CHAPITRE V

DES RADICAUX ALGËDRIQUE9,

08. DÉFINITIONS. On a vu (29) que, pour élever un monôme entier à la puissance m"", il faut élever son coefficient à la puissance m"", et multiplier par m tous les exposants. Par suite, si le coefficient d'un monôme est une puissance m"* parfaite, et si ses exposants sont tous multiples de m, on extrait la racine m"** de ce monôme^ en extrayant la racine m">* du coefficient^ et en divisant par m tous les exposants. Ainsi

Le plus souvent il n'existe pas de monôme rationnel dont la puissance m"^ soit égale à un monôme donné ; alors on ne peut qu'indiquer la racine mr* à l'aide d'un signe. On désigne par\/K le nombre dont la puissance m"^ est égale à A. Ce nombre se nomme radical^ et m est Yindice du radical. On donne aussi le nom de radical au signe seul 7 *

Lorsque A est un polynôme, il n'arrive presque jamais, que sa racine m"" puisse s'exprimer par un autre polynôme; d'ailleurs les règles qui conduisent à sa valeur, quand elle existe sous cette forme, ne se démontrent que dans la seconde partie de l'algèbre. Nous l'indiquerons, dans tous les cas, par le signe v^Â*

96. Des différentes valeurs de ^A. Si l'on se borne à coU"sidérer les nombres positifs, ^A a, d'après notre définition, une valeur unique et déterminée. Mais les conventions faites en algèbre nous obligent, dès à présent, à lui donner un sens plus étendu. Il peut arriver quatre cas.

1* Si A est positif, et que m soit pair, la racine rrr* de A a deux valeurs égales et de signes contraires. En effè), si l'on élève à

la puissance m"* le nombre ^Â^ quel que soit le signe qui le précëjde, on obtient toujours A, puisque le produit d*un nombre pair de facteurs négatifs est positif (40). Par exemple,

yT représente, d'après nos conventions, — 2 et + 2; car ces deux nombres ont tous deux pour carré le nombre 4.

2* Si A est positif et m impair, il n'y a pas lieu, pour U moment^ d'attribuer & ^k une signification plus générale qu'en arithmétique. Ainsi v^8 = 2.

3* Si A est négatif et m pair , \flî ne représente aucun nombre positif ou négatif; car les puissances paires d*un nombre positif ou négatif sont toujours positives (40).

4» Si A est négatif et m impair, posons A= — A'; alors

7 A =V — A'= — v^A'; carm étant impair, la puissance m"^de

— ^A! sera — A' ou A (40). Ainsi v^ — 8 = — ^"5= — 2 ; car le cube de — î est — 8.

Ces généralisations sont, en algèbre, d*une grande importance ; elles recevront plus tard de grands développements; mais il xeu sera plus question dans ce chapitre. ïfous considérerons setUement les racines positives des nombres positifs.

g 1. TransfonnatioD des radicaux.

97. Principb I. Lorsqu'un radical est multiplié par un facteur ^ ■n peut faire passer ce facteur sous le radical^ pourvu qu'on Félève à une puissance marquée par Findice. Ainsi •

ay^T=7û*^ [1]

Pour le prouver, il suffit de remarquer, qu'en élevant a y F et

v^ o^à la puissance m"*, on obtient des résultats égaux. En effet, la puissance m*"' d*un produit étant le produit des puissances m"*' des facteurs, on a, pour la première expression :

D'ailleurs on a, pour la seconde, d'après la définition même.

68 LIVKE I.

La même formule [1] démontre, qu'on peut faire sortir un facteur placé sous le radical^ pourvu qu'on en extraie une racine marquée par Findice.

98. Principe IL On n'dtère pas la valeur d*un radical, en mul^ tipliant Findice et Vexposant de ce radical par un mime nombre» Ainsi

^IF^'^â^. [2]

Pour le prouver^ il suffit de remarquer, qu'en élevant yHr et

"^ô^ à la puissance tnp% on obtient des résultats égaux.* Et en effet, la seconde expression, élevée à la puissance mp**, donne, par définition, a"''. Quant à la première, comme la puissance mp"^ d'une expression est la puissance p** de la puissance m"* de cette quantité (28), on a :

Les deux résultats sont donc bien égaux.

