CIENT DE X DANS L'UNE DES ÉQUATIONS ET CELUI DE ]/ DANS L'AUTRE
soi?T ÉGAUX k ZÉRO. Supposous par exemple :
oô'— 6a' = 0, a=0, 6'=0.
lien résulte, que ia'=0, c'est-à-dire que le second coefficient
de l'une des inconnues est nul aussi. Soit b=0; alors les formules deviennent :
0 — ca' -
et les équations, 0=^, a!x=(:f.
Si donc ni e ni a/ ne sont nuls, la première équation est absurde; et il y a imposHMlUi, laquelh se manifeste par les formes
simultanées - et — .
Sic est nul, la première équation est identique ; la seconde détermine (v; il y a une indétermination partidlej laquelle se manifeste par la forme 't*
Si a' est nul, il y a impossibilité, bien q]ae les formules se présentent toutes deux sous la forme -•
222. Tableau DE la discussion. On peut résmner la discussion précédente dans le tableau suivant :
• Hi 1. ofr'— bo'^0 j«==--rT--7-;, y— -rj^^^^r une solution déterminée.
cd 1
c < lac' — ca'^0,«= — - — ,y= — - — ; impossibilité.
^\ n. ov— to'=o l 0 0
c(f— ea'=z 0,jf= -, y ~Â> ii^déterminaiion.
cf ^ 0,»= — —f y ^-— ; impossibilité.
c' = 0,»=r, V^» indétenninalîon .
o^— ea'^0,«=-, y= — ; impossibilité.
^< ./^ / loc'— ca' = 0,x=--, y =:-;indéterm*"^ partielle.
^ l 1 / •^ %.^ G ca'
I ^ ^Oi<*'^0»*==i;» y= — TTi imi ossibilité.
I b'=o i ^ ~ ^» •= "7i y =/ï» ïûdctenn' •■partielle.
li "' a"' 0'
^ ^. '^«'=0, •=:5,y=-. impoMibilité.
I 225. Cas où c et c' sont nuls a la fois. En dehors des cas que nous venons d'étudier, on discute encore celui où les termes
tout connus, c et (f, sont nuls à la fois. Les formules se présentent sous la forme :
Par conséquent , si ofr' — bcf n*est pas nul, on a : x =r o, y = 0.
HaiSy si ab' — ba' = 0, les formules deviennent : a? = - , y = - .
Pour interpréter ces résultats, remontons encore aux équa* lions. Elles sont, dans, ce cas :
ax'\' by = 0^ a'x+b'y=rO;
et elifis peuvent s'écrire :
DoDC, sî - n'est point égal à —, , c'est-à-dire , si (ab' — ba') n'est pas a a
nui, ces équations n'ont (Tautre solution que\=0, y=o. Mais
si - = ->, (fest'à'dire^ si ab' — ba' = 0, tes detÂX équations rentrent a a
Tune dans F autre; il y a indétermination, laquelle se manifeste par la forme ^. Il faut remarquer que, dans ce dernier cas, le rapport des inconnues est déterminé; car on a :
S m. Discussion sommaire des formules générales de résolution d*un système de trois équations à trois inconnues.
