TsÉOBÈiat il. Dm* titu fonction tiUttrê

r{a!) = Ai-+A,x-» + ....A»^+A.,

tut toujours donner à x vm valeur «mm grmnée pmir jve k ier terme devienne autsi gnnd qv« Fm voatr», far njpport lomme de tous les autres, et donne, par odn*égw>U,Kmt^m « tome.

ur prouver que le premier ternie peut devenir aussi gnmd l'on voudra, par rapport à la somme de toos les antres, il , évidemment, ^e prouver qu'il peut devenir aussi gnnd l'oa voudra, par rapport & chacun d'eux coBskléré iscdé-

THËORIE GËNÊRALE DES ÉQUATIONS. 155

Or, en comparant le premier terme» A^*» an terme général, A«x"*^, on a :

Ag* A ^,

et ce rapport, à cause du facteur x^^ peut grandir sans limite. On peut donc prendre x assez grand pour que le premier terme soitmme, cent miHe fttts, un million, cent mîllfons.... de fois plus grand que Tun quelconque 4es autres, et^ par suite, aussi grand que Ton voudra, par rapport à la somme.

169. Remarque. Il résulte du théorème précédent, qu'une fonction, de degré pair, a le même signe que le coefficient de son premier terme, pour de très-grandes valeurs, positives ou négatives, de la variable. tTne fonction, de degré impair a aussi le même signe que te coefficient de son premier terme, quand la variable reçoit une valeur positive très-grande ; mais elle prend un ^gne opposé à celui de ce coefficient, lorsque x est négatif et de très-grande valeur absolue.

Exemples. I* af— lOOOar* — 195000a?» + 1

est positif, si la valeur absolue de x est suffisamment grande, quel que soit, du reste, son signe.

est positif .pour de grandes valeurs positives de x^ et négatif, lorsque x^ étant négatif, a une valeur absolue suffisamment grande.

S n. Théorèmes sar les racines d'ane éqtiatioii.

170. TnéoRiME I. Lorsque deux nombres^ a et b, substitués dans une fonction entière f (x), donnent des résultats de signes contraireSy téquaiion f (x) = 0 a, au moinSy une racine réelle comprise entre a etb.

Si Ton suppose, en effet, que x varie d'une manière continue depuis la valeur » = a jusqu'à la valeur a? = &, f{x) (106) variera lui-même d'une manière continue : or, passant de la valeur f{a) à la valeur /"(&), qui a un signe contraire , il devra nécessairement changer de signe ; et, à cause de la continuité, il prendra

l&S UTRE m.

la valenr zéro, intermédiare entre les valeurs négatiTes et la

! raisonnement s'appliqae & toole unbre est fonction continne de la

ation algébrique, de degré impair, à ne raeùK rieUe, de signe contraire à

hA^— + ....+A»^ = 0, I

alenr négative très-grande, le ré-

ra négatif (169). Si l'on 5ul>sti[ae,

iitive très-grande, le résultat sera j

; i « la valeur 0, la fonction f{x) '

leA,^.

. résultats par le tableaa smnnt :

Signes de f{x) : i

Signe de Am»« + x) change de signe, lorsque x passe par suite, une racine positive. Si = — 00 donnent à f(x) des valeurs f a, par conséquent, une racine

tive; et l'équation

itive.

quation alg&rrique, de degriptâr, à

coefficients réels, dont le dernier terme est négatif, a au mains deux racines réeUes.

Soit

/•(a;)=ir»-+AirB^»+A,a?««^*+....+A,.,Ma?+A»,=0,

une équation, de degré pair, dont le dernier terme est négatif. D*aprè8 ce qui précède, on peut former le tableau suivant :

Valeurs de x : Signes de f{x) :

+ CJO 4-

Lors donc que x varie de — oo à 0, f(x) change de signe : et il en est de même, lorsque û; varie de 0 à + <>°* Il y a donc nécessaii^ment une racine comprise entre — » et 0 , et une autre entre 0 et + »; c'est-à-dire deux racines, Tune positive et l'autre négative.

S III. Nombre des racines d'une équation.

174. PosTULATUM. Nous admettrons, sans démonstration, la proposition suivante, qui est fondamentale, et qui, hâtons-nous de le dire, peut se démontrer en toute rigueur.

Toute équation algébrique, à une inconnue, ne renfermant que des puissances entières et positives de cette inconnue, et dont les coef- (icients sont des nombres donnés^ réels ou imaginaires de la forme

m-]-n ^ — I, admet , au moins, une racine réelle, ou une racine

imaginaire de la forme a -j- b v/— 1, a et b désignant deux nom-bres réels.

Cette proposition étant admise, nous en déduirons facilement

la suivante.

i7S. Théorâme fondamental. Une équation, de degré m, delà forme

[1] - Aar+Aia^-*-f A,af^»+....-|-A«=0,

dans It^wtte A, Ai, At).>>A tvprésentmt des nombres donnésy rétlt \ ou imaginaires, admet toujours pridsimenl m racines r-éeUts ou ] imaginaires. [

En représentant par X le premier membre de l'équation [1], X=:0 admet, en effet, par hypothèse, au moins une racine. Si nous désignons cette racine par la lettre a, qu'elle soit rë^Ie on imaginaire, X sera divisible* par {x — a). Désignons le quotient par û;ilsera, dans tous les cas, du degré (m— I). et son premier terme sera Aa^'. Nous aurons identiquement :

et les coefScients de Q seront ou réels, ou imaginaires de la forme donnée. Puisque, par hypothèse, toute équation a vote nxiatt Q=0 eûAÙmet une; si nous la désignons par t,onaar8:

Q=(x-S)a, et, par suite,

D'après le même postulatum, l'équation Qt = 0, qui est do degré (m— 2), et dont le premier terme est évidemment Aar-», doit admettre une racine. Si nous la désignons par c, on aura :

ment AaT-*.

