptées par la circonférence ^ soient dans le rappqrt donn^ it. ( fja solution conduit à un théorème assez remarquable. )

rV. Etant donnés tant de points qu^on voudra sur un plan , en trouver un autre tel, que la somme des carrés de ses distances aux prenûers, vaille un carré donné c^. (On pourrait aussi demander que cette somme fût la moindre possible *, et alors, s^il y a seulement trois points, sommets 4- un triangle, le point (Cherché scr» le centre de gravité de c^ triafiglç. )

V. Trourer le lien des sommets de tons les angles <%aux à A, dont les pôtés passent constamment par deux points donnés B et C, (La soluûon analytique conduit à la constmction pour décrire sur la corde BÇ un segment capable de Tangle donné A ; mais il faut pour cda , que Torigine des coordonnées rectangulaires soit au milieu de la corde 6C et Taxe des X dirigé suivant cette corde : autrement, il serait fort difficile d^arrirev à la construction du problème. )

De la Transformation des coordonnées.

43. Lorsqu^on veut résoudre une question à Taîde des prîn-r cipes de la géométrie analytique, la première chose à faire est de chobir les axes des coordonnées , de manière à simplifier les calculs et à fournir les résultats les plus faciles à interpréter géométriquement. Or , pour cela ^ les axe^ 4oîvent être le plus souvent rectaqgvtlaifes; quelquefois cependant il faut les prendre obliques ; d^autres fois Pun d^eux doit élre dirigé suivant unç droite donnée , Porigine doit élre placée à un certain point , etc. Mais Pusage seul peut apprendre comment il faut disposer les axes et Porigine , pour que Péquation à coiisidérer ait le moindre nombre de termes qu^il se puisse.

G>mme il n^arrive pas toujours qu^on ^it pu faire le meilleur choix à cet égard , et que souvent les axes sont déjà déterminés, on a recours à la transformation des coordonnais dont le but est de faire disparaître quelques termes de Péquatipn proposée, en chaiigeant Porigine et la direction des axes ; préparation qui )a met en état d^étre résolue et discutée plus aisément.

44* Quand on veut ainsi passer d^un système de coordonnées à un autre , on cherche , pour un point quelconque, les valeurs des anciennes coordoniiées en fonction des nouvelles : en substituant ces valeurs dans Péquation proposée, elle appartient toujours aux mêmes points ; mais ces points s^j trouvent rapportés aux nouveaux axes. Par conséquent les propriétés de la courbe restent toujours les mêmes , et il n^y a de changement que dans la manière dont elles sont exprimées.

45. Voyons d^abord comment on passe d^un syslèqie de coordonnées rectangulaires, à un système de coordonnées obliques, d^une autre origine. Soient A et A les coordonnées AQ et QA' de la nouvelle origine A' (fig. 8); soient A^X' et AHf' les nouveaux fULes des ^ et des^^ B{ un point quelconque de |a ligne \ x qi

y ses coordonnées rectangulaires AP et PM ; ^ fXy' ses nonvelles coordonnées AT' et P'M \ soient enfin ^ = ox -|- à et ^ = a^x+ V les équations des nouveaux axes ÂrX' et hFV. Henant MYa et PHD parallèles à AZ ; prenant A'I=: i et tirant IK perpendiculaire à A'E, on aura EÔ[=a et IKr=:af. De sorte, qu^en désignant A'H par m et A'R par m', il viendra «»*=: i -(" a*etjnf*=i + fl'\

Cela posé , on a évidemment

^=A + CP'+DM.

Les triangles semblables A'IH et A'CP' donnent

w»:^»^:: > :a'c=- et m:x'::a: cp'=—-

m ut

Pareillement, les triangles semblables h!VL et FDM four» nissent

Substituant ces valeurs , on trouve

Telles sont les formules générales pour passer d'^un système de coordonnées rectangulaires, à un système de coordonnées obliques, d^qne autre origine. Si Forigine était la même, A et A seraient nuls.

46. Si Fangle des nouveaux axes était droit, on aurait oo'-f"

i = o ; d'où à cause de m'z= 1 +0*, il vient a'=: , mf z=.-

et par suite ^l.' ,«r'

mx

Ces formules sont donc pour passer d^un système de coordonnées rectangulaires, à un système de coordonnées rectangulaires , d'une autre origine.

47* Maintenant, si l'on veut passer d'un système d^axes obliques , à un système d'axes rectangulaires , de même origine, il

salBra de faire A=o et Azro, dans les^fonnales (i) et de résoudre ces mémci formules par rapport kx^ ety :x>n trouvera

ainsi .'Çy-,,) ^^ ^^^n(^V-y)

48. Enfin, si l^on veut passer d^un système quelconque, à ua autre parallèle , on prendra

x=zh + x' etjr = k+y^

conmie il est bien facile de le vérifier.

