GÉNiRALISATIOM DE LA RÈGLE DES EXPOSANTS POUR LA

FORMATION DES PUISSANCES. On a démontré (89), pour les Tableurs entières et positives de m et de n, la formule

Cette formule est encore vraie, quand m ou n, ou tous les deux, sont fractionnaires.

Supposons d*abord m=^^ n entier ; on a : et comme, d'après nos conventions,

on enconciut: {a"*)*=a'''"=a"*\

Supposons, au contraire, nk entier et n = - ; on a r

(ûr)*=(a*)« = ^(?7=vâ*'=a' =a"''« = a«^. Supposons, enfin, m=-, n=-; nous aurons:

109. Généralisation de la règle des exposants pour l'extraction DES racines. On a vu (i05) que, pour des valeurs entières et positives de m et n, on a la formule

formule démontrée quand n est divisible par m, formule de convention quand la division n'est pas possible. Cette formule est \raie, quand m ou n, ou tous les deux, sont fractionnaires.

Supposons d'abord m entier, et n=: -; nous aurons :

or, d'après nos conventions, 'yfâ^ s'écrit

a"»« ou a« ; donc v'a*'=a« ' =-a"*»

Supposons, en second lieu, m =^, n restant entier. La radne, d*iDdice -, de la quantité a*, est le nombre dont la puissance ' est égale à a\ Désignons ce nombre par x^ de telle sorte que

x^=:a\ ou v^'=o*.

Si Ton ëlë?e les deux membres à la puissance 9*^, puis si l'on extrait des résultats la racine jT* , on aura successivement :

donc a?=V^a*=û *«=:a".

Supposonsenfin m=-, n=-;i/a^ est la quantité a?, dont la pmssancc - est égale à a*; on a donc :

afl^zôFf ou v^i'=v^â\

£le?ant les deux membres à la puissance 9^, puis extrayant des résultats la racine p^, nous aurons successivement :

donc a?=ry''a*=a*''=a"»,

ilO. GÉNéRALISATION DANS LE CAS OU LES EXPOSANTS FRACTION- NAIRES SONT NÉGATIFS. Nousavons supposé, dans ce qui précède, que les nombres m et n sont positifs. Les diverses formules que nous avons généralisées sont encore vraies , lorsqu'on donne aux exposants fractionnaires des valeurs négatives, pourvu que

Ton convienne de représenter par le symbole a"" l'expression

"ê (80), ou, ce qui est la même chose, l'expression — = (108).

En effet, si, pour toutes les valeurs positives, entières ou fractionnaires de m, on a toujours la formule

les raisonnements qui nous ont servi, dans le chapitre précédent (89 à 92), à étendre les formules aux cas où les exposants sont entiers et négatifs, s'appliquent, sans modifications, aux cas où ces exposants sont fractionnaires et négatifs.

Remarquons que la formule [2] (107) n*est vraie, quand on a ^^<Zt^i qu'autant qu'on adopte la nouvelle convention que nous venons de faire.

Une seule généralisation reste à faire, dans le cas de l'extraction des racines. On a (109), pour toutes les valeurs positives de met de n, entières ou fractionnaires, la formule

Cette formule est encore vraie, quand m ou n, ou tous les deux, sont négatifs.

Supposons d'abord n négatif et égal à-^n', m posilifi on a :

or, d'après nos conventions, cette dernière expression s'écrit

a •", ou a~*''";

donc \/a^= ar^ • "• = a*.

Supposons ensuite m négatif et égal k -^m^ n restant positif; "Va* «st une quantité a?, dont la puissance (—m') est égale a a*". Ainsi

ar^=a% ou -^=a% ou aT's-isa-*, et, par suite, a?= v'ô^ =a"^=c* • - '^^z a*.

Supposons enfin m=— m', n=— n'; -^^ est la quantité x qui, élcTée à la puissance (—m'), reproduit cr*'. Ainsi, l'on a :

ar-=a-', ou ^ = ^; d'où ar'=a-'.

Od tirede là : x=/cP= a^=or^ = (?.

En résumé, toutes nos formules pour la multiplication, la division, l'élévation aux puissances et l'extraction des racines, sont générales : elles s'étendent à toutes les valeurs positives ou négatives, entières ou fractionnaires, des exposants et des indices.

$ IV. Application^

111. Rendre rationnel le dénominateur dune fraction. Lorsque le dénominateur d'une fraction contient un ou plusieurs radicaux, il est souvent u«le, principalement au point de Tue des approximations numériques, de le débarrasser de ces radicaux, de le rmdrt rationneL Nous en donnerons quelques exemples.

!• Soit — : on multiplie les deux termes par y'â , et Ton a :

fn fn\/a

fît

^* ^^^ î/aW6 * ^" multiplie les deux termes pary^â— ^; le dénominateur devient la différence de deux carrés, et Ton a :

y .^(y/fl — v^6)mfv/à — y/fe)