Considérons d'abord une équation à une inconnue

Supposons qu'en fat résolvant, on iodt trouvé, pour (r, une valeor native — « ; cela signifie que l'on a l'égalité ;

c'est«à-dire, 6 — o« =: f — a'« ;

par conséquent» a?=+« est solution de Téquation :

b—ax=b'^a'x. [2]

Si Ton coQipare les équations [1] et [2], on voit qu'elles ne diilèrent que par le signe des termes qui contiennent l'inconnue.

Ts^OKiliE. TotUe solution négative d'une équation du premier degré à une inconnue j étant prise pitsitivement^ satisfait donc à une équation que fon obtient, en changeant, dans to première, le signe dea termes où figure Vinconnue,

177. Remarque. Il arrive souvent, comme nous allons le OXQntrer, que cette nouvelle équation ' correspond à un problème peu différent du proposé, et quelquefois h ce problème lui-même, entendu dans un sens plus général ; on obtient alors la solution du problème modifié ou généralisé^ en prenant, avec le signe -f fjd no^r négative trouvée pour Vinconnue.

Une pareille remarque ne peut être développée d'une manière générale ; il est essentiel d'étudier, à part, son application dans chaque question particulière. C'est ce que nous allons faire dans les problèmes suivants.

1 78. PiOBLiia IX. Veua mohUet M et N, qui suivent une ligne droite^ parient de deuas poinU ketB, tifués à um distance d Vun de Vautre (A à gauche, B à drotfe) ; ils marehenty dans le même sens, de gauche à droite, avec des vitesses T et y. Après combien de temps se rencontreront-ils ?

Soit 9 le temps cherché ; le premier mobile^ dont la vitesse est v, parcourt un espace v dans l'unité de temps , et par suite , dans le temps », il parcourt vw; le second, pendant le même temps, parcourt l'espace v'x. Puisqu'ils partent en même temps, il faut, pour qu'ils se rencontrent, que le premier ait parcouru un espace d de plus que le second; on doit donc avoir Téquation :

vx—v^x=^d; [1]

d d'ça Von déduit : «= - — y .

Discussion. Si « est plus grand que t/, cette valeur de x est positive et fournit la solution demandée. Hais si v est moindre que if, cette solution est négative. Pour l'interpréter, remarquons que, prise positivement, elle satisfait, en vertu du théorème (176), à l'équation :

v'x—vx^d. [2]

Or cette équation exprime évidemment; que le chemin parcouru par le mobile N surpasse de d le chemin parcouru par le mobile M ; et cette condition répond à la question suivante :

En supposant que les deux mobiles soient en marche depuis un temps indéfini, combien y a-t-il de temps qu^ils se sont rencontrés? Car, dans cette hypothèse, la rencontre a eu lieu à gauche de A.

Si donc on veut donner cette extension au problème, la valeur négative de x exprime un temps déjà écoulé.

On comprend d'ailleurs que, si l'on a v < t/, le mobile M, qui est en arrière du mobile N, et qui va moins vite que lui, ne pourra pas le rencontrer ultérieurement, mais qu'il a dû le rencontrer avant l'époque actuelle.

199. Problème X. Les âges de deux individus sont a et b ; après combien de temps Vdge du premier serct-t-il double de celui du second? Soit X le temps cherché ; l'équation du problème est évidemment :

et Ton en déduit : x=a— 2b.

Discussion. Si a est plus grand que 2b , cette valeur de x est positive, et fait connaître la solution. Mais, si a est moindre que 2b, cette solution est négative ; prise positivement, elle satisfait alors (176) à l'équation,

qui correspond évidemment à la question suivante :

Combien y a-t^il de temps que Vdge du premier individu était double de celui du second ?

Si l'on accepte cette extension, la valeur négative de x exprime encore un temps écoulé.

Remarquons que le rapport actuel des deux âges est -r; si donc il est plus grand

que 2 (si a>2b), comme il va en diminuant à mesure que le temps s'écoule, il arrivera une époque où il deviendra égal à 2 : c'est le cas de la solution positive. Au contraire, s'il est actuellement plus petit que 2 (si a<2b), comme il se rapproche toujours de l'unité, il ne sera jamais égal à 2 dans l'avenir : il n*y a donc pas de solution dans ce sens. Mais si, en même temps, a est supérieur à &, il y a eu une époque où le rapport des Ages a été égal à 2 ; c'est cette époque qu'indique la solution négative.

