CHAPITRE V

RÉSOLifnON DES PROBLËlIfiS BU PREMIER DEGRÉ.

164. La résolution d'un problème comprend trois parties distinctes : 1* la mise en éqtmtUm; 2"* la résolution des équations; 3* la discussion de la solution.

On dit qu'un problème est du premier degré, lorsque Ton est conduit, pour le résoudre, à des équations du premier degré. Nous avons appris & trouver les solutions de ces sortes d'équations : nous n'avons donc à nous occtiper maintenant que de la première et de la troisième partie»

120 LlVnE II.

S I. De la mise en équation.

i6tt. Règle pour la mise en équation d*un problâme. Nous avons déjà dit (i35), qu'il est impossible de donner, pour obtenir les équations d'un problème, une règle complètement générale : on se borne ordinairement à Tindication suivante.

Après avoir étudié avec soin F énoncé du problème y on représente par Us lettres lijyj,., les nombres dont la connaùsance fournirait la solution : on indique sur ces lettres et sur lês données la série des opérations que l'on devrait effectuer ^ si^ après avoir trouvé les valeurs des inconnues, on voulait vérifier qu^ elles satisfont à toutes les conditions de renoncé. Ces calcuis de vérification conduisent^ en gênéraly à des résultats qui doivent être égaux ; en égalant les formules qui représentent ces résultats, on obtient les équations du problème.

Montrons par des exemples comment on applique cette règle.

166. Problâhb I. Un réservoir plein d*eau peut être vidé par deux robinets A, B^ d'inégale grandeur. On ouwe le robinet k, et Von fait couler le quart de Tcau. Puit on ouwe le robinet B, et on les laitte couler tous les deux. Le réservoir achève de se vider; et il emploie, pour cela, cinq quarts d^heure de plus que le premier A n*a mis de temps pour vider le quart de Veau. Si Von eût ouvert lès deux robinets dis le commencement, le réservoir eût été vidé un qtutrt d^heure plus tôt. On demande combien de temps H faudrait au robinet A, s'il était seul ouvert, pour vider le réservoir.

Soit X le nombre d'heures employées par le robinet A pour vider seul le réservoir.

Pour en vider le quart, le robinet A emploie un temps f .

Pour vider les trois autres quarts, les deux robinets, ouverts ensemble, emploient un teïnps r + t .

Par suite, pour vider le réservoir entier, ils emploierdent les - de ce temps,

D'un autre côté, le temps total employé dans l'expérience, pour vider d'abord le premier quart à Taide de A, puis les trois autres quarts à Taide de A et B, est

Hhï)'

Puisque ce temps est supérieur d'un quart d'heure à celui qu'auraient employé

A et B ouverts ensemble dès l'origine, c'est-à-dire à --|-^, on a donc l'équation: qui, résolue, donne : ff = 4^

DES EQUATIONS DU PREMIER DEGRË. 121

férificaiion. Le temps employé par le robinet A, pour vider le quart da réser- Tjir, est 1 heure : par suite le temps employé par les deux robinets, pour vider les trois autres quarts, est 1^ 4: t^i ou f* : et le temps qu'ils emploieraient à Tider le réservoir entier est les 4 de f d'heure ou 3 heures. D'un autre côté , dans Teipérience, le réservoir a été vidé en 1^+ ^, ou en 3^ 1/4; l'expérience a donc duré ^ d'heure de plus^ comme l'exigeait l'énoncé.

169. Pboblêmb II. Un renardf poursuivi par un lévrier , a 60 sauts dTavance: U en fait 9 , pendant que le lévrier n'en fait que 6; mais 3 sauts de lévrier valent 7 sauts de renard. Combien le lévrier fera-t-il de sauts, avant d^atteindre U renard ?

Soit X le nombre de sauts que fera le lévrier, avant d'atteindre le renard.

Puisque trois sauts de lévrier valent sept sauts de renard, x sauts de lévrier

vaudront-^ sauts de renard : première expression du chemin (évalué en sauts

de renard), que doit parcourir le lévrier.

