RiGLE DE MULTiPUCATiON. Soit à multiplier le polynôme

P=a— 6-1-c— cl

par le monomie m (a, b, c, d, sont des monômes quelconques). • Nous distinguons plusieurs cas, pour plus de clarté.

l"* m est entier. L'opération revient alors à faire l'addition de m polynômes égaux à P :

Pm=(a— ô+c— d)+(a — 6+c— d)+(a— 6+c— d)-|-...;

mais, d'après la règle d'addition (21), cette formule équivaut à

Vm^am^bm-^-cm — dm.

Ainsi chaque terme du multiplicande est multiplié par le multiplicateur, et conserve son signe.

S^^m est fractionnaire de la forme -(p étant entier). L'opération revient alors, comme on le sait, à prendre la p"' partie du multiplicande; et le résultat est :

n a b . c d^ Pm= ;

car c'est bien là l'expression qui, multipliée par p, d'après la règle (1«), reproduit le multiplicande (a — 6-j-c — d). D'ailleurs cette formule peut s'écrire :

Pm=aX~frX^+cX~dX^' P P P P

oa Pm=am— 6m-fcwi — dm,

comme dans le premier cas. "

5^ m est fractionnaire de la forme -• Pour efTectuer le pro-

duit, il faut, dans ce cas, répéter p fois la g** partie du multipli* caode. Or, d'après le second cas, le multiplicande divisé par g devient :

et le produit de ce résultat par p est :

car multiplier par p la g^ partie d'un nombre, c'est multiplier

ce nombre par -• Donc, dans ce cas, le produit est encore :

Vm=am — 6m-f-cm — dm.

Ainsi, dans tous les cas, pour multiplier un polynôme par un monôme^ on multiplie séparément par le monoms chaque terme du polynôme j en lui conservant le signe qu'il avait primitivement.

Comme on peut intervertir Tordre des facteurs, qui représentent toujours des nombres (28), la même règle permettra de multiplier un monôme par un polynôme; Ainsi les produits

(3a*d — 5a»6* + 6aW— 46»c) X 5a6S Ôa6* X (3a*6— 5a»fr»+ 6a6c» — 46»c),

sont équivalents à I5a'6'— 25a*6*+30a'feV— 20a6*(?.

51. Mettre un monôme en facteur. La formule que nous venons de démontrer,

(a — ô-j-c — d)m=zam — bm-^cm — dm

prouve que, si les termes d'un polynôme {am — frm+cm— dm) renferment un facteur commun m, on peut le supprimer dans chacun d'eux, ce qui donne l'expression (a — 6+c — d), et multiplier le résultat partn, c'est-à-dire écrire (a— t-f-c— d)m. C'est ce qu'on appelle mettre un monôme en facteur. Ainsi les termes du polynôme 12a'ic*—8a'a?*4-16û'^ contiennent ka^a^ comme facteur commun. On peut donc écrire

12a»x*— 8aV+16aV=(3aa;«— 2a^+4a?») X 4aW.

S III. Multiplication d*un polynôme par un polynôme.

32. Cas ou les deux polynômes ne contiennent que des TERMES SÉPARÉS PAR L^ SIGNE -|-. Soit à multipliCr Ic polyuome P=a+&+c par le polynôme Q=p+g+r;a, &, c, p, g, r désignant des nombres quelconques, qui peuvent eux-mêmes être représentés par des expressions algébriques plus ou moins corn* pliquées. On a, d*après la règle du n"" 30 :

PQ=P(p+g+r)=Pp+Pg+Pr, ou PQ=:(a+6+c)p+(a+6+c)g+(a+6-|-c)r.

DU GALGOL ALGÉBRIQUE. 23

Appkquant encore la règle (50) à chacun des prodnils, on a :

fQ = ap'{'bp-\'Cp+Qq+hq+cq-{'ar-\' br'\-.erf

résultat qu'on peut énoncer ainsi :

U produit de deux polynômes j dont ks termes sont positifs^ est un pohfnome égal à la somme des produits qu'on obtient en muUipliani tous les termes du premier par chacun des termes du second,

3S. Ga8 ou les DBIJZ POLYNOMES CONTIENNENT DES TERMES

PRÉCÉDÉS DU SIGNE — • On pcut toujours former un groupe de Tensemble des termes qui, dans le multiplicande, sont précédés du signe +, et un autre groupe de Tensemble des termes qui sont précédés du signe — (IS, S*). Nommons ces deux groupes A et B. Désignons par G et D les sommes analogues dans le muU tiplicateur. Les deux facteurs sont alors :

On a, en appliquant la règle (30) :