LITRE

Cette Taleur, Mbstituée dans Véquaiïon [2], donne :

En multipliant tous les termes par le dénominateur 8,642, on obtient :

ou 72,17877* + 53,758lOy- 67,16884=0. £4J

La même valeur de x, substituée dans l'équ^on [3], donnera :

d'où 13,291396«+38,408505y — 55,458684+ 7,010602« +7,711378y

c'est-à-dire 20,30200 «+ 46,1 1988y - 45,08733=0. [5]

La question est maintenant ramenée à la résolution de deux équations à deux inconnues [4] et [5]. On tire de Téquation [5]

En substituant cette valeur de y dans réqnation [4], on obtient

La multiplicatiod par le dénominateur 46,11988 donne

3328,877» — 1091 ,397x + 2423,809-3097,358= 0, ou 2237,480x— 673,549= 0.

Donc «=^5^:^=0 301030

Pour trouver la valeur de y, on a d'abord

20,302*= 6,11151-, donc 45,08733— 20,302*= 38,97582,

Si, maintenant, dans Téquaiion

Doos lulifititaaDB à a? et à y leurs valeun numériques, nous aurons

l,234Sr = 0,3716215, l,3D79y=l,1475586;

dcoB 9,765744— l,2345x- l,3579y=8,24656l,

et

-•-fs*"»*»»-

Les trois inconnues sont donc

«=0,301030, y=0,8450980, jr=0,9542425.

tu

l,3579y 8,642jk

Vérification.

s lY. Simplifications et remarques dlTerses.

158. Cas où toutes les inconnues n'entrent pas a la fois DANS TOUTES LES EQUATIONS. U peut arriver que chacune des équations ne contienne pas toutes les inconnues. Cette circonstance abrège le calcul; car on peut considérer comme éliminée d*une équation une inconnue que cette équation ne renferme pas. n faut alors commencer l'opération par l'élimination de rinconnue qui entre dans le plus pelit nombre d'équations.

Considérons, par exemple, le système

4y — 3*4-2tt=: 5, [3]

9i-.&u=ll. [5]

On Toit que t n'entre que dans deux équations; on tire donc de [2| :

et Ton substitue cette valeur dans [4] , qui devient :

24y — 15jï— 4m=43. [61

En joignant cette équation [6] aux équations [1], [3] et [5], on forme un système de quatre équations à quatre inconnues x, y,x, u. Orx n'entre que dans les équations [l] et [3]. On tire donc de [3] :

et Ton substitue cette valeur dans [1], qui devient :

ny — 2*+7u=56. [7]

En joignant cette équation [7j aux équations [5] et [6] , on obtient un système de trois équations à trois inconnues y , x, u. Comme y n'entre que dans les équations [6], [7] , on tire de [7] :

y= ï2 — ' PI

et l'on substitue cette valeur dans [6], qui devient :

lU+18tt=69. fSj

Cette équation et l'équation [5] forment un système de deux équations à deux inconnues.

On tire de [S] : ti = — - — ;

et) substituant cette valeur dans l'équation [8] , ona:

équation à une inconnue , d*où Ton tire : x=^Z, Par suite, l'équation [5] donne : u = 2;

ensuite l'équation [7] donne : y = 4;

puis l'équation [3] donne : c=5,

et enfin l'équation [2] donne : 1 = 1.

159. Artifices particuliers. Il arrive quelquefois que les équations présentent une certaine symétrie par rapport aux inconnues; on peut alors ordinairement employer des procédés plus expéditifs que les méihodes générales. Nous ne saurions <lonner de règle à cet égard ; mais nous allons indiquer, à l'aide de quelques exemples, les artiiices les plus usités.

