CHAPITRE II

THÉORÈME DE DESCARTES. — TDÉOnÈBIE DE ROL: S I. Théorème de Deicorles.

18tï. DÉFiNTnon. Le but de ce paragraphe esl la démoi lion d'un théorème célèbre, qui permet d'assigner, & la iDspectïon d'une équation algébrique, une hmite supérieu nombre des racines positives qu'elle peut avoir.

La démonstration de ce théorème repose sur un lemme nous établirons d'abord.

Lorsque deux termes consécutifs d'un polynôme sont < gnes contraires, on dit qu'ils présentent une variation de s lorsqu'ils ont le même signe, on dit qu'ils présentent une p nmce.

186. Leuhe. Si Pon multiplie par (x — a) un polynorri (ùmnel et entier, ordonné tuivant les puissances dicroissaiitet les coefficients du produit, considérés à partir du premier, prés au moins une variation de signe de plus que ceux du miUtiptii On suppose, bien entendu, dans l'énoncé précédent que àgne un nombre positif.

Soit / (a:) le multiplicande considéré. Supposons, pour les idées, que son premier terme ait on coefGcient positi composons ce poljnome en groupes de termes, dans cl desquels tous les coefBcients aient le même signe. Le pn groupe se composera du premier terme et de tous les U positifs qui le suivent sans interruption ; le second groupe mencera au premier terme négatif, et comprendra toi termes nëgatife compris entre celui-là et le premier des ti positifs qui viennent après; ce terme sera le premier du sième groupe, et ainsi de suite : il est bien entendu que cl groupe peut ne contenir qu'un seul terme. ËcrÎTODS le pr< terme de chaque groupe :

[1] A»--|--|—.— Pa^ ...+ Qa!»+...

Rœ* ...±Ui"±...±V,

170 LIVRE m.

les termes, que Ton n'écrit pas, étant tous de même signe qœ le premier terme écrit à leur gaucl)e, et qui commence le groupe auquel ils appartiennent. Il est bon de remarquer, que tous les termes écrits servent de commencement à un groupe, à l'exception du terme=i: Y, qui termine, au contraire, le groupe auquel il appartient.

Multiplions, actuellement, le polynôme ainsi écrit par le multiplicateur (x — a); et attachons-nous seulement à former, dans 1 le produit, les termes en aT+S «c^S ap«*Saf^, ...aT**, et, en outre, le dernier terme ± Va.

On Terra tout de suite :

Que le coefficient da terme en af^ est positif;

Que le coefficient dû terme en a/^^ est n^atif ; Que le coefBdcnt du terme en a^*^ est positif;

Que le coefficient du terme a^ a le signe it, c'est-à-dire le même signe que celui du terme en z* dans le inukipli* cande.

Le terme en aT**, dans le produit, provient, en effet, du produit de Aaf par w.

Le terme en af** provient du produit — Paf^ de — Pa^ par s, et du produit, par — «, du terme qui précède immédiatement — fa^; or, ce terme ayant,^ d'après nos conventions, un coefficient positif, son produit par — « aura un coefficient négatif, qui, ajouté à — P, coefficient de — Px^^, donnera nécessairement une somme négative. Le terme en a^^ provient du produit -{- QaJ»** de 4- Qa5 par a?, et du produit, par — a,datermeqm précède immédiatement Qj^; or, ce terme ayant, d'après nos conventions, un coefficient négatif, son produit par — a aura un coefficient positif, qui, réuni à + Q, coefficient de-|-Qaf«**, donnera nécessairemsnt nne somme positive.

La démonstration est la même pour les termes suivants.

Ajoutons que le dernier terme du produit, provenant, sans réduction, du produit de ±: V par — a, aura nécessairement le signe ifi, en sorte que le produit peut s'écrire :

[2] Ax-^*.,.— P'a;^^,. + Q'a?«^.„~a'ar*-*.-±U'a?^ ...q=Va;

THÉORIE GÉNÉRALE bt^ ÉQUATIONS. 171

''f 0^% R\ U', • • . désignant des nombres poskifs, elles termes on écrits ayant un signe incertain.

