ÉQUATION. On distingue plus spécialement, soUs le nom

d'éçtÂOtion^ une égaiité qui ri a lieu que pour certaines valeurs par-

ticulières des lettres qu*elîe renferme, et qui peut, par suite, servir

à la détermination de ces valeurs. Ainsi

est une équation : elle* n*a lieu que pour* la valeur particulière ic = 7.

Une équation a deux membres; ce sont les deux expressions séparées par le signe =. Le prmiier membre est à gauche, le second est à droite du signe.

Les lettres , dont certaines valeurs particulières transforment réquation en identité, se nomment les inconnues de l'équation; Alo. B. I" Partie. C

et ces valeurs particulières sont les solutions ou les racines de l'équation. On représente ordinairement les inconnues par les dernières lettres de l'alphabet, x^ y, z....

Résoudre une équation, c'est déterminer ses racines. On dit que les racines d'une équation vérifient cette équation, satisfont à cette équation , parce qu'elles la transforment en identité.

La résolution des équations est la partie la plus importante, et, d'après quelques auteurs, le but véritable de l'algèbre.

il5. Équations équiyalentes. On dit que deux équations, qui renferment les mêmes inconnues, sont équivalentes^ lorsqu'elles admetianl Us mimes solutions. On peut toujours substituer à une équation une équation équivalente.

116. ÉQUATION A UNE OU PLUSIEURS INCONNUES. On distingue les équations d'après le nombre des inconnues qu'elles renferment : aiofii on a des équations à une inconnue âs, à deox inconnues â; et y, à trois inconnues a;, y, Zj et ainsi de suite.

117. Degré d'um iîquation. Lorsque les deux membres d'une équation sont des expressions rationnelles et entières par rapport aux inconnoes qu'elle renferme, le degré de Péquation est la somme des eocposants des inconnues datis le terme ci eette somme est la plus grande.

Exemples. 3» — 7 = 8 — 2«

Mt uDe équation du premier degré^ à une inconnue x,

4«y— 3«=2 — 5y «st une équation du maoi^ degré, A deux inconnues x^ y,

$ II. Principes.

118. Théorâme I. On peut ajouter une même quantité aiÂX deux membres d^une équaJtion^ sans altérer les conditions qu'elle impose au9 inconnues: en d'autres termes, on forme^ par cette addition ^ une équratUm équivalente à la première,

fin effet, soisnt A et B les deux membres^de cette équation,

^ffxntam aux deux membres la quantité m; nous aurons :

DES ÉQUilTIONS DU PREMIER DEGRË. 83

Toute solution de l'équation [1] donne, par hypothèse, à A et à B, des. valeurs numériques égales : donc si l'on ajoute à ces valeurs la valeur numérique correspondante de m, on obtient des nombres égaux. Or ces nombres sont les valeurs numériques des deux membres de l'équation [2]. Donc toute solution del'équation [1] vérifie l'équation [2].

Réciproquement, toute solution de l'équation [2] donne à (k+m) et à (B-f-^) des valeurs numériques égales : donc si 1 on retranche de ces valeurs la valeur numérique correspondante de m, les restes sont égaux : or ces restes sont les valeurs numériques de A et de B. Donc toute solution de l'équation [2] vérifie l'équation [1].

Les deux équations sont donc équivalentes.

119. Remarque, m désignant un nombre quelconque qui peut être positif ou négatif, on n'ajoute rien à la généralité de l'énoncé précédent, en disant : on peut^ sans altérer la signification iTune équaHon, augmenter ou diminuer les deux mmbres (funméme nombre.

f !M). Ck)ROLLAIR£ I. TRANSPOSmON BBS TERMES. On peUt tOU-

jovers faire passer un terme quelconque d'une équation d'un membre dans VatUre, pourvu que fon change son signe.

En effet, si le nombre m est égal et de signe contraire à l'un des termes de Féquation, il le détruira ; et ce terme disparaîtra du membre où il se trouvait, pour reparaître dans l'autre avec un signe différent. Par exemple, soit l'équation

en ajoutant (—s) aux deux memliTes, on obtient :

elle terme x est passé, comme on Toit, d'un membze lana Tautre, en changeant de signe.