EnvPLB L Soit le système

»+y+Jf+«=a, fl] y + j + «+« = &, [21 X + <+« + «=c, [3J

Siroaajoate ces cinq équations membre à membre, on remarque que cbaque inconnue entre quatre fois dans la somme ; de sorte que, si Ton désigne par g la soiune des seconds membres, (a + & + ^ + d + ^)i on a Téquation

4(»+y + x+<+») = «, ou «+f +;f +« + !? = |. [6]

Ainsi la somme des cinq inconnues est déterminée. Et, puisque cbacune des équations proposées contient quatre de ces inconnues, il suffira de les retran* cber sQcoessiTement de Téquation [6] pour obtenir chaque inconnue. On aura ainsi :

Exemple II. Calculer les longueurs des trois côtés d'un triangle, connaissant ks longueurs des droites qui joignent chaque sommet au milieu^ du côté opposé.

Désignons par a, &, e, les longueurs inconnues des trois côtés, et par a, % ^ les longueurs des médianes correspondantes. La géométrie fournit immédiatement les trois équations :

Si l'on ajoute ces trois équations membre à membre, on a :

o» j- 52 j- fil

d'où Ton tire aisément :

Ainsi Ton connaît la somme des carrés des trois côtés. Si l'on retranche main tenant réqoation [1] de Téquation [4], b' et e- disparaissent; et Ton a :

d'où l'on déduit :

tf=|(«î+P+f)-2a>-ï;

0' = 5pP' + 2ï'-«»).

Alo. B. I** Partis. 8

iià ILIVM II.

On obtiendrait de même &> et e', en retranchant sueeessiTement les équations [2] et [3] de l'équation [4]. Hais il est pliis simple de remarquer qu'on passe de l^équation [IJ à l'équation [2], en Gageant ^ en c^, e> en a*, à* en &>, a" en p>; on obtiendra donc la valeur de &*, en appliquant cette permutation de lettres à la formule qui donne a^ ; et Von aura :

On troBTtva de néme :

Las carrés a% 6*, c* étant CQQAua, (ey côtéq eux-mêmes, a, h, e sont, par là môme, déterminés.

Exemple III. Résoudre le système

mx-^ny+px +qt?=*.

On a démontré (08) que Ton a :

pr le numérateur du dernier rapport est k; donc on a:

ak

ma -^ nb '\- pc-^ qd'

On a de mémo y = ; — s—; \ — j.

" mcTÇnS^^^'pc^Çqi'

S V« Des cas où e nombre des inconnues n*est pas égal au nombre

des équations.

160. Cas où le nombre des équations surpasse celui des iNCONiiUEs. Soit, par exemple, un système de troi^ équatiOQ3 entre deux incoimuesa? et y. En résolvant deux de ces trois équa* tions par Tune des méthodes connues, on obtiendra les valeurs de xei de y, qui seules peuvent vërifter le système. Mais, pour qu'il en soit ainsi, il faudra que ces valeurs satis£asseol à la troisième équation. Si cette condition n'est pas remplie, 1$ sys» time est impossible.

8«+ y=iJ,

est impossible, poisqu'en résolvant les deux premières équations, on troare 2=1, y=r2; et que ces valeurs, substituées dans la dernière, conduisent à rinpossibîtité, 10=12.

En général, si Ton donne (m+p) équations entre m inconnnes, on pourra résoudre m de ces équations, et obtenir ainsi les valeurs qui seules peuvent vérifier le système ; mais il faudra que ces valeurs, substituées dans les p équations restantes, les vérifient : sinon, le système sera impossible.

Si les coefficients des inconnues, ou quelques-uns d'entre eux, sont des lettres dont la valeur n'est pas déterminée , les valeurs obtenues pour ces inconnues seront des formules dépendant de ces lettres ; et la substitution de ces formules dans les p équations restantes fournira p relations, qui exprimeront les conditions nécessaires et suffisantes que devront remplir les coefficients littéraux, pour que le système soit possible. On donne & ces relations le nom d'équations de ccndition.

IX + y=2a, 3« +4y --=20+36— 1.

Les dtvx premièm équaiions donnent x:=:a-{-b, y=:a— 5; et cas vatevs, substituées dans les deux dernières^ fournissent les équations de condition,

j 5a — 6=0 + 25, (Ta— 6=2o + 36— 1; desquelles on tire : a=3, l>=4.

