OU
Troisième approximation. Pour avoir une valeur de x encore plus approchée, posons maintenant :
«=3,597 285; nous aurons :
log «=0,5559404378 log«= 5. 55594 04378
a?log«= 1,99909 997677 loge = 0,43429 44819
d'où «log«— 2=0,00000 002323, log« + log«=0,9902349197,
ce qui donne pour valeur de A,
et la valeur de «, exacte & dix décimales, est :
27a Exemple H. Résoudre l'équation :
« — tsin«=a; et soient 1 = 0,245 31615,
logc = î,389 7262, a = 329H4'27^66.
Cette équation se présente dans Vétvde du mouvement elUpUm
?fl r ' ^"^""f^ '^''^ ^ ^'^^ * ^'^'^^ ^ns i^wT à une époque donnée. *
Avant de passer à la résolution de celte équation, nous aUons montrer comment on réduit en degrés un arc de cercle exprimé en parties de rayons, et réciproquement.
On sait que, pour le rayon = 1, la demi-circonférence da cercle, on 180*, est égale à
ic=3,14159 26535 89793 23846...;
donc l'arc égal au rayon sera :
C *est donc par ee dtmm nombre gu'il faudra multiplier la lon^ gueur cf un arc donné en parties du rayon^ pour le ramener à la mesure ordinaire des arcs; et réciproquement, en divisant le nombre de secondes, que contient un arc de cercle, par 206264,806247...., on'Obtient sa longueur en parties du rayon.
Si, par exemple, nous voulions convertir en parties du rayon Tare de cercle a =329* 44' 27^66, nous aurions :
loga=6,074 4755, log206264^8 = 5,314 4251,
donc logâ? s 0,760 0504 ;
et de là, en parties du rayon,
en sorte que Tare de 329* 44' 27^66 vaut environ 5 \ fois le rayon.
On donne quelquefois celte règle de conversion sous une autre forme, équivalente à la première. Désignons par a la longueur d'un arc en parties du rayon, et par a' le nombre de secondes qu*il renferme : si l'on divise « par la longueiur de l'arc d'une seconde en parties du rayon, on a évidemment pour quotient o^.
Ainsi rx = «'. Hais l'arc d'une seconde et son sinus sont
arc 1
égaux à moins de j^ ; donc :
:— -^ = a', et a = «' sin l\ mr '
sm
282 LIVRE lY.
Ainsi, pour convertir en secondes vn arc txprimé en pariia du rayon^ il faut diviser sa longueur par sin 1'; ei rieiprogmmenty pour exprimer en parties du rayon un arc évalué en degrés^ minutes et secondes^ U faut le convertir en secondes, et multiplier U résultat par sin l''.
Nous n'avons pas besoin de dire que le logarithme de sin 1' se trouve à la première page des tables.
Ceci posé, déterminons d'abord le quadrant du cerctei qui comprend l'arc a?; et pour cela, substituons à x^ dans l'expression
V(x)=^x — t sin a?— 5,755067,
Jes valeurs linéaires de 0\ 90*, 180<^, 270S 390». Le résultat sera :
«=0* isinJî = 0 F(x)=: — 5,75...
a;=:90«=:| «sina?=0,25 F (a?) =—4,43... ir=l80* = ic tsina?=0 F(a?)=— 2,61
Sir
a?=270«= — tsina^s:— 0,15 , F(«)=— 0,79
a? = 360«=2w «sina? = 0 F{a?)=+0,53
Donc l'arc x est compris entre 270* et 360*, ce qui était facile à prévoir ; et, comme son sinus est négatif, x est plus petit que a = 329* 44' 27^66.
Première approximation, par parhes proportiornblles. Posons d'abord x= 320*, et calculons la valeur correspondante de V(x). Pour réduire l'expression en* degrés, minutes et secondes, nous multiplierons, d'après la règle, le terme t mx par 206264,8.,., ou nous le diviserons par sin i', et nous aurons :
sinx = sin 320* = — sin 40* ;
ou log(— sinaî)= 1,8081,
loge =1,3897, log 206264= 5.3144,
lOg (— e sina? x 206264") = 4,5122;
donc 20Ô264*'x « sina: =— 32525""=— 9'2'5*j
et de là : a? = 320%
— «sina? = 4-9«2'5*,
~"0=— 329<>4V28\ Donc : F(a?) = — 42'23"=— 2543*;
Tare de 320* est donc trop petit.
