ix — a)* ; ^ •• ~ 1.2... .m

eu remarquant que F(a) = 0, on en conclut :

puis, en faisant «=a, tous les termes du second membre disi^ raissent, à l'exception du premier; en sorte que

[is]=r(.,.

et, par suite» l'équation [3] devient : d*oà Pqd eondut :

Celte Taleurde A n'es! pas nulle; car f{x)=0 n'admet pas la racine a. Elle n'est «pas infinie; car F(a?)r=? o n'a pas de racines égales.

On trouvera de même :

Poor déterminer les ?aleurs précédentes, nous avons commencé par admettre la possibilité du développement [2] et de l'équation [3], qui en est une conséquence. Il est donc nécessaire de démontrer que ces valeurs, qui évidemment sont les seules possibles, satisfont effectivement. Pour cela, remarquons qu'en les adoptant, l'équation [3] sera satisfaite pour les valeurs a, b, «.. k, l de x; or f{x) étant, par hypothèse, de degré moindre que F(x}, cette équation est de degré (m— 1) ; elle ne peut donc avoir m racines, sans être satisfaite identiquemeiit. Ainsi ces valeurs rendent identique TéquatioA [3] et, par suite, le développement [2].

284. Cas des racines imaginaires inégales. D'après ce qui précède, en désignant par f{x) un polynôme de degré moindre que F(a:} , et par a, 6, c ..»«•, i, / les m racines de F{x) = 0, on a identiquement :

m Z'C^)- M I /'W I 4,-IiIl—

^'■' ¥(x) "" r{a){x—a) ^ r{b){x—b) ^ ' " " ' ^ h'{l){x—iy

Cette formule suppose ^ulement que les racines a, fr, ...., k, / sont inégales. Elle s'applique au cas où quelques-unes d'entre elles seraient Inuginaires. Seulement, dans ce cas, il sera convenable de faire subir au second membre quelques réductions, destinées à en faire disparaître les quantités imaginaires qui y sont en é^idenoe.

300 APPËNDiCE.

Soient a+P ^~ > «""P V^*"^ » ^^^^ racines imaginaires; il est facile de voir que Ka+P V^—î) et /"(«— P\^^) ne diCTèrent que par le signe de v^^ ; en sorte que , l'une des deux expressiooe étant P+Q v'^, l'autre sera P— Q v'^. De même, F(«+pv^ et F(« — p^^) pourront être représentés par M-|-N/^el

M— N v^^^ ; en sorte que la somme des deux termes du second membre de [1] » qui correspondent aux racines considérées, est de la forme :

P+Ov/=T ^ P-O^^ï

(M+Nv/-l)(a?-«-Pv/-l) (M— Nv/=7)(x— «+?•—!)'

ou, en réduisant au même dénominateur, et supprimant les termes qui se détruisent :

a(PM + QN)(a?— «) + 2PKp — 2QMP (M« + N»)[(x~«)»+p«]

On voit donc que les deux fractions simples, qui correspondent à deux racines conjuguées, peuvent être réunies en une seule, dont le numérateur est du premier degré par rapport à x, et dont le dénondnateur est du second degré.

S II. Cas des racines égales.

288. Forme de la fraction dans ce cas. Si le dénominateur de la fraction

contient des racines égales , les formules précédentes ne sont plus applicables ; on peut néanmoins décomposer cette fraction en d'autres plus simples. Pour le montrer , nous établirons d*abord le théorème suivant.

Théorème. Si a désigne une racine multipk de Viquation F{x)^0,

a son degré de multiplicité^ la fraction rationnelle ~j^ pourra toujours être décomposée de la manière suivante :

ri-i f(^)^ A . f,{:c)

^ ^ V(x) {x—a^'^{x—a"-%(xy

A désignant une constante, fi (x) un polynôme entier et rationnel, Fi (x) le quotient de la division de P (\) par (x — a)*.

On a, en effet, idenliquement, quel que soît A :

ro-, f(^^J^± ^f^ , f(x) — kf,(x)

"■ ■• F (a?) {x—a)*h\{x)'^{x—a)*'^{X'^a)'h\{xy Si nous déterminons A par la condilion

[3] /•(«)-APi(a)=0,

le numérateur du second terme du second membre s'annulera pour x=a, et sera, par conséquent, divisible par (x — a); en posant donc :

il viendra : ^77-7=7 x^+z — ; \r. , A

ce qui démontre la proposition énoncée.

