MuLTiPUCATiON. On miUtiplie une fraction par une autre

en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre

eux, puis en divisant le premier produit par le second.

En efTet, soit à multiplier la fraction r par la fraction r?. Dési-

gnons par g et g' les valeurs de ces deux fractions, de sorte qu*on a, par définition :

Holliplions ces égalités membre à membre ; nous aurons :

aa'=6g.6V, ou (20) ad — Wq(i.

Divisons maintenant les deux membres par hV^ nous aurons :

ad . ad a ^a'

^ = qçf, OU W=F^y'

ce qui démontre la règle énoncée.

Il résulte de cette règle que le produit de plusieurs fractions est une fraction égale au produit des numérateurs divisé par le produit des dénominateurs.

60 LIYIΠ1.

. a a' a" aa'a\...^

Ainsi 'b^J'^T'""'^ bbb"..J

et par suite Uj =^.

88. DIVISION. On divise une fraction par une autre, en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

Soil, ea effet, à diviser^ par p. Posons encore,

a=bq, a'=^b'q'f et divisons ces égalités membre à membre; nous aurons :

a^bq o' — b'q''

Multiplions les deux membres par r-, nous aurons (87) :

aV bqV

ou simplifiant le second membre (83),

aV q

c est-à-dire r X -r = x = tîî

ce qui démontre la règle.

S III. Des exposants négatifs.

89. Définition. On a vu (84), que le quotient de la division de a" par a" est a"""" : mais la démonstration suppose que l'on a m >> n. Si l'on a, au contraire, nK^n, le quotient doit s'écrire

sous forme de fraction, — . Ou peut alors supprimer m facteurs a

communs aux deux termes, et la fraction prend la forme -7:;;.

D'un autre côté, si l'on appliquait la règle des exposants au cas où l'exposant du diviseur surpasse l'exposant du dividende on écrirait :

DU CALCUL ALG£DIilQUE. 61

Par suite, on conservera à cette règle toute sa généralité, si Von eonfoierU que Veoepression a"* représente la fraction — .

Noos admettrons, comme définition, qu'une lettre affectée d'un exposant négatif exprime une fraction^ qui a pour numérateur Tuttàé, e( pour dénominateur la mime lettre affectée du mime exposani pris positivement. Et nous allons voir que cetle notation permet de généraliser quelques théorèmes.

Et d*abord, la formule

ayant lien, par définition, quand m est positif, est vraie, par cela même, pour des valeurs négatives de m. En eflet, si l'on suppose m= — m', — m deviendra égal à m'; et les deux membres de la formule [ 1 ] deviendront a*' et — ^j. Or , par défini-

lioD,ûr^=-5P, puisque m' est positif : donc -i^ est le quotient

de 1 par -^ ou a*' (88). Les deux membres sont donc égaux.