Première partie a?+d| +d

Somme des trois parties 3ar + 2(i| + di.

Puisque, d'après renoncé, n est le nombre à partager,

3a?+2dj + di = n.

Soostrayant di et 2ds des deux membres,

3a?=n — di — 2d„ et divisant par 3,

Ce résultat nous apprend que, pour trouver la troisième part y U fauty du nombre à partager^ soustraire successivement la première différence et deux fois la seconde, puis diviser le reste par 3.

On a ainsi une règle générale pour résoudre tous les problèmes de cette espèce, c'est-à-dire tous ceux dont l'énoncé ne variera que par la valeur numérique du nombre à partager et par les différences successives de ses parties.

6. Formules algébriques. — Les expressions telles que [Ij qui indiquent la série des opérations à effectuer pour résoudre une question, lorsque les nombres donnés sont représentés par des lettres, se nomment des formules.

On dit quelquefois que l'algèbre est la science des formules.

7. Utilité des formules. — L'avantage qu'il y a à renfermer ainsi, dans une formule générale, un nombre infini de cas particuliers, est une chose évidente en elle-même. Il n'est pas inutile cependant de le faire ressortir, dès à présent, par quelques exemples.

Ea premier lieu, l'énoncé des théorèmes généraux se trouve considérablement abrégé, et, par là, plus facile à retenir. Ainsi, au lieu de dire : La somme de deux nombres est la même dans quelgue ordre qu'an les ajoute; le produit de deux facteurs m change pas quand on les intervertit j pour multiplier deux puissances d'un mime nombre, U suffit d^ ajouter les exposants; on écrira :

a-f-6=ô+û, ab = ba, o*Xfl*=û"***;

et pour quiconque connaît la langue tilgébrique, les théorèmes sont tout aussi bien énoncés par ces formules que par les trois phrases écrites plus haut.

En second lieu, remploi des formules simplifie la démonstration des théorèmes. En voici un exemple :

Un mobile se meut d'un mouvement uniforme; sa vitesse, (fest-à"

6 NOTIONS PRCLIMINAIRES.

dire P espace qu'U parcourt dans Punité de temps, est v : qUei sera P espace x parcouru dans un temps t ?

D'après la définition du mouvement uniforme, les espaces parcourus sont proportionnels aux temps ; on a donc :

D'où Ton conclut, en réduisant au même dénominateur,

c'est là la formule demandée.

On en déduit immédiatement les deux nouvelles formules ;

La formule [2] rend évidents les théorèmes suivants :

Dans unr mouvement uniforme, l'espace parcouru pendant un temps donné est proportionnel à la vitesse; pour une vitesse donnée, il est proportionnel au temps ; et, en général, il est égal au produit du temps par la vitesse. ' De la formule [3] on déduit les théorèmes suivants :

Dans un mouvement uniforme, la vitesse est proportionnelle à l'espace parcouru pendant un temps donné; elle est en raison inverse du temps employé à parcourir un espace donné ; et, en général, elle est égale au rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir.

Enfin on conclut de la formule [4] :

Le temps employé à parcourir un espace donné est inversement proportionnel à la vitesse ; lorsque la vitesse est donnée, le tempe est proportionnel à l'espace à parcourir; et, en général, le temps est égal au rapport de l'espace parcouru à la vitesse du mobile.

Chacun de ces théorèmes exigerait une démonstration spéciale plus ou moins développée, si on les abordait directement * ; les formules [2], [3], [4], les rendent évidents pour tous ceux qui connaissent la valeur des locutions, grandeurs proportionnelles et inversement proportionnelles. (Voir YArilhrnétique.).

* Galilée, qai do faisait pas usage de formulés, y a consacré quatre pagesw (Giema$a terMa, deUQtu xquabilû)

NOTIONS PHÉLIHINAIBES. 7

GRoas on autre exemple. On démontre en géométrie les théorèmes suivants :

1* Deux circonférences sont entre elles comme leurs rayons :

en d'autres termes, il existe, entre une circonférence G et

son rayon R, un rapport constant 2it ; on a, par conséquent,, la

formule

C=2icR. [5]

2<» Deux cerclés sont entre eux comme les carrés de leurs rayons.

3* Un cercle a pour mesure le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon ; en d'autres termes» sa surface S est

mesurée par le produit C x ^ » ^t ïon a

S = CxJ=2irRx5=icR». [6]

Or cette dernière formule rend évident le second des théorèmes énoncés, « la surface d'un cercle est proportionnelle au carré de son rayon. > On pourrait donc se dispenser d'en faire un théorème distinct des deux autres ; et, surtout, on ne doit pas en donner une démonstration directe.

Si Ton se bornait à énoncer les théorèmes, sans en réduire les conséquences en formules, cette dépendance des propositions ponneil rester inaperçue.

8. Classification des formules. — On nomme eœpressùni ou quantité algébrique^ un ensemble de lettres et de nombnes réunis par quelques-uns des signes des opérations. Les expressions at« gébriques peuvent comprendre Tindication des six opérations : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction des racines. Ainsi

est une expression algébrique.

Une expression est rationnelle^ quand aucune extraction de racine n'y est indiquée. Des deux expressions

la première est rationnelle, et la seconde irrationnelle.

Une expression rationnelle, qui ne contient Tindication d'au* cune division est dite entière. Des deux expressions

la première est entière et la seconde est fractionnaire.

