CHAPITRE PREUIER
CALCm. DES DËIUVËES DEfl FOITCTlOIVa EXPUCITKB D1JNE SEULE VAHIABLE.
S I- Notiou préliminaires.
100. DéPiinTiONs. Lorsqu'une variable y dépend d'une aulre Tïriable x, de telle sorte qu'àcHaçne valeur donnée arbitrairement à V, corresponde une Taleur unique et déterminée de y, on dit que y est une fonction de a; : et Yim indique celte dépenimce parlé symbcricr
la quantité x se nomme la variabk indêpmdante, parce qu'on peul lai donner arbitrairement toute espèce de valeurs.
Lorsque la variables recpit deux valeurs, o-eto. -{- h,.h est l'acaoissemeat donné & la variable; la fonction prend deui vaieBreairpesponâante9/'(a)et/'Co+A);et la différence, positive on négative, /"(a+A) — f{à), se nomme raccrowjmMnl correspondant de la fonction.
I^ fonction est confirme, lorsqu'on peut donner à A une valeur assez petite, pour que l'accroissemenl de là fonction soit aussi petit qu'on le voudra. On ne s'occupe, dans tout ce livre, que des fonctiom conlioues.
HO. DivELOPPBMENT d'ume forction ehtièab /"{aî+A), sDiviBTiîESTDissAKCEB DE h. Si, duis UD ptdjnonie, entierpar
rapport à une lettre x, et que noas représenterons générale ment par
f{x) = A,ar + A,af^'4 A»i!— » + .... + A,a:— + .... +A.,
in remnlace x par is -j- A, le résultat de celte subslîtQtion est :
A.(a;+Ar+A.(a;+A)— +..„+A.{a;+A)-"+....+Aj
jëveloppe chaque terme par la formule da binôme, el lonne suivant les puissances ascendantes de h, cellfi 1 devient :
-+...+«:»-i)...iii.i
ses indépendants de h, ceux auxquels se réduit l'eilour A= 0, forment, comme cela devait être, le polyposé lui-même. Le coelBcienl de A, polynôme du degré ir rapport à x, se nomme la dénvée du polynôme pro* lorsque le polynôme est représenté par /"(a;), la dérivée habituellement représentée par /"(a:). Le coeflicienlde ynome du degré (m — 2), est la seconde dériva du po- )n la désigne par /"(«). De même les coefScieEls de
■y-â > polynômes dont le degré est de moins en
iTé, sont la Uvisième, ... la m" dérivée du polinome, réseutent par f"{x)...,r{x). D'après ces notalions, ipement s'écrira :
h}=ax)+hnx)+-^ri<B)-{-T
^rc«)+-"
1.2...(m— l' ^ '^1.2.. .m' des polynômes r(«): /*(«},/"(«)•••• rW,»'^^"''
TUËOKIE DES DÉRiVËES. 93
do précédent, d*après une même loi qui est fort simple. Si Ton examine, en effet, le polynôme
f (a:)=mA.ar-* + (m— l)Aia?"^«+(m— 2)A,ar-«+.. . +A«-,,
on reconnaît immédiatement qu't'I faiU^ pour le former j diminuer iune unité Vexposanl de chacun des termes de f (x), et multiplier le coefficient par Vexposant non encore diminué. L'inspection des polynômes f {x)/f''{x)^..n^ montre que chacun se déduit du précédent suivant la même loi ; en sorte que f (x) est la dérivée de f (x), fi^) celle de f{x), et ainsi de suite. Et c'est pour cette raison, que f {x) est dite la seconde dérivée de / {x) , que f (x) est dite la troisième dérivée^ et ainsi de suite.
Chaque dérivée est de degré moindre que la précédente ; en sorte que la tu"* dérivée d'un polynôme, de degré m, est constante, et qu'il n'y en a pas de (m+ 1)™.
lit. Propriété de la dérivée d'une fonction entière. La définition, que nous avons donnée de la dérivée, ne s'applique qu'aux polynômes entiers et rationnels ; mais nous allons en déduire une propriété importante, que nous prendrons ensuite pour déSnition ; ce qui permettra d'étendre la notion de dérivée aux expressions d'une autre forme.
