Cas où m est Fractionnaire. Supposons d'abord que m
y soit remplacé par—, m' étant entier, il s'agit de montrer que
Ton a :
[2] [p(cos<p-Fv/— isin?)] =p*'(^cosj£;+v^— lsin^,j.
Pour vérifier cette égalité, élevons les deux membres à la puissance m' : le premier donnera, évidemment, pour résultat,
p ^cos + 7 v^— î sin f); et la règle, donnée pour les puissances entières, montre qu'il en est de même du second.
Remarque. Cos 9 et sin <p étant donnés, cos -^ et sin ^, ne
sont pas complètement déterminés; ils restent susceptibles
de plusieurs valeurs distinctes. Il en résulte aussi des valeurs
distinctes pour l'expression
[ P (cos ç + v^^ sin ç)l" >
ce qui est conforme aux principes indiqués dans la théorie des
équations.
Si nous considérons maintenant le cas, où l'exposant m est
tn remplacé par une fraction —, il faut prouver que :
[3] [p(cos9+v^=^sin<p)r=p"^cosî^ + ^^sin^j.
En effet, élever une expression à la puissance —, c'est, pardé^
finition, en prendre la r&i^ine n"**, puis élever le résultat à la puissance m~*. Or, les fomules [l] et [2] permettent de faire
successiyement ces deux opérations ; et Ton est ainsi conduit i
la formule [3].
508. Cas ot m est négatif. Supposons enfin que m ait une valeur négative — m' ; il faut prouver que Ton a :
[p(cos9 + /^ sîn9)l-*''=p-*' [cos (— fn'9)-f v/^ sin(— m'f}]. Pour cela, remarquons que, par définition :
* [pCcosç+v'^sinç)]— ' =
or
[pCcosç-hv/— isin^jp 1 1
[p (cosf 4-V^--ï sin ç)]*' p*'(cosm' f -f v^^^ siBm'f} puisque m' est positif (300) ; mais on a :
1 cosO + i/ — isînO
P*' (cosm '«p-f V^ sin m'^)] p** (cosm'ç -j- ^ — 1 sinm' 9)
= p-^' [cos (— m V) + v^— 1 sin (— m'ç)] : ce qu'il fisdlait démontrer.
S m. Applications.
Nous indiquerons quelques applications des formules précédentes.
303. Théorème. Toni trinôme de la forme x^+px*+ 4 ^<^ eomposable en deux facteurs réels du second degré.
Posons a?=^z. Nons distinguerons deux cas :
1* Supposons que Féquation du second degré»
ait deux racines réelles a et p; on aura : ety par suite :
RËSOLUTION DE QDELQDBS QUESTIONS lU S* Supposons que Téqualion du second degt
dt deni racines Imaginaires, s-f^v'^, a—
x*+px-\-q=(z-»-pi/^)(z~«-
et, par suite :
[1] ir' + pa;' + 5=(fl;»»-flv/=i)(a:'ce qui peut s'écrire :
Fois, en posant :
a + p v'— ï = ? (cos y + v'~ sii et — p^^= p{c0Sip— v/^sil
et, par suite (S92},
vChT^^ v/p (cos I + v^ s
il vient:
= U— l/p (cos|4-v/^ sin?)][^a:+V^(cos
X l^a;— v7(cos|— yCn sin|)] [œ+vf (ces
OQ, en réunissant le premier et le troisième Tac el le quatrième, qui, évidemment, sout conjug
320 APPENDIGfi.
et le trinôme est ainsi décomposé en deux facteurs réels du second degré.
S04 Problèbie. Exprimer cos mop et sin m^ en fonction de cos fetde sin ^ •
On a:
(cos ç + v/ — 1 sin «p)« = cos w?ç+ ^HT sin nu^
en développant le premier membre par la formule du bînoroe, et en égalant le résultat au second membre, c'est-à-dire, en écrivant que les parties réelles sont égales, ainsi que les parties imaginaires, on a :
cos mç = cos«(p — ^(^^~^) cos*-«9 siii'ip
+ TOT^ ^cos-*çsin»ç+...,
sîntn<p=mcos— *9Sin9— ^^—^K^n^^) cos*+»<psin»(p+....
SOiS. Problème. Évaluer x"-)- -. en fonction dex+'. Posons : a; = cos y + v^^^sin f ;
et, par suite : - = cos ç — y/^ sin 9;
on en tiie, d*une part :
a?+" = 2cos*;
et, de Fautre :
rp" = cos mf -f- ^ — 1 sin mo,
a; d'où Ton conclut :
,-pi = cos m^» — 1^- 1 sm wi?;
a?"+^ = 2cosm^
RËSOLUTION DE QU£LQU£S QUESTIONS IMPORTANTES. 321
Ainsi, la formuley qui donne cos mç en fonction de cos 9, pcr^
mettra de calculer — - — en fonction de a? 4--.
Remarque. Pour obtenir la formule demandée, nous avons supposé à X une valeur imaginaire
a? = C0S94"V^*"isin9;
le résultat est-il suffisamment établi pour une valeur réelle quelconque de a?? Pour démontrer que la formule est générale, il faut remarquer que, si l'on chasse les dénominateurs, elle est de degré 2m; et Ton sait, par la théorie des équations, qu'elle doit alors être identique, si elle a lieu pour plus de 2m valeurs réelles ou imaginaires de la variable.
RÉSUMÉ
290. On rappelle que les expressions imaginaires se sont introduites dans un but de généralisation, dont l'importance devient plus grande encore dans la suite de Talgèbre. — 291. Une expression imaginaire, n'étant la mesure d'aucune grandeur, n'est pas un nombre • mais, à Taide de conventions convenables, elle peut figurer utilement dans les calculs. — 292. On a l'habitude de donner aux expressions > imaginaires la forme (a-f-5v/^). — 293. Toute expression imaginaire est racine d'une équation du second degré ; Tautre racine se nomme expression conjuguée. — 294. Puissances successives de
^— 1. — 295. Un produit de facteurs imaginaires ne change pas, quand on Intervertit les facteurs. — 206. Application du théorème précédent à la démonstration d'une formule d'algèbre entre nombres réels. — 297. Expression trigonométrique des expressions imaginaires; définition du module et de l'argument. — 298. Produit de deux expressions imaginaires. — 299. Quotient de deux expressions imaginaires. — 300. Puissances entières d'une expression imaginaire. — SOI , 302. Extension du résultat obtenu au cas d'un exposant traclionnaire ou négatif. —303, 304, 305. Application des formules précédentes à quelques résultats où ne figurent plus que des quan* tités réelles.
Alg. sp. B. 21
3^ APPËRDiCfi*
EXEnCiCES.
I. Démontrer, sans avoir recours à des expressieas trîgonométriques, que
On.troavQ :
«8t la forme p + 9^^ •
On applique une métbode analogue à celle qui est exposée (I^ ZIT}* II. Trouver les racines réelles ou imaginaires de Téquation
m. Il désignant un.nSDmbre impair premier avec 3, &(+y}" — s*— |* s'annula pour » =if ( ^^^^—ii^^j -
On applique la formule de Moivre (300).
