DÉnNinON du plus grand commun diviseur ALOéBRIQUS

Nous ayons yu (175), qu'une fonction entière de layariableâ? peut toujours se décomposer en facteurs du premier degré, de la forme {x — «), « désignant un nombre réel ou une expression imaginaire indépendante de x. La décomposition ne peut se foire que d'une seule manière ; et chaque polynôme admet seulement un nombre de facteurs égal à son degré. En général, deux polynômes différents admettront des facteurs inégaux ; el ce sera seulement dans des cas particuliers, qu'ils en auront un ou plusieurs de communs. Il est important, dans plusieurs recherches d'algèbre, de savoir décider, si deux polynômes donnés se trouvent précisément dans un de ces cas, et quel est alors le produit des facteurs conmiuns, que Ton nomme plus grand commun diviseur des deux polynômes.

197. Rkcherche DU plus grand commun diviseur de deux POLYNOMES. Soient <p {x) et f i {x) les deux polynômes, ordonnés suivant les puissances décroissantes de x. Supposons f {x) de degré supérieur à f i {x)^ et divisons le premier de ces polynômes par le second. Soient Q le quotient et ffi{x) le reste; on aura:

<p(a?) = Q?i(a?) + çt(a?);

et cette égalité prouve, que le produit des facteurs communs & ^{x) et à f i(a;} est le même que celui des facteurs communs l (Pi(a?) et à ç,(a?).

Soit, en effet, {x—a) un facteur commun à f^{x) et à fft(x)^ qoi figure p fois dans chacun de ces deux polynômes ; ff{x) et ««(x) étant divisibles par (a? — a)', la somme f{x) et l'une des parties Q^{x) admettent évidemment ce diviseur; il en est, par suite, de même de l'autre partie de la somme, c'est-à-dire de 9t(^}*

On verra de même, que, si f^^x) et ffi(x) admettent p fois un facteur (a;—»}, il en sera de même de ^{x).

Il est bien entendu que, dans ce qui précède, on peut avoir p = l.

D'après cela, les facteurs communs à 9(0;) et à ^i{x) sont les mêmes que les facteurs communs à 91(0;) et à cps(rr} ; ils doivent être pris, dans les deux cas, avec les mêmes exposants ; et, par suite, le plus grand commun diviseur de ff{x) et de f «(rr) est le même que celui de <pi(â?} et de 91(0?).

On ramènera, de la même manière, la recherche du plus grand commun diviseur de 71(0;) et de 92(0;) à celle du plus grand commun diviseur entre 9,(0?) et le reste fsCrr) de la division de 91 par 91. On continuera ainsi à substituer aux poly* nomes proposés d'autres polynômes, dont le degré ira sans cesse en diminuant; et lorsqu'on parviendra à une division qui se fera exactement, le diviseur de cette dernière opération sera le plus grand commun diviseur cherché.

Si Ton parvient à un reste numérique, avant d'avoir rencontré une division qui réussisse, les polynômes proposés n'ont aucun facteur commun, et il n'y a pas de plus grand commun diviseur.

198. Remarque. En cherchant le produit des facteurs communs à deux polynômes, on ne se préoccupe aucunement des facteurs numériques. On peut donc multiplier l'un des polynômes donnés, ou l'un quelconque des restes obtenus dans Topèration par un facteur numérique quelconque. On profite souvent de cette remarque, pour éviter Tintroduction des dénominateurs numériques. Il suffit, pour cela, de multiplier les dividendes successifs par le coefficient du premier terme du diviseur; et l'on doit prendre cette précaution, nonnseulement pour les fonctions successives 9, 91, 91, 91,...} qui servent succeteivement de diviseurs, mais aussi pour les dividendes partiels, qui se présentent dans le cours de chaque division.

Supposons, par exemple, qu'en divisant ^{x) par 91(^7), on ait trouvé au quotient un certain nombre de termes, dont nous représenterons l'ensemble par Q|.

Soit ^{x) ce qui reste du dividende, lorsqu'on en a retranché le produit de d par le diviseur ; on a :

9(a?) = Oi?i(a?)+4'(^)

^^SPfflçSP^'

, que les focteurs eommuos les facteurs commans à ^(x) àdeurs communs h h^x) et iDipie. D est donc permis de lultiplié le diviileBde partiel

lynomes on l'un des resta, it commun.

c produit dfis facteurs cooh

ix-{-î.