La môme formule [2] démontre, qu'on peut diviser Vindice et Vexposant (Tun radical par un mime nombre, sans altérer sa

valeur.

99. Simplification d'un radical. Lorsque le radical porte sur une quantité élevée à une certaine puissance, on peut souvent lui faire subir une simplification.

1* Si l'indice de la racine est égal au degré de la puissance, les deux opérations se détruisent. On a , en effet (9iS) :

2<> S'il existe un facteur commun à Vindice de la racine et à r exposant de la puissance, on peut le supprimer. On a, en effet (98) :

3» S'il se trouve sous le radical un facteur dont Vexposant soit multiple de Vindice de la racine^ on peut le faire sortir du radical, en divisant cet exposatit par Vindice. On a (97) :

yaF^= a' V^.

100. Réduction des radicaux au m£me indice. Soient deux radicaux ^ô^ ^W; on peut multiplier l'indice et l'exposant du

ptemier par n, indice du second; puis multiplier Tindice et Fexposant du second par m, indice du premier (08) ; on obtient

ainsi : "^0^ et "v^ 6«*. Ces radicaux ont le même indice ; car cet indice est le produit des deux indices.

On réduit donc deux radicaux au mime indice^ en multiplianl l'indice et Vexposant de chacun d'eux par rindiee de Vautre.

On réduit de même plusieurs radicaux au même indice, en multir' pliant l'indice et Vexposant de chacun d*eux 'par le produit effectué des indices de tous les autres. Ainsi les radicaux

V^7 yà'^j \l'ch \fd^y deviennent, par cette transformation,

■"J/^^, ■"J'6w5, ""'v^cî^, '^d^*.

Ces r^les ont beaucoup d'e^alogie avec celles à Taide desquelles on réduit les fractions au même dénominateur. On peut même pousser Tanalogie plus loin, et donner aux radicaux un indice commun égal au plus petit multiple commun de leurs indices. En effet, soit \l le plus petit multiple commun aux indices, m, ^) P} 9 » de sorte que l'on ait :

en multipliant l'indice et l'exposant du premier radical par m\ et ceux des autres par rij p\ q\ respectivement, les radicaux deviennent,

"V^, "V^P^', "v'cS^, 73^^'*

UQ VÔ^» V^» VcS', yW\

s II. Opérations sur les radicaux.

iOI. Multiplication. Lorsque les radicaux ont le même indice^ pour faire leur produit, on multiplie les quantités placées sous les signes, et Von affecte le produit du signe commun. Ainsi :

V^xV^Xy^X 5^5=70^. [3]

Pour le prouver, il sufflt de remarquer, qu'en élevant les deux membres à la puissance m"*, on obtient des résultats égaux. Car le second devient abcd, par définition ; et comme la puissance m**

d'un produit est le produit des puissances m*^ des facteurs (20), lo premier membre devient :

(7â X^bX 'sic X "y/dT = Cy/âT (7^)" (7^)* (v^d)* = a bcd.

Si les radicaux rCont pas le même indice, on les ramène à un indice commun (100), et on applique la règle précédente. Ainsi :

Si les radicaux ont déi coefficients numériques ou littéraux, on en fait le produit. Ainsi :

102. Division. Lorsque les radicaux ont le même indice, pour diviser le premier par le second, on divise les qu/intités placées sous les signes, et Von affecte le quotient du signe commun. Ainsi :

Pour le prouver, il.suffit de renmrquer, qu'en élevant les deux membres à la puissance m"% on obtient des résultats égaux. Et,

en eiîety le second devient, par définition, p Quant au premier^

comme la puissance m"^ d'une fraction est le quotient des puissances fn"^' de ses deux termes (87), il devient :

