Résolution générale de l*équ\tion. Téquation
[1] aï— tanga?=0,
qui se distingue par la rapidité avec laquelle on arrive à la détermination nette et complète de ses racines, est, en outre, remarquable par la facilité avec laquelle elle se prèle à une résolution générale, analogue à celle des équations algébriques du second degré.
En effet, il suffit de trois ou quatre substitutions successives pour obtenir l'expression générale de toutes ces racmes avec une grande précision.
Nous avons déjà établi (page 285), que la n'^ racine est plus
petite que (n + r j ic, ou que (2n + 1) |« Posons donc :
équation dans laquelle 0 désigne la distance de Tcxtrémité de V'âTCxh celle du quadrant où il se termine. Nous aurons alors:
tang a? = tang (2n-|- 1) ^— ô = cotange,
d'où tang ô = ; ;
° tangrc'
mais nous avons également, d'après l'équation proposée :
tang xxx; àlg. sp. B. 19
SQO UVRE IT.
donc taiig8=-,
et[i] (Sn+I)|=i + arc.IaDg5.
Or - est plus petit qae 1 : on peat donc développer en série celte dernière expresûon; et Ton a :
d'oà, en désfgnuit (Sn+ 1} | par a :
C'est de celle équalioD qae nous tirerons b mleur de s m loDOtiondea.
Négligeons d'abord le terme - et les termes salrants : nous
aurons s^ a; si nous substituons cette valeur à x dans le second membre de l'équation [3], nous aurons, en négligeant les3~...
Une nouvelle substitution, avec snppression des 5** puissances, donnera :
Car la division donne :
DES DIFF^fiENGES. 291
En substituant cette valeur de x dans le second membre de Té* quation [3], en effectuant les divisions et en négligeant les 7'* puiseaoceSi nous aurons une valeur 4e x encore plus approchée :
(^-^-é) ^[^-\-h) K'^-âiy
OU, en réduisant, a?=a s-i + rr-i-
Enfin, pour obtenir une nouvelle approximation, remplaçons x par cette dernière valeur, effectuons les divisions et négligeons les 9^ puissances ; le résultat sera :
\ a 3a» 13/ V « 3aV \ a)
ou
ou
a 3o» 15a* 105a^* Un nouveau calcul donnerait le 6' terme de la série, qui est
En remplaçant, dans cette formule, a par sa valeur (2n+ 1) -, et -K par 3,14159 26...., l'équation se présentera sous la forme :
[4] x = (2n+ 1) . ^ — —i— X0,63661 97723 67581 ^ jX0,1720081836— .^ ^^.., X 0,09062 596
(271+1)'^'^^' (2n+iy
Pouraïoirimraêdiatementla valeur de lai", lie la s*, dela3*.... racine, on n'aurail qu'à substituer An les nombres 1, 2, 3,... A mesure que le nombre n augmente, le nombre des termes diminue pour un m6me degré d'exactitude; et la valeor de x Rail par se réduire au premier terme
lorsque n devient inGni.
Si, par exemple, on voulait obtenir, i sept décimales, la 10* racine, il sufrirait des quatre premiers termes; on aurait:
Sn+li=21,
iC = 21 X 90' = 32,986 72286, . . . (yOJ. Callet, p. 214)
on a;=33,9S63890.
Le calcul devient encore plus simple, lorsqu'on convertit les coclUcients de l'équation [2] en degrés, minutes et secondes; opération qui serait extrêmement simple & l'aide de la table de réduction de Callet.
On obtient alors :
(2fl+l) (2rt+l)'
Calculant, d'après cette formule, la 5* racine de l'équation, on aura:
n=5, 2n + l = ll.
er les quatre premiers termes, et encore le
quatrième n'influe-t-il que sur les fractions de secondes. On aura ;
a?=llX90« — (11937*,48 + 26'.66 + 0%12) j
OU a?=llX90« — 3M9'24''26.
Voici les Taleurs des onze premières racines :
Xi= 3X90« — 12»32'48', a?,= 5X90*— 7«22'32», a?,= 7X90«— 5M4'22', X^= 9X90*— 4» 3' 59", a?j = llX90*— 3«19'24^ rr, = 13X90»— 2•48'37^ a?,= 15X90»— 2«26' 5^ a?,=:17X90«— 2» 8'51^ a?, = 19X90»— 1«55'16*.
ar,o=2lX90«— 1*44'17\
RÉSUMÉ
270. But de ce chapitre. — 271. Indication de la méthode des diffërences. — 272, 273. Exemples. — 274. Indicaticn de la métbOuC des substitutions successives. — 275. Exemple. — 276. Indication de la méthode de Newton. — 277, 278. Exemples. — 270. Gonsidé*' rations générales relatives à la résolution de l'équation x^ tango?. — 280. Calcul de la premi're racine. — 281. Résolution générale de l'équation x = tang x.
UYW IV.
EXERCICES
I. Étant donné un quadrant de cercle BCD, trouTcr un arc BM, tel que le
secteiur BCM soit 6gal au triangle CDR formé par le rayon CD, la cosécante CR et la cotangente DR.
Soit rarcBM=«; l'équation à résoudre se» :
9=£Cotg2; ISl l'on trouvera:
=4yi7'36',55, X = cotang* =0,860 3334,
n. Trouver un secteur BCM, qui soit la moitié du triangle CBT formé par le rayon CB, la tangente BT et la sécante CT
Équation :
Solution :
2x=tangs.
2a? = tang «=2,331 122.
III. Partager le demi-cercle ADMB en deux parties équivalentes, par une corde ÂM menée à l'extrémité du diamètre.
On cherche Tangle MCD=f«
Équation : 9=70089.
Solution :
IV. Étant donné un quadrant de cercle BCD, mener une perpendiculaire MF au rayon CB, qui partage Taire du quadrant en deux parties égales.
Soit l'arc BM=â;; on obtient l'équation :
J»— Î=sii2af.
En posant:
l'équation deviendra Solution de l'exercice IIL
Z'^COSZ^
DES D1FPÉREKCE9. 295 '
T. Détemiiiier te ssctoor da cercle ACl, da m&nlân que 1& corde A.H le partage en deni [nrtia éqaiT&lentei, c'esl-i-dire que le triangle ACK Kdl ég&l tu wgment ADU.
Stdll^ue AM=Xi réquaUoii irèsoudra sers :
Solution I X = 10S*3ri3',76,
ï=:trfiiX = I,895494î.
TI. Mener d'un point delà circooférence deux cordes AH el AN, telles qu'elles dJTÏMiit lUie duceicleen trots parties égales.
Soit BCll=ai on xan l'équation :
e + Bln«=?.
Solutiaii X=30*43'33',0,
VII. Déterminer, àua le quadrant BCD, l'arc BU, •oit égal i, la conle BM prolongée jusqu'au point F.
Solntiiat «=8VS3'38',83,
Vin. Résoodn l'éqnatton :
""'"-""'■ =0,05BM cotanga— cotonga '
s étant égal à 32M9'!4',S3.
Ontroore : s=14'143&'.3t.