«c'+Uc— 4,

poTtieUt.

I «*— 19»'44te— Il

Ainsi donc, le produit des factears communs est.(^ — 3â?+ 1); ^t Ton a :

9(a?) = (a;*— 3a?+l)( cf—k),

On remarquera que, daus les opérations précédentes, le polynôme 9(x) et le premier reste de la première division ont été multipliés par S, et que le reste de la seconde division a été di« visé par 513. Cette introduction et cette suppression de facteurs numériques sont permises, comme on Ta remarqué plus haut^ quoiqu'elles changent les quotients successivement obtenus* Ainsi, par exemple, en divisant ^(x) par <pi(a;}, sans faire usage

de CCS simplifications, on trouverait pour quotient ('T'^flt&ii

lieu de {a? — x) que nous avons obtenu; mais, les quotients n'étant d'aucun usage, cela n'a pas d'inconvénients.

Exemple II. Considérons, pour second exemple, les deux polynômes :

r^a?) =a?» — 49ir* + 67a:» + lOa;" — 25x — 4, l<pi(a?)=2a;»— 18a;* + 39a^ — 25x*-f-a: + l.

Voici le tableau des opérations :

2«» — 98ï*+134a»+ 20»»-50»- 8 [ U*— 18Jg*+3tte»-»:t«4-aP4-l

18»*— 137x'+159«'+ 19x»— 51af— 8 IS*»— I62s*-f 3510?*— 225ag»4- &c-f 9

25a^— 192«^+244J?'-60a5— IT

50tJ»— 450«*+ 975«»- 625»»+ 25*+ tS [ 25g*~192a:*+244x*— 60a?— 17 50j*-- 384**+ 488x^— 120x»— 34x 2«— €6

— 16&0g*+12672g^-161O43;H3960ag+1122

25x<— 192x»+2443î'— 60x— 17 [ g^— 7*^+53? -fl 25j^—175x»+1 25*^-25* 2525-13

— 17»»+ll9a;'— 85*— 17

— 17x'+J19aî»— Sox-n

184 LIVRE m.

Le produit des facteurs communs est donc (a^ — 7a^ + ^a? + 1) ; et, en divisant par ce produit les deux polynômes f(x) et fi(a;}, on aura :

ff^{x) = (a;»— 7a;»+ 5a? -f l) (2a?» — 4a? + 1).

Nous remarquerons, comme plus haut, que diverses simplifications ont été apportées aux divisions précédentes. Dans la première on a multiplié le dividende par 2.' Dans la seconde, le dividende a été multiplié par 25, ainsi que le premier dividende partiel ; le reste a été divisé par 497.

ExÉBCPLB m. Nous chercherons encore le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes :

f^{x) = ofi — laf-\- 15a?*— 40a;» + 48 a? — 16, f^^{x) = ea;* — 35a?* + 60a?» — 80a? + 48.

Voici le tableau des opérations :

6aj«— 42t?»4- 90»* -240»'+ 288x- 96 | 6flg»— 35g*-f60g»-80aP+48 Ga^— aSg^-f'eOJ*— 803?»+ 483g »— 7

78»»— 455»*+ 780»»- 1040» + 624 | 13»*— 84»»+192Jg»— 176»+48 78»*— 504»*+1152»»— 1056»»+ 288» 6»+69

Donc le facteur commun est a?» — 6a?» -f 12a; — 8.

THËORIE GÉNÉRALE DES SQUATIONS. 185

Dans ces divisions, on a introduit et supprimé, comme dans les précédentes, des facteurs numériques^ que le lecteur, suQisanunent averti, apercevra sans peine.

S IL Racioes communes à deux équations.

90Ô. Moyen d'obtenir les racines communesadeuxéquâtions. La théorie qui précède permet de ramener la recherche des racines communes à deux équations, à la résolution d'une équation qui ne contient plus qu'elles seules, et qui est, par conséquent, de degré moindre que les proposées. Il est clair^ en effet, que le produit des facteurs communs à deux polynômes, étant égalé à zéro^ donnera précisément les racines qui les anniUent Vun et Vamre.