D'un autre côté^ pendant que le lévrier fait 6 sauts, le renard en fait 9 :

9x donc, pendant que le lévrier fait s de ses sauts^ le renard fait — des siens, et,

9x puisque ce dernier a 60 sauts d'avance, 60 + -t- est une seconde expression du

chemin (évalué avec la même unité) , que doit faire le lévrier.

Ix 9âP

On a donc l'équation : -x- = 60 + -r-,

qui , résolue , donne : s = 72 sauts.

Térifieation. Les 72 sauts de lévrier valent } de 72 ou 168 sauts du renard. Or, pendant que le lévrier en fait 72, le renard en fait 108; et ces 108 sauts, ajoutés aux 60 sauts que ce dernier a d'avance,^ complètent bien les 168 sauts de renard, chemin du lévrier.

168. PaoBLÈMB m. On demande de trouver un nombre de quatre chiffres j sachant : 1* que le chiffre des centaines est égal à la somme du chiffre des unités et de uhâi des di faines ; 2* que le chiffre des dixaines est égal au double de la somme du chiffre des mille et de celui des unités ; 3* qu'en divisant le nombre par la somme de ses chiffres, on a pour quotient 109 et pour reste 9; 4* qu'enfin en retranchant le nombre du nombre formé avec les mêmes chiffres rangés dans V ordre inverse, on obtient pour reste 819.

Désignons parx, y, jr, v les chiffres des unités, des dizaines, des centaines et des mille. La première condition donne immédiatement l'équation,

et la seconde , y =2i7 +2âF. 12]

Le nombre cherché a pour valeur lOOOv + 100JK+ lOy +« : donc la 3* condition donne l'équation :

10001?+ 100x+10y-f«= 109 (af+y +Jf + r) + 9. [3]

Eafin la quatrième. condition fournit rôquation :

1000«+100y + 10;f+»— *(1000t> + 100jr+10î/-|-«)=3W9. [k]

Avant de résoudre ce système de quatre équations, on simplifie les deui dot^ niôresi qui se réduisent à

9017— *— Uy— I2»=3l, [3]

lll«+10y— lûx— lllt?=91. 14]

On élimine d*abord x entre [1], [3] et [4], et Ton trotiTe i

99«— 12y— I3aî=il, [6]

101»— lll«=9l. [6]

Puis on élimine y entre [3] et \b], oe qui dealke :

Enfin on élimine x entre [6] et [7] : et Ton trouTt :

03fal; et, par suite, a=s2, y =6, jr^aS*

Le nombre cherché est donc 1862.

La vérification se fait immédiatem^nf*

169. Il arrive parfois que les conditions d*égalîlé, données par l'énoncé, paraissent surabondantes.

Problèhe IV. Un père partage son hérittkge entre ses enfants d$ la manière suivante : U donne au premier une somme a et la n^* partie du reste : il donne au second une somme 2s^ et la n^'^rtie de ce qui fiM0, après le ptéièvem^t de ces sommes : il dotme au troisième une somme 3â et Us h^ partie de ce qui reste. Et ainsi de suite. Il arrive que Vhéritagêeet emièfeirtent paftdgé, et que tous les enfanU ont reçu des parts égales. On demande la taleut de Vhériiage, le nombre des enfanU et la part de chacun d'eux.

Désignons par x la valeor de lliérifagd.

La part du premier enfant est :

a -t* ' ■»•■«' , (fU ■■ ni f

Il reste pour les autres :

^x+(n^i)a m^Dix^aj

Le second enfant prend (Tatbord %a.

Il reste alors : ^

(n-i) (x^a) (n-l)x-(3n~na

U part du second enfant est doiio :

o^ . (n-1)x-(3n~l)a (n-l) g+ (2n»-3n+ Da ^ n» * ^^ ^i •

Patiqpie, «Taprès renoncé, les parts doivent être égAleii on aura Téquation :

Eb résdTant cette équation , on troave :

Comme npas n*aTons employé^ pour trouver la formule de Théritage, qne les expressions des deux premières parts, il est nécessaire de calculer leurs valeursi et de constater qu'elles sont égales à celles dont Texpression n*a pas servi, puis de déterminer le nombre des enfonts. Or, la part du premier est :

1 ou ■ , . ou (n— l)a.

fl n

La part du second est :

(n — l)ap-K2n»— an+l) g (n— iya-K?n*— 3n-H)a n* '^ n^

= n« =Cn-l)a.

