Exemple. Soit Je système

«+2y + 3jf+4t?=30,

2«— 3y + 5jr — 2t;= 8, i r-^

4»— y+6;sf— 3»= 8.

La première équalioo, résolue par rapport à jp^ donner

4p=30— 2y-3sf— 4t?; et, en substituant cette valeur dans les trois autres, on trouve :

2yH-lU + 13t'= 89, 1 p]

De même, la première des équations [2] , résolue par rapport à x, donne :

J=57 — 7y— lOv;

et, en substituant cette valeur dans les deux autres, on a:

On tixB de U demi^ ^=,2^2z^^

et substituant cette valeur dans la précédeotc, on a:

AJiul U syitAme équivalent au système proposé est formé par les équatiooi :

'«=30— 2y — 3i— 4t;, f;r=r57— Ty— 10», * 230—41©

Or la dernière de ces équations donne t? = 4. Cette valeur, substituée dans la précédente^ donne y=r2. Ces deux valeurs, substituées dans la seconde, donnent 2=3. Et enfin ces trois valeurs, substituées dans la première, donnent '= 1. Ainsi la solution est x—1, ys=2, x=^f o=4.

154. MÉTHODE DE Bezout. Od rësout aussi les équations du premier degré par une autre méthode, dite des coefficients indé-terminés, dont l'emploi est souvent plus commode.

Soient n équations du premier degré à n inconnues,

aX'{-by+ cz -{-».. =*, agx+biy+0ix+... =fc|, .

Ajoutons ces équations, membre à membre, après les avoir muUîpliées respectivement, à l'exception de la première, par des nombres indéterminés Xi,X2,. . . X«.i ; il viendra :

[2] X (a+ai\+. ..+a,^Vi)+y (^+Mâ+-* •+*i-iVi)

et cette nouvelle équation peut (i39} remplacer une des proposées, qiLds que soient les nombres Xi, >i, . . . X.^.

Or nous pouvons déterminer ces nombres, de manière que les coefficients des inconnues y, z^. • . soiant nuls, c*est«à-dire que les équations,

C + CiXj-f-. .. 4- Cn-lXn-l=0, l [3]

soient satisfaites ; car il suffira, pour cela, de résoudre (n — 1) équations à (n — 1) inconnues.

On résoudra donc le sysLJme [3].

Si l'on substitue alors dans l'équation [2] les valeurs trouvées

pour X^y \ ... K-h cette équation ne contiendra plus que laseule inconnue x; car elle se réduira à

elle permettra donc d'en déterminer la valeur, qui sera :

k-\- «1 Al + . . . +^»- 1 Ah| .

X étant connu, le système ne contiendra plus que (n ^ 1) inconnues.

La méthode que nous venons d'indiquer permet, comme on voit, de résoudre n équations à n inconnues, pourvu que Fou sache résoudre un système contenant une inconnue de moins.

Gomme nous savons résoudre deux équations à deux inconnues, nous pouvons, d'après cela, résoudre un système de trois équations à trois inconnues; partant, un système de quatre équations à quatre inconnues, et ainsi de suite. On obtiendra ainsi, quel que soit le nombre des équations proposées, la valeur de chaque inconnue.

1B8. Modification a la héthode. La méthode des multiplicateurs permet, d'ailleurs, d'obtenir directement chaque inconnue, sans calculer aucune des autres. Il suffit, pour cela, de procéder pour chacune, comme on l'a fait pour x. Si Ton veut obtenir y, par exemple, on égalera à zéro les coefficients des (n — 1) autres inconnues ; on trouvera, en résolvant ces (n — l) équations, de nouvelles valeurs pour les indéterminées Xi,Xt,..>»4; et, en substituant ces valeurs dans Téquation [2], on obtiendra une équation en y, qui permettra d'en déterminer la valeur.

Les valeurs que l'on obtient par ce procédé pourrr, y, z,... ne peuvent difTérer de celles qu'a fournies le premier. En effet, l'équation [2] doit être vérifiée, quels que soient les nombres Xi, Xa,...X».i; il est donc permis d*y faire les hypothèses qui annulent tous les coefficients moins un. Le second procédé fournit donc la solution demandée : et comme cette solution est unique, il faut qu'elle soit la même que celle qu'on a obtenue par le procédé primitif.

150. ExBMPLB. Appliquons cette méthode à la résolution du système:

7« + 2î/— 10x=18, [ [Il

6» — 6y — 15jf= 6. J ,

On multiplie ia deuxième équation par h, la troisième par Xs, et Ton ajoute les produits à la première ; on a ainsi :

(3 + 7>, + 5Xa) «+ (— 4 + 2X. — 6)a) y + (5 - lOXi — 153JI = 9+18X. + 6>j. [2]

Pour obtenir x, on égale à zéro les coefficients de y et de jr; ce qui donne :

I 5-10X,-15Xj=0, }2X, + 3Xa=l.

En rtelvant ces deux équations, on trouve Xi = I, Xs = ~ t. On substitue ces

valeurs dans Téquation [2] ; elle devient :

^3 + 7-|) «=94-18-2; d'où ap=3.

Pour obtenir y^ on annule les coeflicier.U de op et de jf ; on a ainsi :

j3+ 7Xif 5).3=0.

15 — lOX,— loXa=0.

En résolvant ces deux équations, on trouye Xi= " ÎT» ^ = îî- ^^ substitue

ces ifaleurs dans l'équation [2], qui devient :

/^-4-??-^'iy = 9-^+^; d'où y=î.

\ * 11 iiy^ 11 ^ir *' 2

Enfin, pour obtenir Xj on écrit les deux équations

J 3+7X,+5Xî=0, |-4 + 2X,-6>,=0,

qui, résolues, donnent >» =:^, Xa=— ^. L'équation [2] devient, pour ces

valeurs :

157. Cas où les coeppicienis des inconnues sont de grands KOMBKES. Lorsqu'on a à résoudre un système dans lequel les inconnues ont de grands coefficients, il est ordinairement avantageux d'employer la méthode de substitution. Résolvons, comme exemple, le système suivant :

1,2345»+ l,3579y + 8,642jï —9,765744=0, [1]

ta première de ces équations donne, pour valeur de jï,