Soient, par exemple, les équations :

^ ^ 49x» + 67x'+ lOa?» — 25rp — 4 = 0,

to» I8a?*+ 39aî* — 25a;» + a? + 1 = 0;

on a vu (199, exemple II), que le produit des facteurs, communs à leurs premiers membres, est :

et, par suite, les racines communes s'obtiendront en résolvant Téquation da troisième degré

aJ 7a?*4-5a? + l = 0.

Cette équation a évidemment pour racine â? = 1 : son premier membre est donc divisible par (o? -*- 1). Le quotient, â;^— - 6a;— 1, égalé à zéro, fournira les deux autres racines communes,

« = 3 ± }/ÎQ.

% IIJ. Des racines égales;

801. But de la théorie des racines égales. Les procédés, employés pour la résolution des équations numériques, exigent que ces équations n'admettent pas de racines égales. Il est donc essentiel de résoudre les deux questions suivantes.

RE m.

ëlanl donnée, reconnaître si elle

acines égales, ramener sa résolo- . équations, de degré moindre, et

8 SI infE ÊQUATIOn A DES RiCDIES

I, <f(a!) = 0, admet n fois la racine ir (z — a)'. Le théorème soivuit lires et suffisantes, poar qa'il en

rntbr» a toit n fois raciae ifw»

il est nécessaire et suffisant qvt, m y (x) et ses {a ~- 1) premières di-

)] par la formule générale donnée

!i!(.-,)-+...+if^(«-.)-

formule, on voit que la condijn a, en effet, <f (a) = 0, y' (a) =0, li restent dans le second membre r; et f (x) est, par conséquesl,

dition est nécessaire; sappoaons, [lie par (a— a}\ et y(f) étant la

I THËORIE GÉKER&LB DES ËÛD.LT10NS,

pFemière des dérivées de ^ (x) qui ne s'annule pas ponr x : on ait p<;n;l'ét[ualion précédente deviendra :

"i-a-P^"" ' ^i.2...(p+ij^

Si l'on divise les deux membres par (x—a)*, il viendra :

égalité impossible; carç(i) renfermant, par hypothèse, {xen factear, et n étant plus grand que p, le pretnicr meu s'annule pour £r=a, et le second prend une valeur diSérenl

zéro, savoir : ' ' .

On peut déduire du théorème précédent les cooditioDi vantes.

203. TirioRÈHK n. Pmtr qu'un nombre a st>j( n foii n d'une équation algébrique <f[yi):=0, il est néceuairs et suffitaM ntbstilué àx, U annule ù polynôme f{x), et qu'U soit, en 0 (n — l) fois racine de riguation dérivée if'{x) = 0.

Il résulte, en effet, da théorème précédent, que les condil nécessaires et suffisantes s<nit exprimées par les équations :

dont les (n — 1) dernières expriment, que o est racine de l'êi tionf'(z) = 0 et de ses (n — 2) premières dérivées; et, par s en vertu du même théorème, que aest(» — 0 ^'^ raxin l'équation <|>'(d;)=0.

S04. Remarque. Il résulte du (héorëme précédent, que, à décompose le premier membre d'une équalioti et sa dérivé fadeurs sûnples correspondants à leurs diverses racines, à que racine mulliple d, entrant n fols dans réqnat!on,eorre5 dront, dans la dérivée, (ni— 1) facteurs égaux à {x — a);enE que,- si une équation f (x) = 0 admet n racines égales &

188 LIVRE lii.

racines égales à 6, 9 racines égales à c, r racines égales à d, elc^, on a:

a)(a;) = (a?— a)»(ar— &/ (a?— c)«(a?— (Q\..,

et, par suite, f^x) et <f*(x) admettent les facteurs communs (a?— a)"-', (x— 6)»^*, (rr— c)«-», (a?— d)*"-*. Je dis, de plus, qu'ils n'en admettent pas d'autres; car, s'ils admettaient un facteur commun (a?— &), h serait racine de <f{x) et de ç'(a?), et, par suite (202), racine double de f({x).

