GÉNÉRALISATION DE LA RÈGLE DES EXPOSANTS POUR LES

PUISSANCES. On a démontré (29), pour les valeurs positives de m et de n, la formule

Cette formule est encore vraie, si l'un des nombres nkou n, ou tous les deux, sont négatifs. .

Supposons d'abord m.positif, et n négatif et égal àr— n'; nous aurons :

(a")"=(a-)-'==^ = jL=cr-^= ^

Supposons ensuite' m = — m\ et n positif; nous aurons :

Suppospns enfin m=— f)i',n=— n', à la fois; nous aurons : («-).= («r.')-'= (i,)-"=^.=^ =a-= «-.

La règle est donc générale.

S IV. Théorèmes et applications.

S3« TfléoRàssE» Si plusieurs fractions -r-» -p» -p..» • s(ml égales

entre eUes, on obtient une fraction égale h chacune dTelles^ en dmsqtU la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs. £q effet, désignons par une lettre q la yaleur commune de toutes ces fractions ; on aura, par définition,

a = ôg, a' = Vq, cl'=Vq...\

d'où, en ajoutant ces égalités membre à membre, et mettant q en facteur dans le second membre,

a+cl+(f-^....={b+V+V^....)q

Par suite, en di^sant les deux membres par (fr+6'+6*+...0r il Tient :

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaires. l^'On peut, avant de faire l'addition, multiplier les deux termes de chaque fraction par un même nombre quelconque. Ainsi *

a dk a'£2^ d' ^cTk' b~W V^b'W* F' — 6V''

Goomie les fractions n'ont pas changé de valeur, on en conclut :

ak+a'\'+af\''+.... a'>^ __a ^^n

2« Si l'on élève chaque fraction au carré, on a, en les suppo* saut positives,

(f a'^^ a^+al^+a''^+. ... ^

d'où, en extrayant les racines carrées des divers membres, a a!^ )Ja^+a'^+d'^+.... .,

l-Vv ^b'^b'^+v^'+.... ^^

Ainsi, si plusieurs fractions sont égales^ chacune dC elles est égale màquotieru de la racine carrée de la somme des carrés des numé'

rcteurSy divisée par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs. «

94. Théorème. Si plusieurs fractions^ à termes positifs^ sont inégales^ la fraction formée, en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, est comprise entre la plus grande et la plus petite d'entre elles. Soient, par exemple,

Si Ton pose t = Ç> d*où a^bq,

on en conclut : a'>Vq^ a*'>6"^, a*>b''q\

d'où, en ajoutant, membre à membre :

a+d+a'+a*^ et,parsmte, __^>^,

a' Si Ton pose ts = ^, d*où a" = b'q,

on aura: a"<Cb% a'<Vq, a<:j>q\

puis, ajoutant membre à membre, on aura :

a+a'+a^+a''<(6+ô'+6''+ft-)j,

d'oùl'ontire: f+^j+^^+^V.

ou a+a'+a"+a' a\

bJ^V + V'+b'^b"'

ce qu'il fallait démontrer.

On démontrera aisément des corollaires analogues à ceux du théorème (05).

EXERCICES