PQ = AC — BC— AD + BD

D'ailleurs AG, BG, AD, BD, sont des produits de polynômes à termes positifs : on les effectuera d*après la règle du n"" 32 ; puis on fera les additions et les soustractions indiquées par les signes Od obtiendra ainsi un polynôme unique, qui sera le produit demandé. Le produit de deux polynômes peut donc toujours être remplacé par un polynôme unique, que Ton nomme souvent leur produit effectué.

34. Règle de uultipucation de deux polynômes. Si Ton examine comment le produit PQ est composé avec les termes qui entrent dans les deux facteurs, on remarque d'abord qu'il contient les produits de chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur. Quant aux signes qu'il faut donner à chaque terme du produit, on voit que tous les termes du produit partiel AG ont le signe -{-» ^t qu'ils sont fournis par des termes qui ont le signe -|- dans les deux facteurs ; que, de même, tous les termes du produit BD ont le signe -f,

mais qu'ils sont fournis par des ternies qui ont le signe — dans les deux facteurs ; qu'au contraire, les termes des deux produits BG et AD sont précédés du signe — , et qu'ils sont fournis par des termes qui ont des signes différents dans les deux facteurs.

On conclut de là la règle suivante :

Pour multiplier un polynôme par un autre^ on multiplie chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du miUtiplicaleur; on affecte du signe -{-chacun des termss qui, dans le produit ^ provimnent de la multiplication de deux termes affectés tous deux du signe +, ou tou5 dey>x du signe — ; et Von affecte du signe — chacun de ceux qui proviennent de la multiplication de deux termes affectés de signes différents. Puis on opère^ s'il y a lieu, la réduction des termes semblables.

Cette règle des signes se traduit par le tableau suivant :

— oX+ft=— 0^, 4-aX — 6 = — aft,

— ox— & = -^'i^.

55. MAinÈRB PLUS SIMPLE D'ÉNONCER LES RÉSULTATS PRÉCÉ- DENTS. L'énoncé de la règle précédente se simplifie^ si l'on considère, ainsi que nous Tavons déjà fait (20), les termes qui sont précédés du signe — , comme des nombres négatifs ajoutés aux termes précédents, et si l'on adopte, en outre, les définitions suivantes :

Le produit (Pun nombre négatif ( — a) par un nombre positif b, e5(— (axb).

(~a)(6) = -(ax6). [1]

Le produit de deux nombres négatifs ( — a) et (—6) est a X b.

D'après ces conventions^ la règle de multiplication peut s'énoncer en disant : kproduit de deux polynômes s'obtient en multipliant chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multipliccdeur, et en ajoutant les résultats obtetiv^.

En effet, soit, pai exemple, à multiplier (a -6) par (c— d); lé produit est (34) :

ac—bc^ad+bdf

ou, d'après nos conventions,

ac+(- b) c+{^d)a+{-b) (~d);

re qoi est bien la somme des produits obtenus en multipliant chacuD des termes a et — 6 du multiplicande par chacun des termes c et — d du multiplicateur.

50. Remakqxte I. Il n'y a pas lieu de chercher à démontrer les formules

[1] (-a) (6) =-aft, (-a)(-6) = a6; [2]

elles expriment des définitions. Ces définitions permettent de renfermer sous un seul énoncé les différents cas quHl fallait distinguer dans la règle de multiplication des polynômes,