Il resterait encore à trouver les formules pour passer d^un système de coordonnées obliques, à un autre oblique pareillement ; mais comme nous ne ferons pas usage de ces formules , nous ne les rapporterons pas ici.

49* Pour donner une application des formules pi'écédentes , supposons que les axes étant obliques , Péquation d^une ligne soit

et proposons-nous de transformer les coordonnées , de manière à faire disparaître le produit xjr. Pour cela, on prendra les formules pour passer d^un système d^axes obliques , à iin sjrstème d^axes rectangulaires , de même origine ; on remplacera donc , dans réquation précédente ,j^ et x par les seconds membres de^ formules (3) ; puis après avoir développé , on égalera à zéro le coefficient du produit x^, et on aura ainsi les deux équations

{à*n^ + o^m» — ^aa'mm')^^ + (m* + m'* — ^fnm')y =

64 (a' — a)* et

^am'* + ^a^m* — îf (« + tt') mn^ = o.

Remettant les valeurs de m et m\ dans la dernière de ces équations , et supprimant le facteur a ( a 4- a' ) , on aura

Cette équation entre les deux indételrminées a et a' fera connaître l^me d'^elles , dès cpie Pautre sera donnée. Si Ton prend, par exemple, a =0, il en résultera a'=^ ; et alors Téquation de la courbe représentée par Péquation (4), deviendra

cette couri>e est donc une circonférence ayant S^pour rayon.

On pourrait prendre toute autre valeur pourà; par exemple , £n faisant a=|, il vient a^=:| et encore x*4-J^=64-

5o. Une équation du second degré , à deux variabtei x el j, peut représenter quatre courbes différentes , nommées eanrhêi dm second degré , savoir : la circonférence , Tellipse , la parabole et Thjperbole. Ces courbes sont aussi appelées êeetiont conUpue, parce qu^on les obtiept en coupant un cône droit par des plans diversement inclinés.

Nous allons chercher les principales propriétés des trois der^ niëres courbes,

De VEUipse.

5i. On appelle elUpee^ une courbe plane teHe, que la som« me des distances de chacun de ses points à deux points donnés F, F^, est constamment la même et égale à une droite donnée 9 A* Ces points F et F' sont dits les foyers de Pellipse, et les droites menées des foyers à un point quelconque de la courbe, sont les rayons vecteurs de cette courbe.

5^. Pour construire Pelllpse^ diaprés sa définition, prenons le milieu O de la distance FF' (fig. g) ; portons sur cette drcnle prolongée , les distances OB et OB' égales chacune à la moitié de a A ; les points B et B' appartiendront d^abord k la combe cherchée. Car ayant Ï'B = A — OF et F'B = A + OF, il vient FB + F'B = aA. On verra de même que FB'+ F'B'= aA.

Pour avoir d^autres points , prenons sur FF' un point quelconque I , puis des foyers F et F' comme centres et avec des rayons respectivement égaux à IB et IB', décrivons deux arcs se coupant en M et M' ; ces deux points appartiennent à Pellipse. Car puisque FM — IB et FM == IB', on a FM + F'M = BB' — aA. De même FM' + F'M' = a A. Ainsi M et M' sont deux points de Tellipse ; et on en trouverait quatre , si Ton portait .successivement chacune des deux ouvertures de compas aux deux foyers. On voit d^ailleurs que BB' est perpendiculaire au milieii de MM'.

Après avoir trouvé ainsi une série de points sufl^amment ap> proches les uns des autres, on les joindra par une ligne continue BCB^C^, qui sera Tellipse demandée.

On peut aussi construire Pellipse d^un mouvement continu, en fixant aux foyers F et F^ deux épingles , auxquelles soit atta* ché un (il dont la longueur é^alc aA \ puis en faisant glisser un

style ou tm crayon qui tienne ce fil toujours tendu ; la courbe sera tracée quand Pinstrument mobile aura fait deux demi-révo^ liitions , Tune au-dessus de FF' et Pautre au-dessous.

Enfin si Pellipse doit être tracée sur le terrain , on se sert d^un cordeau ayant aA pour longueur, et de trois piquets, dont deul fixent les extrémités du cordeau aux foyers F, F\ et le troisième sert à tracer la courbe , en tenant le cordeau toujours tendu.