SS4. Formules cÉiféRALfis. Une équation du premier degré à trois inconnues x^y^z^ne peut renfermer que quatre espèces de termes, savoir : des termes en x, des termes en y, des termes en Xj et des termes tout connus. Le système des trois équations pourra donc toujours se ramener à la forme :
ax-^-by 4-c«=*,
a'x + b'y+<fz=kf, l [1]
(^x+b''y+<fz=k:\
Employons, pour le résoudre, la méthode de Bezout (IM); multiplions la première équation par X, la deuxième par X', et ajoutons membre à membre les produits et la troisième :
{ak+ark'+a'')x+{b\ + VV + h')y+{ck + cr + cr)z
z^kk + kr + k". [î]
Posons ensuite :
d*où nous tirons :
cb' — bd ' ^ cV-^bd '
et, substituons ces valeurs dans Téquation [I], nous trouvons, tous calculs faits :
^— ab'd' — adb"+ca!b"— 6aV'+ bda'—cb'cf'
On trouverait, par un procédé analogue, les valeurs de y et de z. Mais il vaut mieux remarquer que si, dans la preniière équation, on change a; en y, y en -ç et * en a, puis o en ft, ô en c et c en a, cette équation devient : 6y + ^* + ^=*i ^'^^^" à dire qu'elle ne change pas. La même observation s'applique aux deux autres. Par conséquent , on aura y en faisant ces permutations dans la formule qui donne x, et Ton aura z en les opérant ensuite dans la valeur de y. On reconnaît ainsi que le dénominateur ne change pas, et Ton trouve le système de solutions :
kb'd' -^ kdb" + ckV — bkV + bdW — cbV
^ — abV—adb'' + ca'b" — baV + bda' — cb'tf ' akV-^adk'+ca'k'^ka'd'+kdat'-^ckcf ab'd'—ac'b'+ca'b"—baV+bda''-'Cb'ar' ^ ^^^ ^ abV-^ak'b"+ ka'l/'- ba'k"+ bkV— kbV
Ces formules ne sont légitimes que si le dénominateur commun n'est pas nul. On vérifie d'ailleurs aisément que, dans ce cas, elles satisfont aux équations [1].
2fitt. Règle pour composer les formules. Pour former le dénominateur commun, on considère les deux permvXaliom ab et
DES ÉQUATIONS î)U PREMlEfi DEGUÉ. 161
ba; on place dans chacune la lettre c successivement, à aroile, au miheu et à gauche ; ce qui donne :
abc, acbj cabj et bac, bca, cba.
Pais on affecte la seconde lettre d'un accent, et la troisième de deuï accents. Enfin on donne alternativement les signes -f- et — aux différents termes. On a ainsi :
D = ab'cf — acV + ca'b'' — ba'c" + 6c V — cb'aT
On peut encore former le dénominateur commun d'une autre manière. On remarque, en effet, qu'on peut récrire :
li^a{bV—c'b") + b{c'ar—a'(f') + c{aV'^b'ay,
il est donc la somme des produits que Ton obtient, en multipliant respectivement les coefficients a, 6, c de la première équation par les différences {b'cT — c'6"), {c'ol' — a!<r), {aV—b'd'). On forme d'ailleurs ces différences, en mulliplianl en croix les coefficients des deux autres équations qui ne correspondent pas à la même inconnue que celui qu'on a choisi dans la première. Ainsi, les coefficients étant disposés comme il suit :
on prend pour multiplicateur de a, (6'c'' — cV), x ; on prend
ensuite pour multiplicateur de 6, {c' a!* ~~ a! d*) , X ; on prend
enfin pour multiplicateur de c, {aV — 6'a"), x . On doit.re-
marquer avec soin, que la croix, formée par les lignes qui réuniraient les facteurs que l'on multiplie, doit être composée alternativement dans des sens opposés, comme l'indiquent les figures. Lorsque le dénominateur commun est formé, on oblient le numérateur de chaque inconnue, en remplaçant, dans ce dénominateur, le coefficient de l'inconnue par le terme tout connu de l'équation correspondante, c'est-à-dire en substituant kj k'^ k'\ à a, a', (f , s'il s'agit de a? ; à 6, b\ V\ s'il s'agit de y, et à c, c', c*', s'il s'agit de 2f.
226. Discussion. Lorsque D n'est pas nul, le système a une solution unique et déterminée, fournie par les formules [3]. On Alg. B. I»« Partie 11
n'a donc à examiner que le cas où D=0. Or, Téquation [2], appliquée successivement à la détermination des valeurs de x^ de y et de x, donne :
Da? = m, Dy = n, Dz=p.
Si donc D = 0, et qu'une au moins des quantitis m, n, p ne soU pas nulle^ Fêquation correspondante est impossible. Le système est
donc impossible; et VimpossibUité se manifeste par la forme -rr-,
qu* affecte au moins Vune des inconnues.