'VaV^Ç^'aT a

Si les radicaux ont des indices différents, on les ramène au même indice, et l'on applique la règle précédente. Ainsi :

l'coefficients, on en j

Si les radicaux ont des'coefficients, on en fait le,quotient. Ainsi :

kky

t05. Puissances d'un radical. Pour élever un radical à une puissancei, on élève à celte puissance la quantité placée sous le radical. Ainsi :

DU CALCUL ALGfiBRIQUE. 71

Pour le prouver, il suffît de remarquer, qu*en élevant les deux membres à la puissaoce m**, on obtient des résultats é<raai. Et, en effet, le second devient, par la définition, a''. Quant au premier, comme la puissance m*~ de la puissance p** d'une quantité est égale à la puissance prrtr* ou à la puissance OT|)* de cette qaantité, et réciproquement, on a :

Après l'opération, on simplifie le radical, s'il y a lieu (99). Si k radic€U a un coefficient , on rélève à la mime puissance. Ainsi :

104. Raones d'un RADICAL. Pour extraire une racine (f un raàiealj on multiplie Findice du radiccU par rindice de la racine^ et Ton sin^lifie ensuite le résultat, s'il y a lieu. Ainsi :

Pour le prouver, il suffit de remarquer qu'en élevant les deux membres à la puissance mp"', on. obtient des résultats égaux. Et, en effet, le second devient alors, par la définition, a*. Quant au premier, comme la puissance mp*** d'une quantité est égale à la puissance tn"* de la puissance p*^ de cette quantité , on a :

§ III. Des exposants fractionnaires.

105. DÉFINITION. On a VU (08) que, pour extraire la racine p** d'une quantité a^ dont Texposant est multiple de llndice, il

suffît de diviser Texposant par l'indice. Ainsi |/a"*' = a*". Mais, si la divisioa n'est pas possible, la règle ne s'applique plus, et la

racine p** de tf* s'écrit alors J^ô". Si, toutefois, on appliquait

encore la règle précédente à ce cas, on devrait écrire a?. On conservera donc à cette règle toute sa généralité, si l'on convient

de représenter le radical C'a* par le symbole a'- . Nous admettrons, comme définition, qu'une lettre a, affectée

d>un exposant fractionnaire ^ , représente un radical qui a pour

exposant h numérateur m, et pour indice le dénominateur p. Et nous allons voir que cette notation nous permettra d'énoncer plus simplement les résultats précédents. Mais» avant d'en montrer les avantages, nous ferons remar^

quer qu'elle n'implique pas contradiction ; et que l'expression a'

m conserve la même valeur, si on y remplace l'exposant — par une

fraction égale -7 • En d'autres termes, si l'on a — = -7» ° p ' P P

on aura aussi a^= a>^,

c'est-à-dire, en vertu de nos conventions,

Or cette dernière égalité est évidente : car si l'on réduit ces deux radicaux au môme indice, ils deviennent v ^"'' et ya"^' ; et l'on

voit qu'ils ont alors le même exposant, puisque l'égalité — = --;

entraîne l'égalité mp' = m'p.

i06. Généralisation de la règle des exposants pour la MULTiPUCATioN. On a démontré (28), pour les exposants entiers et positifs, la formule

a*"Xa''=a^'*'\ [1]

Cette formule est encore vraie, si l'un des exposants m ou n, ou U>us les deux, sont fractionnaires.

Supposons d'abord m fractionnaire et égal à -, n restant entier ; nous aurons, d'après la définition et le principe I (97) ;

or, si l'on applique notre convention à cette dernière expression, elle devient, a < ou a^ ;

donc a''xa''=:a'^ •

Si maintenant les deux facteurs ont des exposants traction*

1res, m = -, n=-, q t

naires, »w=^» n=-:, on aura:

or ee dernier radical peut s'écrire, d'après nos conventions»

a «* ou o«**; donc a^'X.a^^a'' \