Remarque. Fi (x) étant'le quotient de la division de F(x) par la plus haute puissance de (a? — a) qui puisse le diviser, Fi(a) ne sera jamais nul ; et l'équation [3] fournira toujours pour A une valeur finie. On peut remarquer que cette valeur ne sera jamais

nulle : car la fraction ^^7^ étant réduite à sa plus simple ex-

pression, f{x) et F (a?) ne peuvent pas avoir de racine commune ; et, par suite, le numérateur f{a) de A ne peut être égal à zéro.

Après avoir mis la fraction —-r sous la forme

m A I AW

303 APPEKDIGE.

si Ton applique la même méthode ao second terme de l'expression [1]» on le mettra sous la forme

roi A, . ft(x)

Ai étant une constante qui, cette fois , peut être noile, et f^Çx) une fonction entière.

/ te) On pourra de même décomposer /^ALip /^.ePupesonnDe

de la forme

et, en continuant ainsi, on voit que la fraction proposée '^sr-i peut être mise sous la forme :

r4i r(a?) A . At I A>-> r.Çar),

A, A|, . . . A»^ étant des constantes finies et déterminées, dont la première n'est pas nulle.

On peut remarquer que le degré àef{x) étant supposé inCèrieur à celui de Fte)> celui de /'•(a;), est inférieur à celui de Ft{x) ; car, en multipliant la formule [4] par ¥{x)t on a identiquement:

t5] /(a?)=AFia?-l-Ai(4P— a) fi{x)+. . . -f A.-i(aî— a)-'F, (x)

or / (a?) est au plus du degré (m — 1) ; il doit donc en être de

môme de {x — a)%(x) : donc /*,(a?) est au plus du degré (m — a — l),

tandis que F| (a?) est du degré (m — a). De plus, il n'existe aucun

facteur commun entre f^{x) et Fi{j?); car ce facteur, divisant

fa{x) et Fi (a;), diviserait f(x)^ d'après [5], et serait ainsi commun

à /"(a?) et à F (x). Il résulte de là, que la fraction ^-^ se présente

ri\X)

dans les mêmes conditions que wr(*

Soient maintenant b une seconde racine de F (a?)^0, et p son degré de multiplicité ; en sorte que Ton ait :

on peut appliquer la méthode précédente à la fraction §^ ; et

xi{x)

Ton obtiendra une expression de la forme :

f.{x)^ B ■ Bi B^, U(x)

B, Bi,. .. By^ étant des constantes déterminées, dont la première tfest pas nulle, el /"p (a?) étant une fonction entière de degré moindre que celui de F» (ar), et qui n'a aucun facteur commun avec F, {x). D résulte de là qu'en général, si on suppose :

F(ic)=(«— a)*{x— 6)*..., (a?— c)T,

la fraction 'jj^ pourra être décomposée de la manière suivante :

f{x)^ A Ai , A,,i

¥{x) (a?— fl/"^(a? — a)«-» "^' * ' "^ x— o

* {x—c)r'^{x—c)f^'^''^ '^IT^C

A, Aiy... B, Bi,. •• G, Cl,... étant des constantes, parmi lesquelles A, By . « • G, ne sont pas nuls.

La méthode précédente, en prouvant la possibilité de cette décomposition, donne en même temps le moyen de Peffectuer.

1286. Là décomposition n'est possible que D*UNE SEULE HA«

NiiRE. Nous allons maintenant prouver, qu'une fraction rationnelle ne peut être mise que d'une seule manière» sous la forme indiquée dans le paragraphe précédente

Supposons, en effet, qae Ton ait trouvé deux développements d'une même fraction rationnelle :

et

ils sont égaux, quel que soit x. Multiplîons-les par (a?— a}*, et faisons ensuite x=a; le premier se réduit à A ; le second s'annulerait si aucun de ses dénominateurs ne contenait le factenr rt— a. II faut donc que les puissances de {x — a) forment les dénominateurs de quelques fractions. Soit, par exemple, a'=a;ic dis qu'alors on doit avoir a'=a, A'=A. Supposons en effet, s'il est possible, que l'un des deux exposants, « par exemple, soit plus grand que l'autre; tirons de l'équation qui exprime l'égalité

des deux développements, la valeur de , ^ .^ et réduisons

tous les autres termes au même dénominateur ; on aura un résultat de la forme :

A f^(x) (a?— a)" (x-^à)^^^ xy

ou A=(aj-«)H,

f et 4^ désignant des polynômes dont le second n'est pas divisible par (x^a). D'ailleurs A est une constante; il faut donc qu'elle soit nulle; car l'équation précédente donne A=0 pour x=a. Donc c/=a'.