Or, à riaspectîon de ce produit [2], on voit qu'il a au moins ine Tariatton de plas que le multiplicande [1]. En effet ; de izf^^ à — P^a;^*, nous avons au moins une variation 4 et il n'y m a qu'une dans la partie correspondante du multiplicande. Oe — P'ic^*^ à + Q'««**, nous avons au moins une variation ; et il n'y en a qu'une dans la partie correspondante du multiplicande. Nous continuerons le même raisonuement jusqu'au terme + U'j;;*^^ ; et nous verrons qu'il y a, jusqu'à ce terme, autant de variations de signe, au mciBS. dans le produit, qu'il y en a en tout dans le multiplicande. Mais, après le terme zh U'a;*^^, le produit présente encore, au moins, une vanatton, puisque ce terme n'a pas le même signe que le dernier terme ip Va ; et, par conséquent, il y a dans le produit, au moins, une variation de plus que dans le maltipUcâiide* G'efit préoisément ce qu'il dènumtrer.

187. Remarque. Si le premier groupe du produit [2], de AaT^ à — Vcf^t offre plus d'une variation, îl en présente un nombre impair, puisque ses termes extrêmes n'ont pas le même signe« Donc le nombre des variations introduites^ par la multiplication, dans cette partie du produit, est pair. Il en est de même du nonabre des variations introduites dans chaque groupe, jus-^ qu'au dernier exclusivement. Mais ce dernier groupe, qui ne présentait aucune variation dans le multiplicande, en présente dans le produit un nombre impair. Donc, le nombre total des^ variations introduites est impair.

188. Limite supiRiEuas nu nombre des racines pûsitives d'une équation. Supposons actuellement que l'on considère une équation algébrique

et soH f (ai) le produit des facteurs simples, qui répondent aux racines négatives ou imaginaires de «elte équafitm; de telle sorte qu'en nommant «, 'p, 7, . . . les racines positive, on ait :

LITRE m.

;mme précédent, leproduit/'(x)(x — n) admet au okhoi lOn de plus que /"(») : le produit /'(a;) (i — a) (x — ^] une, au moins, de plus que le précédenti et, par [ de plus que f{x) ; f{x) {x — «) {x — p) (x — t) en Qoins trois de plus, et ainsi de suite ; et, par cotisé*

même que f{x) aurait tous ses termes de même signe, F {x) a autant de variations, au moins, qu'il y a de l,T>--

les racines de f (x) = 0 étaient positives, on soppo- = 1 ; et la conclusion n'en subsisterait pas moins, donc énoncer le théorème suivant :

lion algibriqm,

nier membre est une fonction rationnelle tt entière de x, avoir plia de racines positiva qu'il n'y a de variations au kl coef/icienu de <f (x).

e théorème connu sous le nom de règle des signes de flTE SOPÉRIEURE DU NOUBRB DES RACUIES HéCATIVES.

>n algébrique. Si —« désigne une racine négative de ion, on a :

Cf x = + « est racine de l'équatioD

!-{—«) =0, , changeant, dans la proposée, xea~x. Cette équamet donc, pour racines positives, les racines négaqualion [l]; et, par suite, en lui appliquant le théoescartes, on aura une limile supérieure du nombre les négatives. Une équation ne peut donc avoir plus de ttives qu'il n'y a de variations dans te premier membre irmieen—x.

100. RsHiAQUE. Le ibéorème de Descartes fournit ui supérieure du nombre des racines positives ou négati peut avoir une équation. Mais il arrive souvent que cet n'est pas atteinte, et que le nombre des racines positi exemple, est moindre que le nombre des variations da membre.

On peut démontrer seulement que, si cts deux nom différents, leur diffirtnct est toujours un nombre pair.

En d'autres termes, si une équation a un nwn&re pair t tioiu, elle a aussi un nombre pair de racines positives; et, un nombre impair de variations, elle a un nombre impai cines positives.

Remarquons, pour le prouver, qu'une équation, q nombre pair de variations, a évidemment son demie posilir; par suite, en faisant ir=:Oel a;=«,on aura sullats de même signe ; le nombre des racines positives i (1S4) pair. Si le nombre des variations est impair, le terme est négatif; x = 0, substitué dans le premier n donne donc un résultat négatif; x = <o donne toujoui un résultat positif; et, par suite (id4), entre 0 et w , ii nombre impair de racines positives.

181. Limite iNFÉRiEtmE du ncwbre des racines ihag n arrive souvent que l'application de la régie de Descar certaine l'existence de racines imaginaires. Si, en < nombre possible de racines positives, ajouté an nomb sible de racines négatives, forme une somme moindre degré de l'équation, il faut bien qu'il y ait des racine! natrcs.

Soil, par exemple, l'équation

son premier membre n'a qu'une variation; elle ne pe avoir qu'une seule racine positive.

Si OQ cbange « en — ir, la transformée est:

jB»5a4 2i— 1 = 0,

qui n*a aoss! qn^nne Tariation, et qui ne pent avoir, par saite, qu'une racine positire. La proposée ne peut donc avoir que deux racines réeHes ; et eHe a, par conséquent, an moins, six racines imaginaires.