La part do troisième est, d'après renoncé :

Et Ton verrait de même, que toutes les parts sont égales à (n — t) a.

En divisant la valeur de ThérHage par la part d*un enfant, on aura le nombre des enfants. Ce nombre est donc (n— 1).

Et Ton reconnaît que toutes les conditions de l'énoncé sont remplies.

170. Emploi d'inconnues auxiliaires. Lorsque l'énoncé d*un problème ne permet pas d'apercevoir aisément les relations qui doivent exister entre les données et les résultats» on peut quelquefois faire usage à'inconnues auxiliaires^ que Ton élimine ensuite entre les équations qui les renferment. En voici un exemple, tiré de Y Arithmétique universelle de Newton.

PaoBLÈMB y, lia fallu n bœufs pour manger en t jours, Vherhe d'un pré, dont la surface M a, ainsi que celle qui y croissait uniformément pendant ce temps, n a faUu nf baufs pour manger en l^jourt, Vherted'Hn autre pri, dont laswfat€ €$$ &% ainsi que celle qui y croissait uniformémeiU fendant ce temps. On demande eombieu il faudra de haufs, pour manger en b jours, l'herbe d*un troisième pré, dont la surface est a, ainsi quf Vherbe qui y croit uniformément pendani ce temps.

On suppose que la haiiteor de Pherbe était la même dans les trois prés, avant natrodiietlon dos bCBifii; et on la déngne par y : on suppose encore qne rallongement de llierlte^ en un yona, est la même pour les trois sui&ces ; «ton la représente par x : y et j[f sont des inconnues auxiliaires. Soit^ d'ailleurs, tt U nombre des I)œa& à introduire dans le troisième pré.

Puisque la hauteur de Therbe, dans le premier pré, crott chaque jour d'une

quantité Xy son accroissement, pour I jours, sera tx; et la hauteur totale de

Therbe serait y + tx,B.\xhoui de ce temps. Par suite, le volume total de cette herbe

' est a (y + ti). Or, cette quantité est mangée par n bœufs, en t jours : donc un

seul bœuf, en un jour, en mange une quantité représentée par l'expression

Il est évident, que les quantités mangées par un bœuf, en un jour, dans le second et dans le troisième pré, sont respectivement

o^(y + fx) tt(y+ei) n'f ' «6 •

Comme ces quantités doivent être égales, on a ainsi les équations :

a{y-htx)a'iy4-fx)a(y'\-9x) nt n't' e«

On tire d'abord de la première y en fonction de X', ei Ton trouve :

(an'^a'n)tfx y— a'nt—an'f *

Puis, on remplace dans la seconde

m ex '

y par cette valeur : x disparaît de lui-même ; et Ton trouve enfin

g ( an'I^jB— t) -t- a^nt{f — 6) ) '~ oo'ô(«'— 0

Newton donne l'application numérique suivante :

0=3» arpents, t = 4 semaines, n = 12 bœufs,

§ II. De la discussion.

171. Ce que g*est que discuter une solution. Lorsqu'on a mis un problème en équation, et qu'on a résolu le système ainsi obtenu, la solution convient aux équations, à moins qu'elle ne se présente sous une forme illusoire dont nous parlerons plus loin. Mais cette solution ne convient pas toujours au problème posé. Il peut arriver en effet, que certaines conditions, imposées aux inconnues par la nature de la question , mais non reproduites par les équations, rendent le problème impossible. Étudier les causes de celte impossibilité, c*est discuter la solution.

Lorsque les données sont représentées par des lettres, et que,^ par suite, les valeurs des inconnues sont exprimées par des for-" mules, il peut arriver que le problème ne soit possible qu'autant que les valeurs des données sont renfermées entre certaines limites. Déterminer ces limites, en dehors desquelles il y a impossibilité, c*est discuter la solution.

Enfin, étudier toutes les circonstances remarquables que peuvent présenter les formules, entre les limites déterminées par la discussion, c'est encore discuter la solution.

