COHOmOM POUR qu'une rONCTIOH SOIT CROIS

DÉCROISSANTE. Puîsque la dérivée f (x) est la limite d

pas nul, mais très-petit, on a :

■ étant nne quantité inconnue, fonction de s et de 1 très-petite, en même temps que h, et qui tend vers zé On tire de là :

Or si f (x) n'est pas nul , on peut prendre h assez i que I soit, en valeur absolue, plus petit que f (x).he \('(,x) + *\ sera alors celui de f (x) ; et, comme h es! signe de r (2) sera celui du premier membre. Donc, n ta dérivie V (x) ut poàlwt, la fotwtion î (i]

zanlz; et si la dérivée est négativey la fonction est décroissante^ Les réciproques sont éndemment vraies.

141. Condition cobimune au uâxiuum et au minibutm d'une FONCTION. Lorsque la variable de laqneDe dépend une fonction, change d'une manière continuel la fonction elle-même varie d'une manière continue ; et le théorème précédent nous permet de trouver les valeurs de la variable, pour lesquelles la fonction est croissante ou décroissante.

Si la fonction considérée devient maximum pour une certaine valeur a de âr, elle est croissante lorsque x est plus petit que a, et décroissante, dès que x a dépassé cette limite. La dérivée, positive d*abord, négative ensuite, doit donc changer de signe, en passant du positif au négatifs lorsque x, cix)issant d'une manière continue, vient à atteindre et à dépasser a.

On verra de même que si, pour â? =:a, la fonction considérée est minimum, la dérivée doit changer de signe, en passant du négatif au positif, lorsque a?, croissant d'une manière continue, atteindra la valeur a.

On voit, par ce qui précède, que les valeurs de x, qui rendent une fonction maximum ou minimum, sont celles pour lesquelles la dérivée de cette fonction vient à changer de signe. Et, comme une fonction continue he peut changer de signe qu*en passant par la valeur zéro, intermédiaire entre les valeurs positives et négatives, il en résulte qu'une fonction, dont la dérivée est continue, ne devient maximum ou minimum que pour les valeurs de X qui annulent sa dérivée.

Mais la réciproque n'est pas exacte. Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut non-seulement que la dérivée s'annule; il fâut encore qu'elle change de signe: et un grand nombre de fonctions peuvent passer par zéro sans changer de signe*

Nous conclurons de là que, pour trouver les maximums et minimums d^une fo7ictionf{x\ on résout l'équrOtUm V (x) =0; on re^ jette les solutions pour lesquelles la dérivée ne change pas de signe. Quant à chacune de celles qui font changer de signe à la dérivée^ eUes correspondent à un maximum, lorsque la dérivée passe du pO' Htif au négatif, et à uti minimum, dans le cas contraire.

On peut remarquer, en outre, que, s'il y a maximum, la dé-

THÉORIE DES SÉRITËES.

rivée étant d'abord positive, puis nulle, et enfin négati constamment en dûniouant : sa dérivée, c'est-à-dire la d seconde f{x), doit donc élre négative. Si, au contraire, minimun), la dérivée, d'abord négative, puis nulle, puis live, va en croissant : donc la dérivée seconde /*(x) doi poMtive. Les réciproques sont évidentes.

Donc, pour qu'une valeur % = a, qui annute f (x), corre à un maximum ou à un minimum, il suf/U qu'ella rende f ( gaHve ou positive.

% II. Ëtude de quelques foDclions.