PREMIÈRE PARTIE

NOTIONS PRELIHINAIRES.

i. DirrainoN de l'algâbre. — L'algèbre a pour objet (t abréger y de simplifier et surtout de généraliser la résolution des questions que l'on peut se proposer sur les nombres.

Pour atteindre ce but, l'algèbre emploie les lettres et les signes,

2. Emploi des lettres. — Les lettres représentent les nombres. Au lieu de raisonner et d'opérer, comme en arithmétique, sur des nombres particuliers désignés d'avance, on raisonne et on opère, en algèbre, sur des lettres a, 6, c,... a?, y.... Par suite, les démonstrations que l'on donne et les règles auxquelles on anÎTe, s'appliquant à tous les nombres indistinctement, sont générales.

3. SiGziES ALGÉBRIQUES. — Lcs uombrcs devant rester indéterminés, on ne peut pas effectuer les opérations, et il faut se bor* ner à les indiquer à l'aide de certains signes abréviatifs.

Les signes usités en algèbre sont les suivants :

+ est le signe de l'addition ; il se prononce pltis: 7 -f- ^ indique

la somme des deux nombres 7 et 5.

— est le signe de la soustraction ; il se prononce moins: 7 — 5

indique la différence entre les deux nombres 7 et 5.

Alg. B. I~ Partie 1

X est le signe de la multiplication ; il se prononce multiplié par; 4X5 indique le produit des deux nombres 4 et 5. On indique aussi la multiplication par un point; ainsi Ton écrit 4.5. On supprime souvent ces signes, lorsque les nombres sont représentés par des lettres ; et Ton se borne & indiquer la multiplication, en écrivant les facteurs l'un après Tautre, ab au lieu deax^, ou de a.b. Cette simplification ne peut être adoptée pour les facteurs numériques; car elle conduirait, par exemple, à représenter de la même manière le nombre 54 et le produit 5X4.

: signifie divisé par; 5 : 7 indique le quotient de la division du nombre 5 par le nombre 7. On indique aussi les divisions en écrivant le diviseur au-dessous du dividende, et en séparant les

deux termes par une barre horizontale; - indique le quotient

de la division de 5 par 7.

Lorsque les divers facteurs d'un produit sont égaux entre eux, on se borne à écrire Tnn deux, en plaçant à droite et au-dessus de lui rindication du nombre des facteurs égaux que Ton doit multiplier ; ainsi a* représente a X a, ou le carré de a; a' représente aXoXa, ou le cube de a; oT représente le produit de m facteurs égaux à a, ou la puissance mT de a. Le nombre des facteurs égaiix reçoit le nom d'exposant.

v/" indique la racine carrée ; /T" indique la racine carrée du nombre 7. On indique les racines cubique, quatrième.... de a, par \/a, \fa... En désignant par m un nombre entier quelconque, v/â indique la racine m"* de a, c'est-à-dire le nombre qui multiplié (m — 1) fois par lui-même, reproduit a.

= exprime l'égalité des expressions placées à droite et à gauche de ce signe ; a = ft exprime l'égalité des deux nombres représentés par a et h.

> s'énonce pluiS grand que; o>6 exprime que le nombre désigné par a est plus grand que le nombre désigné par h.

< s'énonce plus petit que; a<Cb exprime que le nombre désigné par a est plus petit que le nombre désigné par b.

Lorsqu'on place une expression entre deux parenthèses, il faut regarder comme effectuées les opérations qui y sont indiquées, et la parenthèse comme exprimant le nombre qui en résulte. Ainsi l'expression 1 9— (4 -f 2— 1) indique l'excès de 1 9 sur

NOTIONS PR£LIMINâIBBS. 8

le nombre (4+2—1), c'est-à-dire sur 5. De môme l'expreasion (a+6) (c — d) indique le produit de la somme des nombres représentés par a et 6 et de la différence des nombres représentés pareet d.

Lorsque, dans une question, certaines quantités ont été représentées par des lettres, on représente souvent des quantités analogues par les mêmes lettres, en leur donnant un ou plusieurs occcnto, ou en lesaCfeclant de certains indices numériques.

Ainsi on écrit a, a', a", a*, . . .

et l'on énonce a^ a prime, a seconde, a tierce...,;

ou bien Ton écrit a, ai, a,, a„. ...

et Pou énonce, a, a indice 1, a indice2, a indice 3....

Montrons maintenant, par quelques exemples, comment remploi des lettres et des signes abrège et généralise les solutions«

4. Emploi des signes comme moyen D'ABRéviATiON. — On bropose de partager 540' entre trois personnes, de telle sorte que la part de la première surpasse la part de la seconde de 48', et que la part de In seconde surpasse la part de la troisième de 75'.

Le problème serait résolu, si Ton connaissait la troisième part. Or la seconde vaut la troisième augmentée de 75'.

La première, valant la seconde augmentée de 48', vaut, par suite, la troisième augmentée de 76' et de 48', c'est-à-dire de 123'.

Les trois parts valent donc, en somme, trois fois la troisième, plus 75' el 123', c'est-à-dire plus 198'.

Comme la somme à partager est 540', en retranchant 198' de 540', ce qui donne 342', on obtient trois fois la troisième part.

La troisième part est donc le tiers de 342', ou 1 14'.

Par suite, la seconde, qui vaut 75' de plus, est égale à 189'.

Et la première, qui vaut 48' de plus que la seconde, est égale

Comme vériGcation, on remarque que la somme des trois nombres 237, 189 et 114 est bien égale à 540. Employons maintenant les signes, et représentons par une

lettre x la part de la troisième personne : nous formerons le tableau suivant :

Part de la troisième personne x

Part de la seconde a;-f- 75

Part de la première «+75+48, ou aî+ 123

Somme des trois parts.. a?+a?+75+a?+l23, ou 3a?+ 198

On a donc. 3â? + 198==540.

Si de ces deux quantités égales on retranche 198, les restes sont égaux, et l'on a

Zx=^ 540 — 1 98^ ou 3a? = 342.

Parsuite a?=-r-, ou a?=ll4.

On voit aisément comment l'emploi des signes et de la lettre x, pour représenter l'inconnue, abrège et facilite la solution du problème.

tt. Emploi des lettres comme motende GÉNÉRAiJSAnoN. — La méthode que nous venons de donner ne nous fournit qu'un résultat isolé. Rien, dans ce résultat» ne nous indique les opérations & faire pçur déduire des données la solution demandée : et si nous voulions résoudre le même problème, en changeant ces données, il nous faudrait recommencer le raisonnement et le calcul pour obtenir la solution nouvelle. Mais si l'on représente les données par des lettres, les calculs ne peuvent plus s'effectuer; et le résultat obtenu fournit la marche à suivre ^pour résoudre numériquement tous les problèmes de même espèce.

Reprenons, en effet, le problème précédent; et désignons par n le nombre à partager, par ck l'excès de la première partie sur la seconde, et par d, l'excès de la seconde sur la troisième. En répétant sur ces lettres les raisonnements du n*" 4, nous formerons le tableau suivant :