De la même manière, on obliendraîl pour a?=330»
donc rare a? =330* est trop grand, et la racine de l'équation est comprise entre 320 et 330^.
La différence des deux valeurs,
F(320*)=— 2543* et F(330») =+26232",
étant égale à 28775", pour un intervalle de 10% nous pourrons admettre comme valeur approchée de x,
Appucâtion de la MJh^ODE DE Newton. On a :
F(a?) = a?— esina;"-329n4'27", 06, F(ap)=l — «cosa;.
Prenons la valeur approchée de x comme point de départ. Soient c = 320'53' et x = a + h;
, F(a) a — esina — 329*44'27",66
nous aurons : A = — ^rr{ = ; — •
F (a) 1— «COSa
log(— Sina)=ï,799 9616 logCOSa = î,889 7850
log« = î,389 7262 loge = 1,389 7262
log206264 = 5,314 4251 log(ecosa) =ï,279 5112
l0g(— fSina) = 4,504 1129 eCOSa = 0,190 3317
d'où — f Sina = 3l923",67 F(a) = l— tCOSa =0,809 6083»
S84 UYKB IV.
Donc «= 320«53'
— c sma=+ 8* 52'3%67 — a=— 329*44'27%66
et P(») = 36^,01.
I Mais *=-F^;=- o:8Ô^=- *^^^8-
Donc X= 320*53'— 44'48 = 320«52' 15*52.
valear exacte aux centièmes de secondes. Vérification do résultat obtenu: Noos avons trouvé :
donc sino? =— sm39*7'44%48;
et log (— sin x) = T,800 0767
Iogf=rl>89 7262 log206264''=r 5,314 4251
log(—isinx)= 4,504 2280 D*oÙ — isina?= 31632', 14=8*52'12^,14,
Or x= 320«52'15'',52
— tsîna?=+ 8*52' 12*^,14 — a=— 329•44'27^66
Coauoe on voit, la méthode de Newton nous a donnëi par qd seul calculi la valeur exacte de l'arc x.
S IV. Réàolation de réquation (C= tango?.
i\(i$ iquation se présetfUe dans la théorie de la chaleur^ etdanslft iVrvm *ks vibrations des corps élastiques.
t7^ CoNsmiiUTiONS générales. 1* Gomme Téquation ne v*^^^<^ (AS lorsqu'on y remplace x par (— x), il en résulte qu'à v^b^uc' raoM correspond une autre racine ^ale, mais de signe
contraire. Nous ne nous occuperons donc que de la recherche des racûies positives.
^^ Lorsque x est positif, il faut que la tangente le soit également, pour que {x — tangx) devienne nul. Les arcs x sont donc terminés dans le 1«', le 3% le 5*... quadrant du cercle, et leurs valeurs sont comprises entre nu et (n -f |)ir; ir étant égal à la demi-circonférence du cercle ou à 180', et n étant un nombre quelconque, entier et positif.
3'' Dans chacun de ces quadrants, Tare â? va en augmentant depuis rr=nir jusqu'à ^=r(n-f-i)ir; la tangente augmente d*une manière continue depuis zéro jusqu'à l'infini; par conséquent, il y a dans chacun des quadrants indiqués une racine réelle, et il n'y en a qu'une seule ; et l'équation proposée admet une infinité de racines positives et négatives.
4* L'équation étant vérifiée par ^ = 0, la racine correspondante au premier quadrant est zéro ; pour toutes les autres valeurs de x^ comprises dans le premier quadrant, on sait que tangx>arca?.
5* Si l'on représente par (nw + «») Ja n"« racine («« étant
moindre que ~], il est facile de voir, que cet arc «» est d'autant
plus grand que n est plus grand.
Soit» en effet, n'ic + ^' ^ solution qui correspond à un nom- Ire n' supérieur an, on a :
tang {n-K + a») = tang cm = nie + o», tûng(**''^+ ««') =lang«,i'=5n'ir+ «w;
or, ri étant plus grand que n, la différence n'ir +«»• — nw — «» ou {ri — n)Tr4-a«' — «« est positive, puisque (n'— n)ir est au moins égal à ir ; donc (ri-K -f- a«') surpasse (niv + «») ; donc tang ««' est plus grand que tango»; et, par suite, ««* est plus grand que a», comme nous l'avions annoncé*
6* Si la valeur approchée de la racine est trop grande, l'arc est plus petit que la tangente ; si, au contrairCi la valeur appro^ chée de x est trop petite, l'arc est plus grand que la tangente,
Car, dans chaque quadrant, {x — tanga?) est positif ^ tant qne la valeur donnée à x est inférieure à la racine ; et devient négatlTe dès que cette valeur surpasse la racine.