On a (tiO), en désignant par F (x) un polynôme entier par rapport kx:
f(x+h)^¥{x)+hr{x)i-^^r(x)+...-\^j^^^
on en conclut :
Si, X restant fixe, on fait tendre h vers zéro, le second membre a évidemment pour limite F' {x) ; il doit, par suite, en être de même du premier; et l'on a, par conséquent :
r(a»=]iml^±lît=I^,
résultat que l'on peut énoncer ainsi :
La dérivée d^vn polynôme F (x) est la limite du rapport de Vac^
«roùw»KMP(KH-b>— iF(x) decâfolymane à [^cnmumnt h ie la variable, lorsque ce dernier accrMsmneiil diminue de pite-a plus.
lis. Nouvelle définition de la dérivée. C'est la propri^L. précédente, qui sera dorënavailt prise par nous poctr définitimiJ Nous dirons : I
Ontwmme dirwie ff we/metwn contémte gaaiconque la lùnife, vsrs laqveiie tend ie rappmt de Cmccroissanent dfcMe /îMdtnà raocnÀiBemeni da la^3a^iahk, fptandcedenàerUnâwersîén. C«llf d^itaitkm-s'appUqne, d^ptès œ quiipréeède, eux'foBClioBâtnlières : elle permet, en antre, d'étendre .kinotMniie'Etéritfcà une roncliim quelconque.
On peut demander, si une fonction continua quelconque [[î) a une dérivée. Nous répondrons d'abord, qu'en fâîl, nous allons tcoOTcr, âtm tes paragra^es Ennanlft, tesdtanées'tlesfïind-. pales ranctions; ce qui démontreiB leor esirience à-pMeriari. Nous ajouterons, d'aîHems, ^ae la -fimetisii -étaitt continnr, l'équation 'y = f^) représente une courbe {daiK 'CHtinue, rapports A deux axée rectangnlaires; «t l'on dânontre, ts. géométrie analytique, que la dérivée rcfirfeseiite.la ttngente trigonomélriqae de l'angle que blt,.awc l'axe Qz^la langenteà; la courbe au point (x, y). Gomme, en chaque point, une cooriie continue a une tangente bien déterminée, la fonction admet une dérivée.
La dérivée d'une ronction est une nouvelle fonction qniadmel elle-même une dérivée : c'est la dérivée seconde. La dériféede celle-ci eât la troisième dérivée ; et ainsi de suite.
Nous commencerons par faire connaître les dérivées de deui fonctions trës-simples, a' et log x.
SIL Dérivées de a* et de log z>.
• ■ " "-"rivée se o". La dérivée de o" ,esl, par définition, l.i apport
A • tendversiéro.
TflËORIE DBS DSRIVÊES &5-
Or, on a éridemmeot :
II. faut donc, pour obtenir la dérivée, cherdier la litnKe da rapport
.a-(a*-l) h Posons :
Lorsque h est trie-petil, a* diffère très-poi de l'onilé (73) ; el^ par suite, n est très-grand. Lorsque h tend vers zéro,» tend vers l'inÛDÎ. On déduit de cette relation ;
Prenant les logarithmes des deux membres, il vient : ftloga = log(l + i).
logo Xe'rappoil devient, d'après cela :
d'où , -
logo
l+i) „iog(i+i)
loga
Le numérateur ne contenant pas n, il suffît de chercher la limite du dénominateur. Or, ou a :
»iog(. + l)=iog(a.+ i)-, njmgnipn^p.^ inj^finiiM^nt, M -|--\ tend Tcis 6; el,parfliUe,
-;«. . Jfyj^f-V ^'
log (l + -) a. pour limite, log e; l'expression
a*loga
' 7 ÎV
log (l+i)
tend donc vers -; : telle est donc la dérivée de a*. Ainsi :
loge
On peut remarquer que la base du système, dans lequel sool pris les togarilbmes, n'a pas été définie; mais le choix de celle
base n'a aucune influence sur le résultat; carie rapport i^
ne dépend pas (83) de Is base du système considéré. Si I'od suppose que les logarithmes sont pris dans le système népérïcD, log e = t ; et la dérivée s'écrit :
Ainsi la dérivée tU la fonction exponentieUe s'obtienl, m multipliant cette fonction par le logarithme népérien de la baie.