Une expression, qui ne contient aucune indication d'addition

ou de soustraction, se nomme monôme. Par exemple, les exprès*

sions 13a'&^c, - ^M/» sont des monômes.

On distingue dans un monôme le coefficient, les lettres et leurs

exposants. Le coefficient est le facteur numérique qui précède

Texpression : il porte sur la quantité tout entière. Dans les

exemples cités, 13 et -sont des coefficients : ils indiquent que

les quantités a'6Vy et a;*v doivent être respectivcmentmullipliées

par 13 et par -. L'exposant n'afiecte que la lettre au-dessus de

laquelle il se trouve. Ainsi l'expression 13a'6^c est l'indication abrégée du produit

aXaXaX&XtXfrX&XcXlS.

Quand un monôme n'a pas de coefficient, quand une lettre n'a pas d'exposant, on doit les considérer comme ayant le coefficient 1 ou Texposant 1 .

Lorsque plusieurs monômes sont réunis par les signes-}- ou — , Texpression est un polynôme, dont ils sont les termes. On considère ordinairement, comme faisant partie d'un terme, le signe qui le précède. Ainsi, dans le polynôme

les termes sont 8a;*, — 5ar', -}-6a'a;, — 4a*.

Un terme qui n*a pas de signe est considéré comme ayant le signe-}-. Les termes affectés du signe -|- sont Aiis positifs; les termes précédés du signe — sont dits négatifs.

Un polynôme se nomme binôme^ quand il a deux termes ; trinome, quand il en a trois, et ainsi de suite.

On nomme degré d'un monôme entier, la somme des exposants des lettres qui y entrent. Ainsi l'expression 7a*6"c est un monôme du 6* degré.

MOTIONS PRSLIMINAIRES. 9

On dit qu*un polynôme entier est homogène^ lorsque tous ses termes sont du même degré : ce degré est le degré d'homogénéité du polynôme. Ainsi l'expression 5a?* — 3a6a?"+4ac*a? — 2a*6c est UD polynôme homogène du 4« degré.

9. La valeur numérique d'une expression .algébrique est le nombre que l'on obtient, quand on remplace les lettres qui y entrent par les valeurs qui leur sont attribuées, et qu*on effectue les opérations indiquées par les signes. Réduire une expression algébrique en nombre^ c'est trouver sa valeur numérique.

Il suit de la définition précédente, que l'on peut regarder la valeur numérique d'un polynôme comme étant la différence entre la somme des valeurs numériques des termes qui sont précédés du signe -f- , et la somme des valeurs numériques des termes qui sont précédés du signe — .

S*il arrivait que la seconde somme l'emportât sur la première^ le polynôme n'aurait pas de signification. On verra bientôt comment on doit cohsidérer de pareils résultats.

10. Termes semblables : leur réduction. — On dit que des termes sont semblables dans un polynôme, lorsqu'ils sont composés des mêmes lettres, et que ces lettres sont affectées des mêmes exposants. Par exemple, -{- 15a*6*c, — la^b% Deux termes semblables ne peuvent différer que par le coefficient et par le signe.

On peut toujours réduire des termes semblables en un seul. £n effet, si l'on rencontre dans un polynôme deux termes semblables positifs, par exemple, 4- 7a»6 + 9û'6, on peut les remplacer par le terme unique 4- 16a'6. Si les deux termes sont n^atifs, comme — 7à^b — 9a'6, on peut leur substituer le terme — 16a*6. S'ils sont de signes contraires, comme -f- 9a*& — 7a*6, cette différence équivaut à -}- 2^'^* S'il s'agit de l'expression -j- 7a*6 — 9a*6 , il est évident qu'on peut la remplacer par le terme — 2a* b.

Ainsi, pour réduire plusieurs termes semblables en un seul, on fait la somme des coefficients des termes précédés du signe -|-, puis la somme des coefficients des termes précédés du signe — ; (m retranche ensuite la plus petite somme de la plus grande^ et ton met devant le reste le signe de cette dernière somme. Enfin on

10 NOTIONS PRÉUMINAIEES.

fait suivre ce coefficimi de la partie lUtiraU commune à tous les termu.

Par exemple le polynôme

se réduil à lùaV — Oofr*.

ii. ExpRsssioifs éQuiVALEirres. On dit que deux expressions algèbriqnes sont équivalentes, lorsqu'en y remplaçant chacune des lettres qu'elles renferment par une valeur particulière, choisie arbitrairement, elles prennent des valeurs numériques toujours égales entre elles. Ainsi les deux expressions (a-f b)* et a*-|-2ad+6* sont équivalentes.

12. Opérations algébriques. Puisque toute quantité algéhrique doit être considérée comme un nombre, on définit les opérations algébriques de la même manière que celles qui portent le même nom en arithmétique. Mais les opérations algébriques se &isant sur des lettres, il est impossible de les exécuter jusqu'au bout, et Ton doit se borner à les indiquer.

Aussi le calcul algéinique consiste^hil seulement à transformer une formule en une autre plus simpUy mais équivalente.

Par exemple, quand on substitue a^ au produit a'xa*, ou

a+6 à Texpression \^a*+2a6+&*, on fait une opération algébrique : et l'on dit quelquefois que Ton effectue le produit de a' par a*, ou Textraclion de la racine carrée de l'expression