Donnons quelques exemples :

198. Problème VI. Dans une société de 10 pereonneSf on a fait une collecte pour Ut pauvre* : chaque homme a donné 6 francif chaque femme a donné k francs. La somme totale recueillie est de 45 francs. On demande combien il y axait (fhomineff, combien de femmes?

Soient « et y les nombres d'hommes et de femmes. On a d*abord :

«-hy=io.

Puisque chaque homme a donné 6 francs, x hommes ont donné 6x. Puisque chaque femme a donné 4 francs, y femmes ont donné 4y. Donc on a :

En rësolTant ces deux équations, on trouve :

Discussion. Cette solution fractionnaire est la seule qui convienne aux équations : d'ailleurs, ces équations sont la traduction fidèle et complète de Ténoncé. Donc le problème ne saurait avoir d'autre solution. Mais, la ncUure de la question exige que la solution soit composée de nombres entiers : puisque les nombres trouvés sont fractionnaires, le problème est impossible,

198. Problème VII. Une personne emploie un ouvrier pendant tZ journées d'été j et lui retient sur son salaire 22 francs pour quelques dégâts qu'il a causés. Une autre fois, elle emploie le même ouvrier pendant 17 journées cfiitrrr; elle lui donne par jour 2 francs de moins que pour une journée d^été; mais elle ajoute à son salaire 28 francs pour le récompenser de son zèle. Chaque fois, Vouvrier a reçu la même somme. On demande le prix d'une journée d^été.

Soit X ce prix; (x— 2} sera le prix d'une journée d'hiver.

La première fois, l'ouvrier a reçu (13x— 22).

La seconde fois, il a reçu 17 (« — 2) +28.

On a donc Téquation :

En la résolvant, on trouve : s =—4.

Discussion. Cette solution négative vérifie l'équation, et la vérifie seule. Le problème, dont cette équation traduit l'énoncé, ne saurait donc en avoir d'autre.

126 LIVllE II.

Or kl nature de la question exige que la solution soit un nombre positifs puisque ce nombre est négatif j le problème est impossible.

194. Problèmb VIII. Trouver un nopihre de deux chifftes, tel que le quadruple du chiffre des unités surpasse d^une unité le triple du chiffre des dizaines i ei qu'en retranchant de ee nombre le nombre renversé, on ait 36 pour resie.

Soient x le chiffre des dizaines et y le chiffre des unités : on a évidemment les équations:

10«+y— lOy— «=36. f

En résolvant ce système, on trouve :

ar=17, y=]3.

Discussion. Cette solution entière et postu'ce est la seule qui vérifie les équations. Le problème n'en peut donc pas admettre d'autre. Blais^ la nature de la question exige que les deux nombres cherchés soient plus petits que 10 : puisquHls dépassent cette limite, le problème est isnpossible.

Ces exemples suffisent pour montrer que la solution d'un système d'équations peut ne pas convenir au problème qui l'a fourni, parce qu'elle ne remplit pas certaines conditions imposées aux inconnues, conditions qui ne sont pas formellement écrites dans les équations. Mais ce n'est là qu'un des points de vue sous lesquels on peut envisager la discussion dès problèmes. Il en est un autre beaucoup plus important : nous voulons parler des solutiotis négatives et de leur interprétation.

S III. Des solutions négatives des problèmes du premier degré

à une inconnue.

178, SoLunoNs mégativbs des équations. Il n'y a aucune remarque à faire sur les nombres négatifs que l'on rencontre comme solution d'une ou de plusieurs équations. Ces nombres, substitués aux inconnues et traités conformément aux conventions, rendent le premier membre de chaque équation égal au second. Mais lorsque les inconnues représentent des grandeurs à déterminer, il semble que les solutions négatives, n'exprimant aucune grandeur, doivent être considérées comme un symptôme d|impossibililé, et, par suite, rejelêes comme inadmissibles. C'est en effet ce qui aurait lieu, si, dans la mise en équation, on pouvait toujours exprimer, d'une manière générale et pour tous les cas, les conditions du problème proposé. Mais bien

sou^nt il n'an est pas ainai ; et les solutions négatives peuvent trouver alors une interprétation qu'il est important d'étudier.