880. Calcul de la premiers rachie. Ceci posé, déterminons la plus petite des racines, celle qui est terminée dans le troisième quadrant du cercle. On sait que tang 180* = 0i tang 225* = 1, et tang 270* = oo ; or, x étant plus grand que «, on a:
arc 225* > tang 225* , arc 27 0* < lang 2 70* ;
l'arc X est donc renfermé entre 225* et 270* .
Ctierchons maintenant les valeurs linéaires des arc compris entre 250* et 260*, et de leurs tangentes respectives (on trouvera ces valeurs, qui sont souvent fort utiles, dans une table, à la fin du volume) ; nous aurons :
arc 250* = 4,363, tang 250* = 2,747,
arc 252* = 4,398, tang 252* = 3,078,
arc 254* = 4,433, lang 254* = 3,487,
arc 256* = 4,468, tang 256* = 4,0 11,
arc 257* = 4,485, tang 257* = 4,331,
arc 258* = 4,503, tang 258* = 4,705,
On voit immédiatement que l'arc en question est compris entre 257* et 258*; ou que la valeur de x, exprimée en parties du rayon, est entre 4,485 et 4,503.
Nous admettrons donc, pour première valeur approchée :
Première approximation par la méthode de Newton. Nous avons l'équation :
F(a?) = a? — tanga?= 0 ;
sa première dérivée est, par suite:
F(a?)= 1 Ir- = — tangua?;
^ ' cos'o? °
et le terme de oorrection sera :
, F(a?)__rp — tanga?
^" F(a?)"" tanff^o? '
(a?) tang^
De plus, nous supposerons â? = 4,503.
Nous aurons alors : 2; = 4, 503
tango? = 4,705
et X — tang a? = — 0,202,
la valeur approchée de x sera donc :
Xi = 4,494.
DEUXiàifE APPROXIMATION. Posous Xi = 4,494, et calculous à sept décimales. Pour transformer Tare x en degrés, nous nous servirons de la table de réduction contenue dans les tables de Gallet, pages 214,215 et 216.
art =â: 4,494
donc
On en conclut :
log tang Xi = 0,653 7870,
et
tang aîi = 4,505 956.
Par suite»
tanga?i — a?i = 0,011 956
log [tang a?!— a?»] = 2,077 5859 log tang* Xi = i ,307 5740
log (—/h) = 4,770 0119 d 'où /»! =: -^ 0,000 58886 ;
ce qui donne une nouvelle Taleur approchée de x, 3-1 = 4,493 411.
Gomme U valeur de Xi était exacte aux millièmes, rerreui de St sera de l'ordre de ■^.
TROBiÈia APPROxiuATioit. Lc dernier calcul nous a donné, avec une approximation de ■» environ,
fri=taDgXi= 4,49341.
Pour obtenir une valeur de x encore plus rapprochée, an lien de prendre 01=4,49341, posons:
tang 3-1 = 4,49341;
ce qui iacilitera de beaucoup le calcul. Nous avons déjà trouvé (179):
arc COtang 4,49341 = 0,21897 94968 94113;
de plus, nous avons:
arc (ang x = 270' — arc colang x;
mais i7V=~= 4,71238 89803 84690
arc COtang 4,49341 = 0,21897 94968 84113;
; 2,=arctaDg 4,49341 ^ tangiré =
iX^ — Xt-
tang' X, =
— langa lang"»
uvé d-dessns :
DES DlFFÉRKNGES. 289
donc a^ =ai a?, -f /i, = 4, 493409 457909,
valeur eiacte à douze décimales; ce nombre, transformé en degrés et parties de degr^, devient:
Les tables de logarithmes de Ylacq, tables à dix décimales» donnent:
tang Oh = 4,4934 09458 ;
ce qui s*accorcle parfaitement avec le résultat obtenu.