Ajoutons que , si a est inférieur à b, le problème n'a évidemment pas de solution; et Ton voit qu'en effet la formule â;=2b— a, applicable à ce cas, donne à X une valeur plus grande que &, qui n'est pas acceptaJble.

180. Problème XI. On donne sur une droite, deux points ketB: le premier est situé à gauche (ftin point 0, d une distance r^ et le second est situé à

iroUi, à une distance b. Déterminer, sur cette lignes un troisième point X, tel qu*en prenant le milieu M de BX, puis le tiers de IM, à partir de k, le point ditermini eoincide avec le point 0.

Supposons qae le point cherché X soit placé à droite du point 0. Soit 9 la distance OX, que nous prenons pour inconnue. Comme on a é?idemmenty d^près la figure :

& = OM + MB

a: = OM — MX et que MB ^ MX, il en résulte :

r.onc: AM=:aH — -^.

Mais d*après renoncé, AM = 3À0 = 3a.

n en résulte Téquation :

3a = a + ^: flj

d'où Ton déduit : « = 4a — fr.

DisccssiOK. Si h est plus petit que 4a, cette valeur de x est positive, et donne la solution. Mais, si 4a est moindre que b, la solution est négative ; prise positivement^ elle satisfait donc (1 76) à Téquation :

Or cette équation est celle à laquelle on est conduit, en supposant le point X placé i une distance «, à gauche du point 0. Car, en faisant la figure pour cette b\pothèse, on trouve aisément :

&=OM + MB, „,^ h — x b— a?

donc 3a = a + -Y" • [2]

Il résulte de là, que la valeur négative de z, fournie par Véquation [1], doif, dans u cas, être portée dans un sens opposé à celui que Von avait supposé dans la mise en équation.

181. Remarque. Il ne faut pas croire que les solutions négatives s'interprètent toutes aussi naturellement que les précédentes. On ne doit pas même affirmer^ d'une manière générale, qu'une valeur négativûj trouvée pour un temps à voiir^ exprime un temps passé; ni que les longueurs négatives, à porter sur une ligne, àpartir d'une origine fixe^ doivent toujours tire comptées en sens op- Alo. b. !'• Partie. 9

posé à celui qui correspond aiucvakurs positives. Il en est cependant ainsi dans la plupart des cas ; ei naos allons en donner la raison.

182. Pourquoi l'on doit compter dans le passé les valeurs NÉGATIVES DU TEMPS. Sapposons quc, X désignant le temps qui doit s*écouler depuis Tépoque actuelle jusqu'à un certain événement, on ait trouvé, pour Féquation d'un problème :

B + Aaj=B' + A'a?. [1]

Si, au lieu de chercher le temps qui doit s'écouler à partir de l'époque actuelle, on avait cherché le temps qui doit s'écouler à partir d'une époque antérieure de ( années ; si, par exemple, on avait pris pour inconnue la date de l'événement, en nommant Xi ce temps, on aurait évidemment :

a?j=«4"^î d'où a?=^a?i — I; et, par suite, au lieu de l'équation [1], on aurait eu :

et ce serait là Téquation du problème, si l'on prenait Xi pour inconnue.

Supposons que la valeur de x^^ que Ton en déduit, soit positive, mais moindre que «, et égale, par exemple, h{t — «) ; on aura, en la substituant dans l'équation [2], l'égalité :

B— Aot = B'— A'a;

par où l'on voit, que l'équation [1] a pour solution : a?= — a.

Une solutionnégative, x=^ — «, trouvée pour Véquation [i], siçnifie donc, que V événement est postérieur de (t — a) années à une •époque antérieure de t années à V époque actuelle^ c'est-àrdire qu^il précède de a années Vépoque actuelle.

i85. Remarque. L'équation [I] est construite, par hypothèse, pour des valeurs positives de x : par conséquent, l'équation [2] est construite pour des valeurs de x^ plus grandes que t, c'est-àdire pour des époques postérieures à l'époque actuelle. En appliquant cette dernière, comme nous l'avons fait, à une époque antérieure, nous avons fioiit une hypothèse qui pourrait n'être pas admissible. Le raisonnement précédent n'est donc pas tout •à fait général.