COROLLAmB. ËTANOOXSSEMEirr DES DÉNOMINATEURS. LOTS

qu*une éqwition renferme des termes flractkmnaUreSy on la ramène à la forme entière, en multipliant tous les termes par le produit des dénominateurs, ou même par le plus petit multiple commun à tous ces dénominateurs : et Ton obtient ainsi, en généra) , une équation équiralente à la première. Cette règle est la conséqnenee évidente du Théorème II et des principes sur les fraetions.

ExBMPLB L Soit réquation

niTjlttplions les deux membres parle produit « («4* 1); nous aurons :

2x(«+l)=«+l + («—!) («+l)«+3«, ou 2x» + 2«=x + l+«»— »+3«. [2]

n faut remarquer, toutefois, que le facteurs (s-f-l)» ^8>^ ^ <*n>f donne pour solutions ssQ, s=— 1. Ce sont les seaks solutions que la multiplication ait pu introduire. Or, elles ne Térifient Téquation [2J ni Tune ni Tautre : donc les deux équations [1] et [2] sont équivalentes.

Exemple IL Soit Téquation

.i«. JL. î m

On Toit qu'il suffira de multiplier les deux membres par (s'— a*); car ce dénominateur est diyisible par les autres dénominateurs (x -f- a) et (s — o). On aainâ:

Gomme réquation s^— a' =0 n*a pour solutions que crr+aet «=—0, lesquelles ne Térifient Féquation [2] ni Tune ni Tautre, les équations [1] et [2] sont équivalentes.

Exemple III. Soit encore Féquation

si ron multiplie les deux membres par x— I, on a :

*— 1— «»=— 1— 6«+6. pj

Cette dernière équation admet pour solutions 6 et I : mais le nombre 6 Térifie seul réquaUon [1] ; et la taleur s= 1, qui amiule le muttiplicateur ^— f), doit être rejetée.

ISt6. THéoRÊBU m. "Lorsqu^on élève à une mtme puissance les deux membres d'une équation, on introduU^ en générai, des sêlu^ lions étrangères. En effet» soit l'équation

DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. fT

Si Ton élève les deux membres au carré, on a :

k*rs1f. [2]

On YoU que toute solution de la première est solution de la seconde. Hais cette dernière, pouvant s'écrire sous la forme

A»— B»=0, ou (A-.B)(A + B)=0,

renferme à la fois les sdntioiis des deux équations,

EDe ÈSt donc plus générale que la première.

De même l'équatMA A* ss B*

peut s'écrire A*» — B* = 0,

ou (A— B)(A— *+BA-^+lPA-^+....+B-^») = 0.

Elle admet donc^ osire les sololioas de l'équatloa £1] qui aima* lent le premier facteur, celles de l'é^iatka

A— *-hBA-*+B«A*-»+.... + D^ = 0,

qui ammlent le second fticteur.

Lors donc que Ton est obligé, pour résoudre une équation, d'élever ses deux membres à la même puissance, il faut, après avoir résolu l'équation résultante, étudier les solutions obtenues, et rejeter comme étrangères celles qui ne vérifieraient pas l'équation proposée. Par exemple, soit l'équation

Si, pour résoudre, on élève les deux membres au carré, on a:

Or, on peat Ptcoanattre (|M eette demiàra équation est vérifiée par «£s 9 et par s =8. Mais, si la valeur x=9 conyieot à l'équation proposée, U valeur «= 8 ne coBiieDt pat, et doit étn vejetée.

On se rend cotnpte de ce résultat, en remarquant que Téqua-^ tion [2] n'est pas seulement le carré de l'équation [1]; elle est aussi le carré de l'équation

laquelle admet pour solution ^^ ==:S.