Th^orâhe. Soit

une équation, du degré m, dont nous supposons , pour pins de simplicité, que le premier terme ait ponr coefQdent l'anilé. Nous avons tu, qu'en désignant par a, b, e....h, I, ses racines, on a identiquement :

[1] a!-+A,ar-'+.,..-l-A»^ir+A.

Mais on sait qu'en elTectuanl le produit indiqué dans le second membre, on aura (57) pour premier terme ^ z"; poar second terme, 2*~' multiplié par la somme des seconds (omes — a, ~ h....~ I ; pour troisième terme, x*-' multiplié par la somme des produits, deux à deux, de — a,—b, — c....— J, on, ce qui revient au même, par la somme des produits, deux à deux, de a, h, e....l, et ainsi de suite, en sorte que, si l'on représente par Za, "Sab, "Sabe la somme des racines, les sommes de leurs produits deux & deux, trois à trois, etc., on a : [2] {x-a){x^b)....{x-k)(x—li

=af—!ir~*Ja.-\-ar~-^'Sab~sr-'labc-\-....±.abc..M,

imier terme étant précédé du signe + on du signe — soiquem est pair ou impair. En ideDliOajit ce produit arec le nier membre de l'équation [1], on conclut le théotème soi-

\mmMiqua^maigibtiqve,i(mtUpnm\erteriMap(nircottuTwaili,

tfficient (ht second terme Ai est égal i latomme des raeinUtPrin gnêeontnân.

eoeffieimi du b-oitiimêitnm^vtigtiàlaainunu dapw- !, deux à deux, des r,

TUËORIB GENCRALR DES ËQUATIONS.

Le coefficient du quatrûme terme h, est la somme de teun trois à trois, pris en signe contraire; et ainsi de suite.

Enlîn, le dernier terme A„ est égal au produit de toutes It pris avec son signe ou avec un signe contraire, suivant qu 4e VèqutUion est pair ou impair.

18S. Rëuarque I. Ce lliéorëme s'exprime par les t suivantes :

l \t = {ab'^-ac + ...-\'bc+... + ki). £3] { A,=— (ai>c+«6d4-. .. + «(*+. .. + aW-

En considérant les racines comme des inconnues, n( U m équations distinctes, auxquelles elles doivent a Lorsque l'on connaîtra quelques-unes des racines, ces i pOQiTODt faciliter la recherche des autres ; mais elles n( pas servir, en général, h la résolution complète de I' proposée. Si, en effet, on cherchait, par le moyen de i lions, à déterminer une racine, a par exemple, il faudr cela, éliminer toutes les autres; or, quel que soit I que l'on emploie, je dis que l'équation obtenue de\ pour solution, non-seulement a, mais encore les ai cines b, c... k, t. Si l'on remarque, en effet, que le entrent absolument de la même manière dans les équa que rien ne les y dislingue les unes des autres, on conc si l'on parvient, par certains calculs, à éliminer toute cines, à Texccptioa de a, des calculs tout semblables pu éliminer toutes les racines autres que b, par exem qu'il y eùl, dans le résultat, d'autre différence que le cha de a en & : c'est donc la même équation à laquelle a et satisfaire ; et, comme on ea peut dire autant des autres il est évident que l'équulion en a doit avoir pour a, b, e ... k, l, et qu'elle ne doit, par conséquent (i différer de l'équation proposée elle-même. Celte c( peut d'ailleurs se vérilier d'une manière bien simple.

■1 164 UVRE m.

Reprenons, en effet, les équations [3] ;

I A.= -.-l'«4-6-)-c-l-...4- ft 4-/),

-*, la seconde par a^~', la troîire par a, la dernière par 1, et lilemenl, que l'on obtient ainsi

-A«-iO + A«= — a",

ilion proposée, dans laquelle x

pas afBrmer, en vertu dé ce qui le peuvent jamais conduire à ia rique. Il est prouvé seulement, ut par l'élimination de (tn — \] : ramené à l'équation proposée ïoir d'autres manières de prok déterminer les deux racines gré.

re équation, et retranchons-en, Squation, après avoir multiplia

n eo conclut fiicUement a et ^

THEORIE GÉNÉRALE DES ËQUATIOI S VI. Tbéorème uir k« racines d'une équ.

i&4. Nous termioeroDs ce chapitre, eu prêc les conséquences que l'on peut tirer (170) de de deux nombres difTëreats dans le premier équation.