Il est clair que quand les deux foyers coïncident, Fellipse est une circonférence de cercle ; et à mesure que les deux foyers sVloignent Pun de Pautre, Pellipse s^alonge de plus en plus, jusqu^à devenir enfin une ligne droite , lorsque les deux foyers sont arrivés aux extrémités de la droite BB'= aA^

53. Maintenant que nous avons une idée de la forme de Pellipse, cherchons Péquation de cette courbe. Pour cet effet, plaçons Porigine des coordonnées rectangulaires au milieu O de la droite FF', que nous prendrons égale à ae, et dirigeons Paxe des X suivant cette droite. Soit M \ai point quelconque de la courbe ; soient x, j- les coordonnées OP et PM du point M ; enfin, soient r et r^ les deux rayons vecteurs FM et F'M, dont la somme ^ diaprés la définition ^ doit toujours être égale à la droite donnée 21A : on aura donc d^abord f^ -|- r 3= a A.

Ensuite, à cause de FP inix — c et FT= x -^ c^, les deux triangles rectangles FMP, F'MP, fournissent

f*=y + (x—cy et f^*=y+{x + cy.

Prenant successivement la somme et la différence de ces équations , il viendra , en réduisant ,

r'' + r' = 2r* + ax' + 2c» et r»*— r^ = 4cx.

Mais W* — r' étant la même chose que (W-J- r) (r' — r)^ si dans ce produit , on substitue

r' + r = aA^ on trouvera r' — r = -j--

Ces deux équations donnent

... ex .ex

f^=iA+j et r=A--.

Substituant ces valeurs dans r'^ -{- t^z=: 7jr^ + ax* + 2c^, «n obtiendra

d'où Ay + (A*— iî^)j;' = A»(A'— «^).

Il est dair que FF' ou ae < tiA ; donc A* — «^ est essentiellement positif; et si Ton pose A* — c* = B*, B sera connn, cl Ton aura enfin j^jM j^ g»^ j^'g*.

Telle est Téquation la plus simple de Pellipse.

54. Discutons celte ^uation^ et pour cela, rësolvons-la par rapport à j- \ nous aurons

Ces deux valeurs ëunt égales et de signes contraires*, <m Tok que pour une même abscisse AP, il y a deux ordonnées égales PM, PM', et que par suite la courbe est divisée en deux particf égales par Taxe des x. On verra de même qu^dle est div^ci deux parties par Taxe des jr. De plus , P étant le miliea de h eorâe MM', parallèle à OC , il s'ensm't que chaque axe des coor données divise en deux parties égales toute corde parallèle i Pautre.

Faisant successivement x=o et j*=:o, pour avoir les poînls où la courbe rencontre les axes des coordonnées , on tronven jrz=:=:h:B etx = =i=A. L^ellipse coupe donc Taxe des ordonnées en deux points C et C\ placés à la même distance B de Porigine O et de part et d^autre. De même, elle coupe Paxe dei abscisses en deux points B et B', à la même distance A et de part et d^autre de Porigine.

Uabscisse augmentant depuis x=lo jusqu^à x= A, PordoDnée diminue depuis j* r= B jusqu^à j* = o. De plus , x = A représentant une parsJlèle à Taxe des ordonnées (3), et les deux valeurs de j* étant alors nulles, les deux points où cette paralWe coupe Fellipse, se réunissent en un seul B ; donc cette parallèk est tangente à la courbe en B. Cette courbe ne saurait donc s^étendre dans le sens OB au-delà de Tabscisse x = A = OB; EfTectivement, pour or ^ A , les deux valeurs de jr sont imaginaires. Ainsi Pellipse est renfermée dans le rectangle qa^on obtient en menant des parallèles aux axes des coordonnées, par les quatre points B, C, B^ G^ où elle coupe ces axes. En outre X = A est la plus grande abscisse et j^ = B la plus grande ordonnée.

( ai )

Les droites lA r= BB' et aB = CCf s^appellent les axê$ de IVUipse ; la première lA en est le grand ase^ la seconde oB le p€(ii asê et Torigioe O le eênir».

Uellipse est dite rappartie à $•$ asê$ et au centre^ lorsqu'elle est représentée par Téquation Ay*4"®'^=^*S% 1«* coordonnées étant rectangalaires. Les extrémités B et B' du grand axe 3A sont les $ammêt9 de Peilipse , et la demi--distance e des deox foyers se nomme 9xemUrieiU. Si les axes aA et aB sont égaux , rexcentridté e est nulle, puisqu'elle est donnée par A* — ^ = B* ; les deux fojrers coïncident donc avec l'origine , et l'ellipse n'est plus qu'un cerde , ayant A pour rayon. Aussi Téquation de l'ellipse se réduit-elle alors à celle de la circonférence x*-f-j^= A*. La circonférence n'est donc qu'une ellipse dont les deux axes sont égaux.