Si l'on considère, en particulier, la fonction s", U = l; et par suite la dérivée de ^ est la fonction elle-mêtne :
E DE LOG X. La dérivée de log s est, par définile l'expression
log (a; + A)— log j h '
vers zéro.
f A)-loga = log (^) =log (l +1)
og(a;+M-lQga;'"g('+i) A Â
de telle sorte que, h tendant vers zéro, n tendra
vers co ; il viendra h=-; et l'exprcssioa, dont od cher limile, deviendra :
Or, on a va (113), que, n tendant vers co , log (l +
pour limite log e. La limite de - log ( 1 -f- z) est donc — =
représente, par conséquent, la dérivée de log x, Ainsi
en désignant par M le module du système dans lequel e le logarithme de x.
Si la fonction est le logarithme népérien de x, M = 1 ; i suite, la dérivée de Us est :
AprÈs avoir lait connaître les dérivées des deux ronctioc simples, log x et a', nous allons établir quelques règles raies, qui nous permettront d'obtenir les dérivées d'expre plus composées.
S m. Règles générales.
IIB. D^vÉE d'une sohue. Si u, v, w, sont des foncli X, dont les dérivées u' v' w' sont connues, la somme
aura pour dérivée la somme
En eflél, si nous désignons, en général, l'accroissement Alc. sp. B. 'i
le signe & placé devant la lettre qnï la représente, [ à la variable x un accroiseement Ix, les fooctioDs idront, respectivement, des accroissements Au, An, aissement de la somme (w-|- v — w) sera éTldem-
e cet accroissement à l'accroissement iv de la ts-
Aw , àv ^.
inséquent, pour limite :
tt' + tJ' — u/,
voulions le démontrer. On a donc :
(u-j-w — w)' = u'-\-v' —vf,
mnoN d'ube roNcnon de rONcnoN. On nonnne, en :tion explicite d'une variable le résultat d'opérations , exécutées sur celle variable. Ainsi, par exemple:
clions de x; le nombre des opérations successiveées pouvant d'ailleurs -être aussi grand qu'on le
gne par u une fonction quelconque de la variable f, (écute des opérations sur la quantité «, considérée léc, le résultat de ces opérations sera, d'après ce
une fonction de u; et, comme « est elte-mèine de X, ce résultat se trouve une fonction dt fonctionentendu, qu'en remplaçant u par son expression eo lire immédiatement, d'une fonction de fonctioDi
ordinaire.
sidéré comme une fonction de fonction, le cube de e une foncUon simple, s".
2* loga*=a?loga
peut être considéré comme une fonction de fonction^ le logarithme de la fonction a', ou comme la fonction simple du premier degré, x log a.
Lors même que des réductions» analogues aux précédentes» ne s'effectuent pas, rien ne distingue essentiellement une fonction de fonction de celles qui dépendent directement de la variable principale»
117. DÉRIVÉE d'une roNcnoN de fonction. D'après les définitions qui précèdent, si Ton désigne par u une fonction f (x) de la variable x, et par w une fonction ^ (u) de la variable u, w sera une fonction de fonction définie par les équations :
Nous allons montrer que, si les fonctions ^ et ^ sont de telle nature, qu'on sache prendre leurs dérivées par rapport à la variable dont elles dépendent immédiatement , on pourra former la dérivée de w par rapport à x.
Supposons, en effet, que Ton donne à a? un accroissement Aâr, et qu'il en résulte : pour u, un accroissement Au ; pour to, un accroissement Au; ; on a identiquement :
Aw Aw Au
Ax Au'Aoj'
Or, Ax tendant vers zéro, ^ et r-ont, pour définition, pour
limites respectives, les dérivées de u? et de u par rapport à x.
