ËTin>E DE LA FONCTION SC, QIFAHD X TARIE DE

Commençons par chercher la valeur de cettefoncUon pour . Si l'on attribue immédiatement cette valeur & la variai fonction prend la forme indéterminée 0*, qui n'a aucun car, d'une part, tontes les puissances de 0 sont nulle d'autre part, toute puissance, dont l'exposant est zéro, esl à 1 . Pour connaître la véritable valeur de x*, c'esl'&-dire leur vers laqueSe converge J.', lorsque x diminue de plus « posons:

en prenant les logarithmes des deux membres, il \1ent :

logy = a!logiif.

Or, puisque x doit recevoir une râleur lrÈ»^tite, poa égal à -, X étant Irès-grand ; on aura :

Iogy = -iogj = — -log«.

Or, il est évident qu'on nombre très-grand est beaacou] grand que son logarithme; (si, par exemple, les logari sont pris dans le système dont la base est 10, le logarilhmi nombre de 1000 chiffres a seulement S99 pour partie enl

- log X a donc pour limite 0 ; et, par snite, log y diminoe i

flimeot : d'où l'on cooiàat que y tend Ters ranité.

s rariatiODs de x*, & partir de la valeur 1, pree celle fonction. On a (iSS), pour erpression

nt pris dans le sjslème de Neper.

etil, cette dérivée est négative ; s* conuneDce

'6, et diminuera tant que l'on aura :

La;<— 1,

Privée s'annule, et la fonction devient nûni-

nt & partir de la valeur -, la dérivée est louaf croit sans limite.

SitlIE DE I

La dérivée est :

positive, tant que x est plus petit que e; la ite donc sans cesse, lorsque x passe de la var «. La fonction passe alors de la valeur — « k

; valeur - est son maximum ; et, la dérivée de-

légative, la fonction diminue indé&niment; et ine qu'elle lend vers zéro, lorsque x aagmenle

s. On dotme ta jomnw i + y; trouver k maxiiiHii de 1" + y".

l'abord que, la somme as+y étant donnée, y i de X, et que, par conséquent, ^ + y" est

THËORIE DES DÉRIVÉES. 121

aussi fonction de œ; on peut, par conséquent» lui appliquer le théorème démontré plus haut (t4l}.

Posons ; x-\-y = îa^

Il faut chercher la dérivée de u, et l'égaler à 0; or, on a videmment :

D'ailleurs, Téquation x + y = 2a,

donne: l-J-j/ssO;

donc: 1/*= — 1;

et, par suite, v'=map**"* — r>iy*-*.

La condition u'=(^

revient donc à af^^ = y**-*,

et exige, par conséquent, que l'on ait x = y^ et, par suite,

Pour savoir s*il y a maximum ou minimum, il faut chercher (141) si, lorsque x^ en croissant, passe par la valeur a, la dérivée, en changeant de signe, devient négative ou positive. Or, en supposant m plus grand que 1, pour x plus petit que a, (mx*"* — mî/^*)esl négatif; et, pour a? plus grand que d, cette diiïérencc est positive : donc il y a minimum. La conclusion serait opposée, si (m — 1) était négatif.