55. Pour construire les deux foyers , et conséquemment l^excentricité e lorsque les axes sont donnés, il suffit de décrire un arc de l'extrémité C du petit axe, comme centre, et avec un rayon A ^al au demi-grand axe ; cet arc coupera ce grand axe BB' aux deux foyers F et F'.

56. n importe de remarquer actuellement , que réciproquement, toute équation io la forme My* + N^'=P, M, N «/P étant po$itif$ et les eoordonnéee rectangulaires , représente une ellipse. D'abord si M n'était pas plus grand que N \ en prenant alors Taxe des x pour celui des jr et réciproquement, le coefficient àejr^^ dans l'équation résultante, serait plus grand que

celui de x*. Nous pouvons donc supposer M ^ N. Dans ce cas,

p multiplions les deux membres de l'équation proposée par ^j==^ ,

et posons ^ =: A' et rr = B* ; cette équation deviendra

Ay + BV = A'B* ...(1) Dans cette équation A et B sont connus , et A est plus grand que B. Or, prenant sur l'axe des x , deux points F et F', de part et d'autre de l'origine et à une- distance e telle qu'on ait c'zi: A* — B', puis désignant par d et d^ les distances de F et F' à un point quelconque (x, j^) de la courbe (1), on aura rf-=y+(x-r)* et d^^zziy + ix+ey.

Développant ces valeurs , observant que c* = A' — B* et que

l'équation ( i) donne j^zzB* r— , il viendra

d^où<r = r A — j-j • Comme la plus grande yaieur de j? est A et que o <^ A , on voit que la valeur absolue de J, Is seule qu^H

ex

nous faille considérer ici, est rf=A— «— • Far des calculs tout-à-fait semblables, on trouvera d^ = A -{— -- ;

donc i-f- d' =â aAé Ainsi ^équation (i) , et consëqaeounent Véquadon proposée 'S/fy*-^'N3^:=i:V^ représente une courbe telle^ que la somme des distances de chacun de ses points à deux points donnés F et F^ est constamment égale à la droite donnée aA; donc cette courbe est une ellipse , dont aA et aB sont les axes, F et F' les foyers et c Texcentricité (54)*

Il est facile , diaprés cela, de tracer les ellipse exprimées par les équations

Dans la dernière de ces équations, on fera d^abora disparattct les premières puissances de x et de ;^, en employant les forotfo

Les Valeurs trouvées plus haut pour d et d^ font voir que la distance d^un foyer à un point quelconque de Pellipse , est une fonction rationnelle de l^abscisse de ce point. Il serait bien aisé de démontrer que les foyers sont les seuls points du plan de l^ellipse qui jouissent de cette propriété.

^7. Si ton coupe la eurface convexe a un cène âroii par m flan inélinè à taxe CY et rencontrant toutes tet ginérairUet , VintereecUon MNGR sera une ellipse (fig. 10).

Par Taxe CY, menons le plan HCI perpendiculaire au plan coupant MNGR et le rencontrant suivant la droite RN que nous désigtierons par 2 A. Plaçons ^origine des coordonnées rectangulaires au milieu O de RN et Taxe des x suivant cette droite. Soient x eiy les coordonnées OP et PM d^un point quelconqoe M de la courbe MNGR; nous aurons PNzzA — x et PR=:A + j:. Or, PM étant perpendiculaire à Pinterseclion RN , le sera aussi au plan HCI ; donc si par la droite PM, on mène un plan perpendiculaire à Taxe CY, ce plan coupera la surface com'qoe suivant une circonférence , dont DS sera le diamètre. Mais M est un point de cette circonférence, et MP, perpendiculaire m

pkB HCI , Test aussi au diamètre DS ; donc MP* = PS X PD , ou r* = PS X PD.

Reste à déterminer PS et PD. Pour cela , on observe que les deux droites SD et IH sont parallèles, tandis que les deux droites non-parallèles IH et NR, situées dans le même plan GIH, finiront toujours par se rencontrer en un point R ; les triangles KRH et RDP sont donc semblables , aussi bien que KNI et PNS , et il vient

kr:a+j:::kh:dp, kn:a— x::ki:ps.

Prenant les valeurs de DP et PS dans ces proportions , puis substituant ces valeurs dans celle de^, on aura, pour tous les points de Tintersection MNGR ,

Faisant xz^o dans cette équation , on aura les distances de Torigine O aux points où la courbe coupe Taxe des j^ : désignant ces llistances par B , on obtiendra