On peut remarquer que les deux racines, que la r^le de Descartes indique comme possibles, existent certainement dsns ce cas ; l'çxcès du nombre des variations sur le nombre des racines positives étant, en effet, pair (190), il faut bien qu'il soit 0, dans le cas où il n'y a qu'une seule variation.

S n. Théorème de RoRe.

192. Théorème. Deux racines réelles consictUives a et b, d'une équation <p (x) = 0, comprennent au nurins une racine rielû de la dérivée ç' (x) = 0.

En effet, si Ton fait varier x depuis a jusqu'à 6, ^(x) part de zéro pour revenir à zéro ; cette fonction, qui est continue, ?a donc d'abord en alimentant, pour diminuer ensuite; oubîeo, elle commence par diminuer, pour aller ensuite en augmentant. Dans les deux cas, la dérivée change de signe ; et comme «lie est continue, elle passe par zéro, pour une valeur de x comprise entre a et &. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Gomme la fonction peut subir, entre a et 6, plusieurs alternatives d'accroissement et de diminution, la dérivée peut s'annuler plusieurs fois dans l'intervalle. // peut donc y avoir plusieurs nzcines de la dérivée comprises etUre deux racines consécutives de la proposée.

Ce théorème est vrai pour toute équation dont le premier membre est une fonction continue de x, quand sa dérivée ellemême est continue.

105. Corollaire. Il résulte de là que deux racines consécutives de la dérivée peuvent ne comprendre aucune racine de la proposée^ mais qu* elles n'en comprennent jamais plus d'une. On voit, en effet, d'une part, que, si deux racines consécutives a, b de la proposée comprennent plusieurs racines a', b\ ... de la déri^ vée, ces racines ô^, V de la dérivée ne comprennent pas de racine de la proposée : et l'on voit, d'autre part, que si deux racines consécutives a', b' de la dérivée comprenaient plnsieor»

racines a, 5»... delà proposée, ces racines a, b de la proposée ne comprendraient pas de racines de la dérivée : ce qui n'est pas possible.

194. Nombre des racines riêellss d*une équation. On conclut de ce qui précède, que, si Von sait trouver les racines de la dérivée^ on pourra compter le nombre des racines réelles de la pro^ posée. Soient, en efiet, a', &', (^,... l\ les racines réelles de la dérivée, rangées par ordre de grandeur : substituons successivement à Xy dans le premier membre de la proposée, les nombres

Si deirz substitutions consécutives donnent des résultats de signes contraires, il T >» d^^s l'intervaUe correspondant» une racine an moins de la proposée (170) et nne seule (195). Si les résultats sont de même signe, il n'existe dans Tintervalle ancuoe racine de la proposée; car il ne saurait s'en trouver plus d'une (195)» Ainsi chaque changement de signe, dans les substitutions successives, prouvera l'existence d*une racine réelle de la proposée.

Si l'on désigne par n le nombre des racines réelles de la dérivée, (n+l) sera le nombre des intervalles; et par suite (n+ 1) sera la limite supérieure du nombre des racines réelles de la proposée.

On voit encore que, si une équation a toutes ses racines réelles, sa dérivée a aussi toutes ses racines réelles; car les m racines réelles de la proposée fournissent (m — 1) intervalles, dans chacun desquels doit se trouver, au moins, une racine de la dérivée (qui n'a que m— 1 racines.) La réciproque n'est pas vraie.

105. Application a l'équation nu troisième degré. Si l'on considère, en particulier, l'équation du troisième degré, sous la forme simple

on remarque que, pour qu'elle ait ses trois racines réelles, il faut d'abord que sa dérivée, 3a;" + p = 0, ait ses deux racines réelles; car si celles-ci étaient imaginaires, la proposée ne pour-

éelle. n faut donc que p s iriîée sont :

successivement i. x, â&as le

sR-

igranent de signe (194). Or, ression négative, et œUe de , et cela suffil, que l'on obplus petite racine de la delà plus grande. Or, le prese mettre sous la forme :essaires et suffisantes sont

positif, comme p est Dégalif, 'ement vériliée; quant & la

positifs, on peut les élenr

THÉORIE CeNERALE DES fQOATIONS. 177

2' Si q est négaiir, la seconde inégalilé est nêcessaireir''"' Térilîêe. Quant à la première, on peut l'écrire :

ou, en élevant au carré les deux membres qui sont positifs,

-'^>,-, ouencore (i)+(|)'<0. (:

Telle est donc [1] la condition nécessaire et suffisante, pi que l'équation du troisième degré ait ses trois racines réel (Celte condition, on le voit aîséuient, comprend la premi p<0.)