Je dis maintenant que A=A' ; en effet, en égalant les dévelop-

pements, et en faisant passer le t^wie , .^ dans le premier

membre, on pourra rccon^ raisonnement précédent,

et prouver que (A— A'' zéro.

Les termes qui rr Hes puissances {x — a)

dans les deux d^ ^tre eux, on pourra

les supprimer u seront égaux. Il

faudra, par conséqueiit, . ...o qui, aans ces restes, con-

tiennent les plus hautes puissances de{x — a), soient aussi égaux entre eux; et» en continuant ainsi, on prouvera que les fractions simples qui composent les deux développements, et, par suite, enfin, les parties entières E(x),E'{x)y sont égales chacune à chacune.

287. MÉTHODE POUR LE CALCUL DES COEFFICIENTS. Pour effectuer la décomposition d'une fraction rationnelle, on peut employer un procédé beaucoup plus simple que celui qui résulte de la méthode indiquée plus haut (285).

f(x) ' Soient |M la fraction proposée, et (a?— a)* un facteur multiple de son dénominateur ; en sorte que Ton a :

f(x) f{x) F(a?) {x—aY^,{x)"

Pour trouver, par une seule opération, les fractions simples

qui ont pour dénominateurs les diverses puissances de {x—a)^

on posera :

Ordonnant ensuite les deux polynômes f{a-\-h) et P| (a+hi suivant les puissances croissantes de /», on aura :

/(g-f /i) A+Ai/i+A,/t«+... +'Am/t'*

Si l'on effectue actuellement la division du numérateur par le premier facteur du dénominateur, en ordonnant le quotient suivant les puissances croissantes de h, on obtiendra des restes successifs dont les degrés croîtront sans cesse. Le premier terme de Tun des restes Gnira donc par être de degré égal ou supérieur à n. On arrêtera alors l'opération : le quotient sera de degré (n — 1); et l'on aura:

Al6. sp. B. 80

OU, en divisant les deux membres par h'^f remarquant que tous las termes de f (/i) contiemient h à une puissance au moins égale àfk et posant:

il Tient :

Si Ton remplace A par la valeur (o^^ti), le premier membre de cette équation devient^ précisément, la fraction proposée ; le second se compose de la somme des fractions simples

qui ont pour dénominateurs les puissances (âp — a), et d'une fraction rationnelle dont le dénominateur ne contient plus de facteur (x — a). On traitera cette fraction de la même manière que la proposée, pour en déduire les fractions simples relatives aux autres racines, et qui complètent le développement.

888. Cas des racinss imaginâikes égales. La méthode que nous venons d'exposer ne suppose nullement que les racines multiples de Téquation proposée soient réelles. On doit remarquer seulement que, si elles étaient imaginaires, on pourrait, dans le résultat, grouper les termes deux par deux, de manière à faire disparaître les imaginaires ; mais il sera plus simple d*adopter, dans ce cas, une forme de développement, dont la possibilité résulte du théorème suivant.

TH]£oRi:ii£. Si k dénominateur àCune fraction rationnelle tv=(

admet n fois une racine imaginaire («+p v^ — l) «< sa conjuguée («— Pv/~T), en sorte que Von ait :

ou pourra toujours poser

m /"C^)^, P^ + Q t r.(ar)

PetQ étant des constantes^ et U (x) un polynôme réel.

Qa a, en cflet, identiquement, quels que soient P et Q:

r9i /(^) m P3?+Q , /T^)-(Br+Q?yi(a?)

^ ^F{xr[(x-«]«+p*]-*\(a;)-[(a;-«)M-P'J* ' [{x-a)^WYU^y

Or, on peut, évidemment, déterminer P et Q, de manière que le numérateur de la deuxième partie du second membre s'annule pour les hypothèses :

a? = a + Pv^ — 1, a? = a — py^ — L,

et soit, par conséquent, divisible par {x — «)* -f-pP, Si l'on suppose, en effet,

F4 (aitp v/^) =M'd:NV— 1»

la condition demandée équivaudra à

(M±Nv^:^-[P(a±Pv'^^) + Û](M'=tN'|/=T) = o:

ef, en égalant séparément à zéro le coeffîcient de ^— 1 et l'ensemble des termes réels, on obtiendra denx équations qui fourniront, pour P et Q, des valeurs réelles.