121. CoROLLAHiE IL On peut changer simultanément Ics Signes de tous les termes iune équation. Car cela revient à transposer tous les termes du premier membre dans le second, et tous les tenues da second dans le premier. Par exemple» soit l'équation

84 LiyR£ II.

transposons tous les termes ; nous aurons :

ou^ ce qui est la même chose,

et tous les termes ont, comme on voit, changé de signe.

122. Théorèbie il On peut multiplier les deux membres d^une équation par une mime quantité j sans altérer les conditions qu*eUe impose aux inconnues^ pourvu que la valeur numérique du multiplicateur ne soit pas nulle. On forme^ par cette multiplication ^ une équation équivalente à la premièrcn

Pour le prouver, soit ï'équalion proposée :

multiplions les deux membres par m; nous aurons :

Am=Bm. [2]

Or toute solution de Téquation [1] donne à A et à B des valeurs numériques égales : donc si l'on multiplie ces valeurs par la valeur numérique correspondante de m, qui n*est pas nulle^ les produits seront égaux. Or, ces produits sont les valeurs correspondantes des deux membres de Téquation [2] : donc toute solution de réquation [IJ est solution de l'équation [2].

Réciproquement, toute solution de 1 équation [2] donne des valeurs égales à km et à Bm; donc, si Ton divise ces deux nombres par la valeur correspondante de m, qui n'est pas nulU^ les quotients sont égaux; et comme ces quotients sont les valeurs numériques de A et B, toute solution de Téquation [2] est solution de réquation [1].

Ainsi, les deux équations sont équivalentes.

125. Puisque Ton peut multiplier les deux membres d'une équation par un nombre quelconque, on peut aussi les diviser par un nombre quelconque; car diviser par m, revient à multiplier par

— > 11 faut seulement que le nombre m par lequel on divise, ne

soit jamais nul.

124. Remarque importante. Le principe précédent suppose essentiellement, que le multiplicateur m est différent de zéro : les équations [1] et [2] ne sont équivalentes qu*& cette condition.

Et en effet « la seconde peut, si l'on transpose tous les tenues dans le premier membre, se mettre sous la forme :

On ?oit que toute solution de Téquation [1], rendant A égal à B, ou A — B égal à zéro, vérifie encore Téquation [2]. Mais la réciproque n'est plus vraie, si m peut être nul ; car alors Téqualion [2] pourra être vérifiée, sans que A devienne égal à B.

ExKVPLB. Soit l'équation

Multiplions ses deux membres par (s~l) ; nous obtiendrons la nouyelle équation

(3-»)(«-l)=(15-2ic) («-1). [2]

La solution s=12, qui vérifie la première , vérifie évidemment la seconde. Mais la valeur x^ 1 , qui annule le multiplicateur {x — 1) , satisfait à la seconde, puisqu'elle rend nuls ses deux membre ; et cependant elle ne vérifie pas la première.

Ainsi la midtiplication des deux membres de réquatùm par un fadeur^ contenant les inconnues^ peut introduire des soliUions étrangères. Ces solutions ifUroduites sont celles de VéqtuUion qu'on obtiendraitf en égalant à zéro le multiplicateur, comme on le voit dans l'exemple précédent. Par conséquent, lorsqu'on aura été obligé de multiplier les deux membres par un pareil facteur^ on devra, après avoir résolu l'équation résultante, étudier les solutions obtenues, et rejeter comme étrangères celles qui annuleraient le facteur sans vérifier l'équation proposée.

U résulte de là, qu'en divisant les deux membres par une exprès^ sion contenant les inconnues, on s'expose à supprimer une ou plusieurs solutions : mais les solutions ainsi supprimées sont celles de réquatian qu'on obtiendrait en égalant à zéro le diviseur. Par conséquent, lorsqu'on aura été obligé de diviser les deux membres par une pareille expression, on devra résoudre non-seulement l'équation résultante, mais encore l'équation auxiliaire obtenue en égalant le diviseur à zéro, et étudier les solutions de cette dernière pour les rétablir, si elles ont été réellement supprimées.

Si le multiplicateur ou le diviseur m, sans contenir les inconnues, est une expression littérale, la transformation est permise ; mais il faudra éviter, dans la suite des raisonnements, les hypothèses qui rendraient cette expression égale à zéro.

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