A4/) Quant à -r-, bien que u ne soit pas une variable indépendante ,
mais une fonction de â?, dont les variations dépendent de celles de s, cette expression a pour limite la dérivée de w par rapport à u ; car rien, dans la définition de la dérivée d'une fonction, ne particularise la manière dont l'accroissement de la variable tend vers zéro. En désignant donc les dérivées de w par rapport à a? et par rapport à u par w' et par ^' (u), et celle de u par
a par f'(x), et en se rappelant que la limite d'an pro- ;ale au produit des limites, on a :
to' = f{u)Xf'{a:);
ueTon peut énoncer de la manière suivante :
vie d'une fonction de fonction est U produit det dirwéa ms simples qui la composent, prises, chacune, par rapport ble dont la fonction dépend immidiatemetU.
XEUPLES. ï' CousidéroDs la fonction
re, supposons que, dans la formule qui précède, oa
irmer la dérivée de cette fonction de fonction , il but, n Va vu, prendre la dérivée de u' par rapport à u, qui ;tla multiplier parla dérivée dea^ par rapport kx, re par îx; cette dérivée est donc 3u*x,îx, ou, en n( u par sa valeur :
précisément le résultat qu'on aurait obtenu (110), en m la fonction de (onction par la fonction simple s*, udérons encore la fonction
logit», re, supposons :
u = a^; ui = log u.
ivée de cette fonction de fonction est le produit de ix^,
: par conséquent, &
Sa:*loge 5lose.
THÉORIE DES DËRITËES,
c'est précisément ce que l'on aurait trouvé, en remarqui
logi'=5loga!;
car la dérivée de 5 log x est éTÎdenunenl égale à cinq foii rivée de log x.
Les deux exemples précédents ont été choisis de ma fournir un résultat qui fût connu à l'avance ; mais on i que, dans un grand nombre de cns, la règle des foncU Tonctions conduira à des résultats entièrement nouvea qu'il serait difficile d'obtenir autrement.
Cherchons, par exemple, la dérivée de e^, en posant ■
ar*=u, 10 = 6".
On voit que la dérivée demandée est le produit de Sx, i de u par rapport à x, et de e", dérivée de «* par ra'ppo elle est, par conséquent, égale k
tld. GéNéRALisATion. On peut généraliserla règle de lions de fonctions, et l'étendre à des expressions qui dép de la variable x an moyen de plusieurs fonctions intermét
Posons, en effet :
«=?(»), «==>Ku), w=fiv), *=P(«));
et cherchons la dérivée de x par rapport à x . Soit ix croissement attribuée à x', et soient Au, \v, Au>, &z, les s semenls qui en résultent pour u, v,u>,z; on a, identiquf
A; Aï Aiii Ati Au
ix Aw'Aw'Au'iaj'
et l'on voit que, si As tend vers zéro, le premier mem pour limite, la dérivée de i par rapport JL x, et les factf second tendent vers les dérivées des fonctions z, w, v, rapport aux variables dont elles dépendent immédia(em< en conclut que la dérivée de z, par rapport à x, Ml eiicore duU obtenu en mvllipliant ks dérivéei de* diverses foticlioi
'laame par rapport à la varùd)U dota la fonction àètemenl. Ainsi :
z'=p'(«))x^{e)x•^'c«)xï'(*).
vis D'un PRODUIT. Soient u, v, w des fonctions
uelconque, et X leur produit, dont on demande la
ji^u.ii.w..,.;
!& logarithmes des deux meuibres, il vient :
Iogz = log« + ]ogr + logtp +....;
nd les dériîées des deux membres, on a, en applie des fonctions de fonctions (117), et en désignant w',..,.\es dérÎTëes dez, u, v, w...,;
uit:
3liant les deux membres par x ou par umo....:
= ÎJ«Î....U' -j-ttW....w' + «(î....to'+....
rivée d'un produit est la somme des produits oWfliiu t successivement la dérivée de chaque faettur par le s les autres.
ur est constant, sa dérivée est nulle , et le tenre it manque dans la dérivée du produit. Ainsi la dést Au'.
ris D'un QuonsitT. Soient u et « deux foncUoDS de LOtient, dont ou demande la dérirée. On a ;
THÉORIE DES BtRlVËES. lOS
En prenant les logarithmes, il vient :
log J5 = log u — log o ;
et, si l*on prend les dérivées des deux membres, cette équation donne, en adoptant les mêmes notations que précédemment :
d'où l'on déduit : .
___- - vu' %l\)'
ou [10] ^'=___.