Le numérateur /"(oî) — (Pjp + û)Pi(a?) étant divisible par {x — «)* -|- p*, on peut le représenter par Ra?— «)*-|-p'J/i (a;), el l'équation £2] devient alors :

rai r(a?) Pa^+Q , /i(^)

^^ F(i;)-l(a?-«)«+p«]*"^[(rr-a)»-hPr*F,(a;)-

9 l'on applique le même procédé de décomposition & la fractioDiT- M iflti.«^p /^\> Où la mettra sous laiorme

\{x — ^r+vr^Vi{xy

[x-^.f +p^j-* "^ [(a? -«)*+ p«r-»f I {xy

ri

kl

^-xT

€t, en continuant de la même manière, on verra que la fraction ^^peut se décomposer de la manière suivante : f(x) Vx+Q . Pta? + Qi I

/;-4(a?) étant de degré moindre que Fi (a?), et n'ayant aucun lacteur commun avec lui.

En rapprochant ce résultat de celui qui a été obtenu (28ô), on

obtient le théorème suivant :

289. THÉORiME. Si ton dèconvpost le polynorM ¥(x) en fadeurs réels du premier et du second degré ^ en sorte que Von ait :

V{x) = {x—a)^{x^b)^....{x^+px + qT....(a^+rx+sT,

on pourra décomposer la fraction rationnelle -^^ de la manière suivante :

B . B, . . Bj^t

+ 7Zr^^, + FZ^^^Â^i+-- +

(a; 6)P "^ (a? - fr)P-» ^•'•'^ (a? — 6)

Pa? + Q I Pia? + Qi , , Pn-£+02-i '^{iX!'+px + qr'^[x'+px+q)^''^'''''^{fc^+px+q)

, Ra?+S , ,B«-t£+S«-t

-r(a;a + ra? + 0~"^'*'""*" x'+rx+s'

E (x) désignant une panie entière qui peut être nulle, et A, At.... AiHH, B, B|.... B^, P, Q, des constantes réelles.

Le procédé, qui nous a servi à prouver la possibilité de la décomposition donne aussi le moyen de TeBectuer: et Ton pourra rappliquer, pour former les termes qui correspondent aux facteiu:s du second degré : «■+i>a?4- 9i «*+»'^ +*••••

On pourrait démontrer, comme nous 1 avons fait (286), que la décomposition en fractions de la forme indiquée précédera-

ment n'est jamais possible que d*une seule manière et déduire de là un moyen de trouver^ par la méthode des coefficientsindéterminés, les fractions qui répondent à une racine donnée. Mais nous supprimons ces détails, qui ne présentent ni difficulté *û intérêt.

wèsomL

282. But de ce chapitre. — 283. Cas où le dénominateur de la fraction à décomposer n'a pas de racines égales. — 284. Transformation du résultat dans le cas où il y a des racines imaginaires. — 285. Cas des racines égales. — 286. La décomposition sous la forme précédente n'est possible que d'une seule manière. — 287. Méthode pour calculer les coefficients. — > 288. Cas des racines imaginaires égales. — 289. Théorème général qui résulte de la théorie exposée dans ce chapitre.

EXERCICES

I. Si 9 («)=0 est une équation de degré n, et a, b, x..,, k, l ses racines, on a, pour toute valeur àep plus petite que (n— 1) :

On s^appuie sur la décomposition, en fractions simples^ de la Ihiction -7-:.

«»+lla; + 30 x+6 b

y^' o'— ap»~3a;a— ») "*"3a(»»4- ax +a')'

vu.

310 APPENMGS.

TT 24-3x 14 3

- l+g-f^+3a^l n-f-lte . 1 S+15g

*• il— «+5*V ""25 • (l— s-h6«')»'^26 " 1—45+5*»'

XL 1 1 ( V^+g I V^-s )

jjj^ 70— 114x+143a;» + 107g» + 46JP*+8ag

""î-f»^(i+!ir^îr+45*^i+«