RiSUMl!.

ISS. DéSnition des variations el des pennanencea. — 186. Si l'on mi plie un polynôme entier en x par (x— a), a étant positif, le produi an moÎDs, ane rariatioa de plus que le mnlliplicande. — 187. Le m bre des varialioDS introduiles est impair. — 188. Le nombre des cines positives d'une équation ne peut surpasser le nombre des va lions de son premier membre. — 189. Limite supérieure du non des racines négatives. — 190. L'eicès du nombre des variations su nombre des racines positives est un nombre pair. — 191. Limite i: rieure du Dombre des radnes imaginaires. — 192. Deux racines rée consécutives d'une équation comprennent, au moins, une radne ré de la dérivée. — 193. Deux racines réelles consécutives de la déri peuvent ne comprendre aucune racine de la proposée; elles n'en c prennent jamais plus d'une. — 194. Lorsqu'on sait trouver les rac de la dérivée, on peut compter les racines réelles de la proposée. I qu'une équation ail tontes ses racines réelles, il faut que sa dérivé) toutes ses radnes réelles; mais cala n'est pas BufSsant. — 19K. ( dition pour que l'équation du Iroisième degré ait ses trois rac réelles.

EXE&CICE8.

I. lorsqu'une équation algébrique, de degré m, à coetBcients réels, est plèie, c'est-i-dire, lorsque son premier membre contient toutes tes puissi <<ei, depuis la puissance in jusqu'à la puissance zéro, si toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variations, nombra des racines négatires est égal au nombre des permanences. Alc. sp. B. IS

II. Si une éqiulioD ioâcaiplète, de de* racines réelle) ne peut surpassée i

On applique les tbéorËmes (188 SI

m. Si, dâits une iquation incomplète, il manque un nombre pair de terme entre deux termes de mbne signe ou de signes contraires, l'cquation a, «n aom, autant de racines imaginaires qu'il y a de termes manquants.

tV. Si, dans une équation incomplète, il manque un nombra impair de tenues entre deui tenues de même signe, il y a, au moins, lutant de racines inugi' naires qu'il y a de termes manquants plus un. Et si les deux termes, qui conpnonent la lacona, wmt de ai^tw CMtiairM, il 7 a, an moiiM, naiMt da ndoei imaginaires qu'il y a de termes manquants, moins un.

T. Lomfl'wM» iquatioD Incom^He a loutM laa ra«lne> tMIbs, B ne ptot

manquer de terme entre deux termes de même signe ; et il n'en peut aaaqaa plus d'un entre deui termes de signes contraires.

TI. Lorsqu'une iquation incomplète a toutes ses ncines réelles, le nond)» des racines pasltives est égal au nombre des nriations; et le nombre des ticinci n^atlres est égal au nombre des permanences, augmenté du voaibtt ds lactines.

On applique, pourUa eiercim* m, IT, V, TI, las Ultatoe* (188), 189 Bt 191).

m. Dem raeinai oonrtcntlTea d'une équaikm eumpimnent tirajoun no nombn impair da TBolmi de la dirlTée, pourra qu« l'on oompte ponr deoi ebi^c lacine doubla qm peut aTOtr la dirirée, pour bt^ cfeaqiw ndaa Hipla, ett.

On étudie les nilation) du premier membre de l'équaUnn (19X}.

TUL Bil'MaBMi.

et qUB Ton mnlHptte reepoetiTement ses termes par o, a + h, a+7b,—a + i'm-~l)b, a+tnb (aat bêlant des DombiMponlib), on forme une équiLon nooTelle, qui a m* ikIiib aomptiu antre deu caciiM* conainrtlTM da la proposée, excepté entre la ybm petila neina poaitlra « la raetM oigKUn qm It précède.

On applique le théorème précédent (ni).

IX. Si dans une équation f{i) =0, on change s en — c, le nombre des nmtlona,tantde]apropasé«quade la traortmate, ne peut être lupérienr as drgn da riqaatton; et, qoand il loi wt inltrienr, la dillérenca est m nooibn pair.

X. Si une équation, da degré m, présente n TariatioDS, elle a, . racines négatives.

CoroUure du théorème IX.

XL S'il arrive, qa'en mnltipliaiit le premier membre iTqii (s — s), on introduise (!«■)• 1) ntiations, l'équation proposé 3t) racines ii

J^plioation des tbiaièmM X el 101.