€i 1^ admet ces vaifivrs de « et de 6^ le système est possible, et la solution

est:

161. Cas où le nombre des inconnues surpasse celui des éQUATiORs. Soit , par exemple , un système de deux équations entre trois inconnues rr, y, z. Si Ton regarde une des inconnues, f par exemple , comme connue, la résolution du système fournira, comme valeurs de a; et de y , deux formules qui contiendront X. On peut donc donner à i des valeurs arbitraires; et pour chacune d'elles, les formules fourniront pour w et pour y des valeurs correspondantes. U système admettra donc un rumibre infini de soliuions. On voit alors au'il est indéterminé.

En général, si Ton donne m équations entre {m+p) inconnuesy on pourra considérer comme connues p de ces inconnues, et résoudre les m équations par rapport aux m autres ; on obtiendra, pour valeurs de ces m inconnueSy m formules contenant les p premières.' On pourra donc donner à ces p inconnues telles valeurs que Ton voudra ; et les formules fourniront les valeurs correspondantes des autres. Le système est donc indéterminé.

EXEMPLE. Soit le système: | ^IjÎ+S^-JLJ.'

On résout par rapport à jt et à y, en Deàsant passer dans les seconds membres les termes en s et en U On trouve ainsi les deux formules :

Si l'on pose arbitrairement, x=2, (=1, on trouve â;=4; v=3* $ VI. Des cas d'impossibilité et d'indétermination.

162. Cas d'impossibiuté. Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des équations, il arrive quelquefois que les méthodes de résolution conduisent à des résultats contradictoires.

l.Soitlesysrtme: UZZl^Zll

Appliquons la méthode d'addition et de soustraction (146) : pour éliminer y, multiplions la première équation par 7, et la seconde par 3; il vient:

équations évidenunent incompatibles, puisque^ en les soustrayant Tune de rautre, on aurait :

Le système proposé est donc impossible; et l'impossibilité se manifeste par cette circonstance^ que Télimination d'une inconnue fait disparaître Tautre, de sorte qu'il ne reste plus qu*une égalité entre deux nombres inégaux.

V Soit le système :

En élimiiiint jr, d'abord entre les deux premières équations, puis entre les deux dernières, on obtient les deux équations,

qui sont éyidemment incompatibles. Le système est donc impossible ; et Timpossibilité se manifeste par cette circonstance, qu'en éliminant x, on obtient deux équations, dont la différence conduit encore à Tégalité absurde : 0=1.

163. Cas d'indétermination. Il arrive aussi parfois , qu^en résolvant un système d^équations, on rencontre des égalités qui ont lieu, quelles que soient les valeurs des inconnues.

,.S0UUs,s««e: |j;::gzS

Si Ton cherche à éliminer y, en multipliant la première équation par 5 et la seconde par 7, on trouYe :

équations identiques. Ainsi les deux équations proposées rentrent Vune dans Vautre. On n'a donc, à proprement parler, qu'une seule équation à deux inconnues : et le nombre des solutions est infini (161). On voit que l'indétermination se manifeste par cette circonstance, que l'élimination de Tune des inconnues fait disparaître Vautre, et qu'il reste une identité : 0=0.

Î2ar— 3y+4x= 7, 3«— 2y+ x= 8, lia?— 9y+7;r=31.

L'élimination de x entre les deux premières équations, puis entre les deux der- Dtères, conduit aux deux équations,

jlO«— 5y=î5, 1 10»— 5y=25,

qui sont encore identiques. Comme ces deux équations, combinées* avec Tune des trois premières, forment un système équivalent au système proposé, on voit qn*on n'a, en réalité, que deux équations à trois inconnues. Le système est donc indéterminé; et l'indétermination se manifeste encore par cette circonstance, qae Télimination de deux des trois inconnues conduit k une identité.

EXERCICES