Demême: g?3 -^ ^ (v^« 4- v
4» De même encore :
^ ^^' ^ — ^g ■ / » ^° multiplie les deux termes par
En effet, si, pour toutes les valeurs positives, entières ou fractionnaires de m, on a toujours la formule
les raisonnements qm nous ont servi, dans le chapitre précédent (89 à 92), à étendre les formules aux cas où les exposants sont entiers et négatifs, s'appliquent, sans modifications, aux cas où ces exposants sont fractionnaires et négatifs.
Remarquons que la formule [2] (107) n*est vraie, quand on a nKinj qu'autant qu'on adopte la nouvelle convention que nous venons de faire.
Une seule généralisation reste à faire, dans le cas de l'extraction des racines. On a (109), pour toutes les valeurs positives de m et de n, entières ou fractionnaires, la formule
Cette formule est encore vraie, quand m oun, ou tous les deux, sont négatifs.
Supposons d'abord n négatif et égal à-^n', m positif» on a :
or» d'après nos conventions, cette dernière expression s'écrit :
a •", ou a-*'".*;
donc Vû"=a"*'-'"=:a*.
Supposons ensuite m négatif et égal à ^m', n restant positif ; "^â* ^st une quantité a?, dont la puissance (—m') est égale a a\ Ainsi
(r^=a% ou ^=a% ou af^=ji==a-, et, par suite, a?=v/'F*=â«'=c"--*'=a^.
Supposons enfin m = — m\n^^ — n' ; ^cr^ est la quantité x qui, tievëe à la puissance (—m'), reproduit ir"'. Ainsi, l'on a :
ar^ zrza"'^^ ou ^;;;;> = -;^; d'où af''==a»'.
On tire de là : x=^âP=z a*^ = ar^^cF.
En résumé, toutes nos formules pour la multiplication, la division, Félévation aux puissances et Textraction des racines, sont générales : elles s'étendent à toutes les valeurs positives ou négatives, entières ou fractionnaires, des exposants et des indices.
$ lY. Application^
iil. Rendre rationnel le nâfOMiNATEUR dune fraction. Lorsque le dénominateur d'une fraction contient un ou plusieurs radicaux, il est souvent utile, principalement au point de vue des approximations numériques, de le débarrasser de ces radicaux, de le rendre rationnel. Nous en donnerons quelques exemples.
1* Soit -7= : on multiplie les deux termes par v^ , et l'on a : Va
m tn^a
2* Soit -= ;= ; on multiplie les deux termes par ^a— v^;
le dénominateur devient la différence de deux carrés, et l'on a :
^a+)/b~ Wiy— {y/bf "" a — à
^ -. . m m(}/a + Jb)
3«Dememe: -= ;== ^ / ■*
y/a-^yjb a—à
4* De même encore :
adz/b a* — *
tn 5» Soit -;= = ;= ; on multiplie les deux termes par
va — v6-f-vc
78 LIVBE I.
y^â — \/F — v/ê ; alors , en considérant v/o — ^ comme nne seule quantité , on voit que le dénominateur est encore le produit d'une somme par une différence ; et l'on a :
m m(v/â — v/5 — y/c) __m(v/a— \/fe— \/c) ,
et le dénominateur ne contenant plus qu'un seul radical, on est ramené au quatrième cas.
Ml
60 gQît ^ s ; on considère le dénominateur
comme composé de deux termes W^—^b) et (c— v/5), et Ton multiplie par leur différence. On a ainsi :
y5 — yll+c--}/d a+b^2/âb—(?—d+icy/2
mjyja — y/S + V^ — g) ~(a-}.6 — c*— d) — 2^â5 + 2c\/5'
et le déaominttteur ne contenant plus que trois termes, la solution est ramenée au cinquième cas.
?• Soit maintenant 3. , 3,-,. On sait que
(« + P)(a«-ap + p») = a»+p«.
On multiplie donc les deux termes par ^^ — ^55 + v^, et
Ton a : __
m m(g^V — ^g^ + yp)
S^" De même :
m m(y^+s/g6+v/y) W^Tp- g-6
EXERCICES
