CHAPITRE PREMIER

DrCOMFOSITlOlV DES FRAGTIOIVS RATIO:VlVELLES.

282. But de ce chapitre. Lorsque les deux termes d*une fraction sont des polynômes entiers par rapport à une même lettre x^ on peut, eji effectuant leur division autant que possible, décomposer cette fraction en un polynôme entier par rapport à cette lettre, et en une autre fraction dont le numérateur soit de degré moindre que le dénominateur. Le but de ce chapitre est de montrer, comment cette fraction peut elle-même être décomposée en d'autres plus simples. Nous supposerons seulement qu'on ait résolu Téquation obtenue en égalant le dénominateur à zéro, et qu'on en connaisse toutes les racines. Nous supposerons, en outre, que les deux termes de la fraction n'ont aucun facteur commun.

S L Cas des racines inégales.

285. Forme de la fraction dans ce cas. Soit la fraction rationnelle

¥{xy

où f{x) désigne un polynôme en x^de degré moindre que F{x). Soient a, 6, c , ft, { les racines de Téquation

Nous supposerons d'abord qu'ellessoient toutes inégales. Nous

allons faire voir que , dans ce cas , on peut toujours maître la fraction [1] sous la forme :

A, B, G, . . • • y K, L désignant des constantes. Pour le démontrer, nous considérerons A»B, Gy....K, L, comme des eoefBdents indéterminés y dont nous déterminerons la valeur; puis nous vérifierons qu'ils rendent Téquation [2] identique.

L'équation [2^ si on multiplie ses deux membres par F(ff}, devient

Gomme Téquation [s] doit être identique, il faut qu'elle soit satisfaite pour les valeurs x=a^ ^=6, . . . . , â?=^. Si Ton fait, par exemple, x=^a, et si Pou remarque que, ¥{a) étant égal à xéro,. tous les termes du second membre disparaissent, exo^lé celui qui est divisé par {x — a}, on a :

en désignant par — ^ b valeur que prend le quotient -^|2i, quand on y fwt aî=a. Or on a :

¥{x)=¥[a+{x-a)] = ¥{a)-\^na){x-a)^^(x^ay