Tbèorèus. Si deux nombres, « et p, mbslitués tnier membre iTune équation algébrique X ^ 0, suUats de signes contraires, ils comprennefti un m racine*.

Il faut entendre que les racines multiples soi nombre de fois égal à leur degré de multiplicité

Soient a,b, ... p, les racines comprises entre < tienlde la division deX par (a;— a)(x— 6)..,(; que l'on a identiquement :

0 désignant le produit des facteurs qui corresp cines imaginaires et aux racines réelles non i a et p. Si l'on fait successivement, dans cette z=p, on aura :

X,, Q., Xf, Qp désignant ce que deviennent les p lorsque l'on y substitue à a: la valeur a ou II hjpothèse, X. et X» sont de signes contraires : être de même des seconds membres. Or Q, et Q signe : car, sans cela, l'équation Q = o aurait moins (170), comprise entre a et p. li faut do doits

f (— a)(— 6)-.(«-P), t (p fl)(p 6).„(p p),

soient de signes contraires; et, comme tous les I mier sont négatilii, et tous ceux du second posi

demment qne le nombre de ces facteurs, et, par suite, le nombre des racines a, (»,•.. p, soit impair.

On verrait absolument de la même manière que, si dexAX nom" ères donmnt des résultats de mime signe^ ils e(mprefment un mmtbre foir d$ racines (ce iiOinbi% pGiit être zéro).

BÉSUMÉ.

ÎW. FornM géoérale d'une foBctt<m entièiB de 4).^IM. Tool» fboctfam, ealière et ratioaneUei d'une Ttriabl^ x, varie d'une maaière c»tilMHW% — 167. Il en est de même de toute fonction, dont la dérivée ne devieaC paa infinie. — 168. On peut toujours donner à œ une valeur assez grande pour que la fonction prenne le signe de son premier terme. — 169. Signe d'une lbnclîo& , de degré pair, ou d'une fonction , de degr^ impair, lorsque la variable reçoit de grandes valeurs positives en négatives. — 170. Si deux nombres, a et 6, aobstitués à cd, donnent à f (49} des valeurs de signes contraires, Téqualion f(œ)s^O admet, an moiafti une racine comprise entre a et 6. — 171. Même théorème, pour toute équation dont le premier membre eet une fonction continue de x. — 1 72. Une équation, de dtsgré impair, a toujours une racine réelle, de eigne contraire à son dernier tenue. — i73. Une équation , de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a an moins deuK racines, Tune positive, l'autre négative^ -- 174. On admet que tonte équation a nne racine réelle ou Imaginaire. — 1 7ii. Toute équation, de degré m, a précisément m racines ; et son premier membre est le produit de m facteurs du premier degré. — 176. Un produit de facteurs imaginaires ne peut être nul , que si l'un des facteurs est égal à zéro. — 177. Deux équations, qui ont les mêmes racines, ne différent que par un facteur constant. — 178. Deux polynômes, de degré m, égaux pour (m -h 1) valeurs de la variable^ sent identiques. — 179, Minitioa des radass

égales.^ IM. Si («4*6\/— -l) est ni lois racine d'une équation, à

coefficients réels, il en sera de même de (a — 6 \/^). <^ 181 . Expies* sion 4es coeffioîenls d'une équation^ en fonction des racines. — * 482. Les relations ne peuvent pas cendmfe« par élimination) à la ltt4ion de réquaiîon. -- 18S. H ne faut pis affirmer q«e, pirixie

voie, il soit impossible qu'elles fournissent l'expression des racines^ -^ 184. Si deux nombres, a et p, substitués dansf(a;}, donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent un nombre impair de racines; s'ils donnent des résultats de même signe, Os en comprennent un nombre pair, ou A'ea comprennent aucune*

!• TroaTer le maximum du produit â;(p— s'), lorsque x varie de 0 à p. En GODcltire les conditions , pour que Téquation

admette deux racines positives.

On trouye la condition 4p' > 27 9'.

IL Chercher les conditions, pour que l'équation

admette deux racines positives.

On trouve la condition

n»(ifi— n)*^l>" > mrq'"^.