Si, au conlraire, on a à la fois, D = 0, m = 0, n:=0, p = o> les équations sont satisfaites, quels que soient x, y, z; le système
est indéterminé, et r indétermination se manifeste par la forme -, commune aux trois inconnues.
227. Cas où les seconds membres des ÉQUAnoNs [1] sont nuls. Examinons enfin le cas où les équations proposées ne contiennent aucun terme indépendant des inconnues : on peut les considéi'er alors comme ayant lieu entre les rapports des incoonues ; et il suffit, pour déterminer ces rapports, d^avoir une équation
de moins qu'il n'y a d'inconnues. En effet, si nous considérons les deux premières équations :
ax -\-by -^-cz = 0, a'x-\'b'y-{'C'z=0^
elles peuvent s'écrire de la manière suivante :
et l'on en déduit :
X c'b — Vc
'z~ab'—ba''
y a'c — (fa
z ab' — ba^'
Si, maintenant, on complète le système par la troisième équa* tion. et qu'on y substitue à a; et y leurs valeurs en z^ tirées des
X y rapports -, -, on trouve :
DES EQUATIONS DU PR£U1ER DEGRË. 103
Donc, si D n'est pas nul^ il faut que Von ait : z = 0 ; e< par suite xr= 0, y = 0. G*^est la solation dans ce cas.
5i D = 0, la dernière équation est vérifiée , quel que soit z\ elle est une conséquence des deux premières \Uy a donc indi-
krmmaAion ; et ceit» inditerminatiofi se manifeste par la forme -
que présentent les formules générales ; mais les rapports des inoai^ mes restent déterminés.
S lY. DiacuttioA du problème des courcien.
288. Problème. Nous terminerons ce chapitre par la résouiion d*un problème dont la discussion résumera tout ce qui a été dit plus haut ; nous y trouTerons une application remarquable de la théorie des quantités négatives, el nous y rencontrerons aussi les différents cas d'impossibilité et d*indétermina* tioQ dont nous avons parlé.
Deux courriers M et M' parcourent une droite indéfinie XX', dans te ^ens XX', avec des vitesses v et V ; le courrier M passe en un point A de cette ligne, h heures avant que le courrier W ne passe en un autre point A'. La distance A A' s= d. On demande le point de rtneontre des deux courriers.
ir A R' A' Il
Le point de rencontre cherché peut être, soit en R à droite de A', soit en R' entre A et A', soit en R*' à gauche de A ; sa position dépend des nombres v, v\dj h. Il est donc indispensable de distinguer plusieurs cas.
220. !•» Cas. On suppose y '^V, et d>vh. Gomme le courrier M parcourt v kilomètres à Theure, il parcourra vh kiIo«> mètres en h heures ; par suite , lorsque M' sera en A', M sera à une dislance vh du point A. Ainsi la condition d>vh signifie nu*à ce moment, H ne sera pas encore arrivé en A'; il sera donc eu arrière de M'; or il va plus vite que lui, puisqu'on a t;>>t;' ; donc il le rejoindra à droite de A'.
Gela posé, soit R le point de rencontre : prenons pour in* connue la distance A'R z=z x. Le courrier M parcourt la distance
d4-x AR = d+ic, dans un temps ; le courrier M' parcourt la
distance A'R = a?, dans le temps ->• Or, d'après Ténoncé,
M part de A, h heures avant le moment où M^ part de A'; donc M met h heures de plus que M' pour parvenir au point R. Donc on a l'équation :
En résolvant celte équation (on a soin de faire passer les fermes inconnus'dans le second membre, pour n'avoir pas à considérer des nombres négatifs), on trouve la formule :
v'id—vh) x=— r^. [a]
230. 2« Cas. On suppose v<v', d<vh. Dans ce cas, au moment où le courrier M' est en A', le courrier M a dépassé ce point, puisque Ton a vhy>d\ il est donc alors en avant de M'; et comme il va moins vite que M', puisque v<u', il sera rejoint par lui à droite de A'. Le point de rencontre est donc dans la même région A'X' que dans le cas précédent. L'équation du pro» blême est donc la même [1]. Mais, pour éviter l'emploi des nombres négatifs, on résoudra cette équation en faisant passer les termes connus dans le second membre ; et l'on trouvera :
231. 3* Cas. On suppose v>v', d< vh. Dans ce cas, le courrier M, au moment où M' est en A', a dépassé ce point, puisque t;/i>d; mais il va plus vite que M'; donc la rencontre ne peut pas avoir lieu à droite de A'. On comprend , d'ailleurs, qu'elle a dû avoir lieu à gauche, avant l'époque considérée, puisque les vitesses sont inégales et la route indéfmie. Mais alors deux cas se présentent : le point de rencontre est-il en R' entre A et A', ou en R" à gauche de A ?