ïre, et en opérant sur Q,, le opération mettra en éviier degré; et le degré des en dimiDuanI, on finira par ■X évidemment égal h A. On

B [1, VS et VO], l'applique, ont

THÉORIB GËHËRALB DBS ÉQD&TI0N8.

ArinspectiOD de cette égalité, on reconnaît qae l'éqnu X = 0 est satisfaite pour les valeurs a!=o,aî=ft,aî = c,,.a et qa'elle ne peut l'être autrement ; car toute autre valeur a bnëe h Xt n'annulant aucun des facteurs du second mem ne peut annuler le produit, comme on va le voir.

176. RjcKARQDB. Un produit de pia^euri faeteun n'eil nul, gwmd P*m det facteun est égal à zéro. Cela n'est évident quand les facleors sont réels ; mais il est facile d'étendre la ] position an cas même oàil< sont imaginaires.

Soit le produit

on a:

Pour que ce produit soit nul, il laut donc qu'on ait à la ft

L^J t oft'+feo'teO;

ot>, en faisant la somme des carrés de ces deux égalités :

[3] (flo'— 6i')»+(fl6'+ia')' = 0.

Or, le prender membre de [3] est identiquement kg. (o*-J-6')(a'*+*'')i et ne peut, par suite, «"annaler, que si l't 0 = 0, b = 0, ou bien a'^0, b'^0. Donc il faut que l'on

(«-1-6/^ = 0, ou (a'4-A'v'^)=0-

tit la condition est, d'ailleurs, évidemment sufGsante.

177. Atttrk remarque. La formule [5] (178) montre qu premier membre d'une équation est toujours dëcomposable acteurs duprenrier degré. Elle permet aussi de former le i tnier membre d'une équation du degré m, lorsque l'on con ses m racines. Ce premier membre ne contient rien d'arbitr que le cordent A, par lequel on peut évidemment muUi[ les deux membres d'une équation , sans altérer les condit qu'elle impose & l'inconnue. Il résulte de là, que deax iquaH

160 LIVRE nu

qui ont Us mimes raçineSi nt peuwn^ différer que par un faveur constant.

178. PoLTNOUES iDENTiQxrES. Uae équation, da degré m, ne pouvant avoir plus de m racines , il en résulte que deux poUfnomes j du degré m, en x, ne peuvent être égaux pour plus de mvor leurs de cette variable^ sans être complètement identiques. Si , en effet, on égale leur différence à zéro, on obtiendra une équation, du degré m, qui, si elle n'est pas identique, ne peut être satbtEute pour plus de m valeurs de la variable.

179. Racines égales. Dans la démonstration que naos avoDS donnée (17IS}, rien ne suppose que les racines désignées par a, by c....ky I, soient différentes. Le nombre des racines distinctes d'une équation , du degré m, n'est donc pas toujours effectivement égal à m. On énonce cependant tous les théorèmes, comme s'il en était ainsi ; et, pour en acquérir le droit , on dit qu'une racine a est double, triple ou quadruple, lorsque le facteur (o^— a), qui lui correspond, figure deux, trois, quatre fois, dans le produit qui est égal au premier membre.

S IV. Racines imaginaires conjugnées.

180. Théorâme. Si une équation à coefficients réels^ admet une racine imaginaire a -f- b v^— 1, elle admet nécessairement^ et un

mime nombre de fois^la racine conjuguée a — b ^ — 1.

Si l'équation X = 0,

est satis&ite par l'bypo thèse

je dis que le premier membre X est divisible par (x — a^-^ V. Effectuons, en effet, la division; le reste, devant être de degré moindre que le diviseur, sera de la forme nuc-f-n; et l'on aura:

Ll] X = [(a?-.a)»+6«]Q+miF+fi,

tn et n étant des nombres réels, puisqu'il n'a pu s'introduire dans le calcul aucune expression imaginaire. Si, dans les deux membres de l'identité [1] , qui existe, quel

que soK x, nous faisons x^a-\~b ^ — l , le prei s'annule, pas hyp;othèse. Il en est , évidemment. (a: — o)* H- 6' ; et, par suite, on doit avoir :

cequicxige: ma + n = 0, mii = 0;

el, par suite, puisque b n'est pas nul,

On en conclut : X = [(a: — a)» + 6^0.

Or (x — a)*-\~b* s'annulant pour x = a — 6^—1, prouve, qu'il en est de même de X.

Si X est divisible par {x — a — b<j— l}, c'csl-i cine a-\-b^ — l est double, il faut que Q soit {x~a — b v'^) ; on prouvera alors, comme on 1' qu'il admet aussi le facteur (x— o)* -{- 6', et l'on ai

X=[(s-o)'+ô'?Q,=Ia!-Ca+6i/=T)]'[a:-Co-

en sorte que la racine a — bt/ — l se trouvera ai dans X.

Si X admet trois fois la racine a-\-b^ — l,ildoi par (x—a-~b}/~l}'; et, par suite, 0» doit adme {x — a—b^—ï}. On prouvera alors, comme on 1 et pour Q, qu'il est divisible par (aï — a)* + b\ et q

X=[Ca-a)*+bTQ.=[a!-C<t+ô/=^)na!-(fl-

en sorte que la racine a~b^^^ est triple, coo; guée.

Le même raisonnement peut évidemment se ce finiment; et, par conséquent, la racine a—b^ degré de multiplicité que sa conjuguée.

Alg. sp. B.

$ T. Relations entre lei coefflcieDls d'une éqoation et lee racines.