Ainsi la dérivée (ïun quotient s obtient^ en multipliant le dénomir nateur par la dérivée du numérateur, puis le numérateur par la dérivée du dénominateur^ et en divisant la différence des produits par le carré du dénominateur,
122. Déhivée d'une puissance. Soient u une fonction de x^ et m un exposant, entier ou fractionnaire^ positif ou négatif; désignons par z la puissance ii*, et cherchons-en la aérivée ; on a:
Sn prenant les logarithmes, 0 vient :
log z = m log ti;
et si l'on prend les dérivées des deux membres, on aora, en adoptant toujours les mêmes notations :
d'Où Ton déduit: «'^tn^u';
ou [11] ^ = mtt— V.
Ainsi la dérivée d'une puissance d^une fonction /obtimt en mul» lipliant la dérivée de la fonction par V exposant et par une puissance de la fonction prise avec un exposant inférieur d^une unité.
Behabqve I. Dans le cas où m est entier, cette règle pourrait se déduire du théorème des fonctions de fonctions : car, u étaot une fonctioo de x, u* est une fonction de fonction ; et l'on a ta (HO) que sa dérivée, par rapport & u, esl mu*~*.
BxiuRQUE IL Si, dans la formule précédente, on suppose u = dî, on obtient la dérivée de ic*>, et l'on voit qu'elle est nu^^ : celte dérivée s'exprime, par conséquent, par la même foroaul^, que lorsque m esl entier.
CoROLLAUtE. Si < = v'û, on écrit :
et appliquant la règle précédente, ou a :
ou [12] ^' = ZT'
Ainsi la dérivée de la racine carrée (Tune fonction s'obtiml en divisant la dérivée dt la fonction par le double du radical.
183. DÉRiTés DE u*. Considérons enfin l'expression plos composée, dans laquelle l'exposant est lui-même fonction de la el cherchons la dérivée de u*, u et v désignant deux aelconquËS de x.
B, en prenant les logarithmes :
Iog«=fllogu;
prenons les dérivées des deux membres, en applî- ;Ie donnée pour la dérivée d'un produit, il vient :
duit;
\loge ^u I
THÉORIE DES DfiRlVËES. 105
Exemple. Si Ton ^ose v^^x^ u=:x^ la fonction «devient rr«, et la dérivée est :
af
124. Appucations des règles précédentes. Les règles précédentes permettent de former la dérivée d'une fonction algébrique donnée, quelque compliquée qu'elle soit ; nous en donnerons quelques exemples.
!• Trouver la dérivée de la fonction, y = v^i -|-a?*. On pose: l+a^=u,
et Ton trouve (117, 128):
2« Trouvée la dérivée de la fonction y « rr-T — rr.
Nous pouvons considérer cette expression comme une frac** tion; et en appliquant la règle (121), on trouve :
nx"^^ ( 1 + xy—nx"" ( l + g?)""' noT-^
On pourrait encore considérer la fraction proposée comme
la n"^ puissance de r-r— / et appliquer la règle (122) ; on aurait alors :
résultat conforme au précédent :
3* Trouver la dérivée de la fonction
y = log ^, i
LIVSE IL losant : </x^—ï~~i
a: y = logU,
rtroarerU', il dot appliquer les règles (121, IflS); on
[, \/x^~l ■ yx' — 1
9a: loK e
oit eoSn y=e'Ls, le logarithme étant pris dans le syse Neper; on trouvera :
»'=.-(l + Lx).
S IT. Dérivées des fonctions circulaires.
. DÉRIVÉE DE sin X. Ut dérivée de la fonction sin m est, Inition, la limite du rapport
sin (x + h) — sms A
a. d'après les formules connues de la trigonométrie : sin(iF+A)— sina:=2sin2C08 (ir4~).
^j^^2sm|cos^ sJn@
Mais on sait que/» devenant très-petit, le rapport du sinus à
l'arc correspondant tend vers l'unité. D'ailleurs, cos (^+ô)
s'approche indéfiniment de cos x; et, par suite, l'expression précédente a pour limite cos x.
La dérivée de sin x est donc cos x.
[14] (sin a?)' = cos a;.