Le plus grand commun diviseur, entre h premier membre d^une équation et sa dérivée, est donc le produit des facteurs simples correspondants aux racines multiples, V exposant de chacun d^eux étant diminué d'une unité.

Et, pour décider si une équation a des racines égales, on cherche le plus grand commun diviseur entre son premier membre et sa dérivée. S'il n'existe pas de plus grand commun diviseur, c'est qu'il n'y a pas de racines égales.

205. RÉDUcnoN d'une équation qui a des racines égales. Les théorèmes précédents permettent de ramener la résolution d*une équation, qui a des racines égales, à celle de plusieurs autres équations qui n'en ont pas. Considérons, en effet, une équation f (rr) = 0 ; et concevons son premier membre décomposé en facteurs correspondants à ses racines. Soient X^, Xt, Xi, X4 les produits des facteurs de chaque degréde multiplicité, pris chacun une fois seulement, savoir : Xi le produit des facteurs simples ; X^ le produit des facteurs qui correspondent à des racines doubles, pris chacun une fois seulement ; et ainsi de suite. En sorte que Ton ait :

9(a?)=XiX,*X,%*.

Le produit des facteurs, communs au polynôme X et à la dérivéei est, d'après les théorèmes précédents :

Le produit Pi des facteurs, communs à P et à sa dérivée, est de même :

Pj = XsX4".

Enfin, le produit Pt des facteurs, communs à Pi et à sa dérivée, est :

Si réquation proposée n'admet pas de racines, dont le degré de multiplicité surpasse 4, Pi n'aura plus de facteurs communs avec sa dérivée i sinon il faut continuer & opérer de la même manière, jusqu'à ce que Ton rencontre un résultat, quin'ait pas de diviseur commun avec sa dérivée. Maintenant, en divisant chacune des égalités précédentes par la suivante, il vient :

p- = Oi = X,X|X4 ,

p" = Qi = XjX4,

P.=X4; et, en divisant chacune de celles-ci par la suivante :

On pourra donc, par de simples divisions, trouver Xi, X^, X|, X«; et, en résolvant les équations,

qui n*ont plus de racines multiples, on obtiendra séparément les racines simples, doubles, triples, quadruples.... de la proposée.

206. Exemple I. Appliquons la méthode précédente à l'équation

i9Û UYRE m.

On a : ç'(x)=te»+ lto>+4a? + 12

Par des divisions successives, on obtient les équations soivantes :

k.ff(x)= (a?+4)-?'(a;)— 8(x*— 4a?— 21)

^'(o;) =: 4(a?+ 7). (iT»— 4a?— 21) -f 200 (a?-f- 3)

flp» — 4»— 21= (a?-h3).(»— 7).

Par conséquent» le facteur commun à f (a?) et ^'{x) est (s +3}. Donc — 3 est une racine double; on trouve^ en effe^ par là (fivision :

f (a?) = Ca?+3)«.Ca?» — 2a?+ 5).

Exemple II. Soit encore Tëquation

ç(x)=a?'— 10aj»+15x — 6==0.

On a; ?'(a:)= 5(a?*— 4a;+3).

Les divisions consécutives donnent :

Le plus grand commun diviseur, entre f {x) et f'ix)^ est donc (a?— l)*;la seule racine multiple est donc, a;=l, qui figure trois ibis dans la proposée; et Ton a, en effet :

Exemple III. Soit l'équation :

^(»)=af— 7«»-|-l5«^— Wr»+4te— ie= 0 j

la première dérivée est :

ç' («)= 6a?»- -aSa?* + eOo;* — 80a? + 48.

Jt u

THÉORIE CËNÉRALE DES ÉQUAT10^S.

Nom avons déjà trouvé (108), que le pntduit àos ù~' commoiu & ces deux fonctioDs est :

on («—2)».

Donc, l'équation proposée admet quatre racines égales à a, en effet :

ExBHPLE IT. Soit enfin Téqualion:

ç(aî)=a!»— I0a^+47«»— liOx^-J-STIi*— 530a!4-2S5 =

■a dérivée est :

?'(«)= te*— 50**-^ 188*»— 4aO*»+5Ux— 830.

Les divisons socœssives donnent :