Supposons-le d'abord en R', et représentons par x la distance A'R' : la distance AR' sera égale à (d— x). Pour trouver, dansée
cas, réquation du problème, on peut considérer le courrier M comme partant du point A à un certain instant^ et parcourant
la distance AR' dans un temps ; au bout de ce temps, il
rencontre le courrier M', qui, partant alors de R', parcourt la
CD
distance R'A' dans un nouveau temps -7. Ainsi, lorsque ce dernier arrive en A', il s'est écoulé un temps— ^^ — 1-—„ depuis que M est parti de A ; et l'équation est :
Supposons maintenant le point de rencontre en R''. Désignons par X la dislance A'R" ; la distance AR"sera {x — d). On peut supposer ici que les deux courriers parlent ensemble du point R" ;
le conrrier M arrive en A après un temps , et le courrier M'
parvient en A' après un temps -;• Et comme, d'après l'énoncé,
M' a employé h heures de plus que M, l'équation est :
Or on voit aisément que les équations [2] et [3], quoique obtenues par des raisonnements différents , sont identiques ;
car , en séparant les termes - et - , elles deviennent toutes
deux :
Ainsi, quand le point de rencontre est à gauche de A', sa position, quelle qu'elle soit, est fournie par l'équation [2j.
Si l'on résout cette équation, en ayant soin de laisser les termes inconnus dans le premier membre, on trouve :
v'{vh-à)
252. 4* Cas. On suppose v<v', d>vh. Dans ce cas, le courrier M n'^st pas encore en A', quand le courrier M' s'y trouve,
puisque vh<d. Ainsi M est alors ea.aiTiire de H' ; et comme il va moias vite que lui, il oe le rejoindra pas à droite de A^ Mais, puisque les vitesses sont inégales, la rencontre a dû avoir lieu à gauche.' L'équation du problème est donc encore l'équation [2]. fieoleaient, pour la résoudre, on fera passer les termes inconims dans le second membre, et l'on trouvera la formule :
233. Discussion. L'équation [1] et les formules [a] et [p] conviennent aux cas où le point de rencontre se trouve à droite du point A'. Or les deux formules [a] et [p] ne diffèrent pas Tune de l'autre, si l'on continue à admettre les conventions (41) ; car leurs numérateurs sont égaux et de signes contraires, ainsi que leurs dénominateurs. On peut donc supprimer la formule [p] et ne considérer, pour les deux premiers cas, que la formule [a].
L'équation [2] et les formules [y] et [o] s'appliquent aux cas où le point de rencontre est à gauche du point A'. Or ces deux formules sont aussi,idfintiques, en vertu des . conventions [41]. Donc on peut se contenter de la formule [y] pour les deux derniers cas.
D'un autre côté, l'équation [2] ne diffèfe de l'équation [1] que par le changement du signe de x\ et les formules [a] et [7], ayant des dénominateurs égaux, et des numérateurs égaux et de signes contraires, donnent pour rr, en vertu des conventions (41), des valeurs égales et de signes contraires.
Donc V équation [1] et la formule [a], qui la résout^ s'appliquercfnt aux quaXre cas, pourvu que Von convienne de porter à gauche de A! la langueur mesurée par la valeur de x , lorsque ceUe-ci sera négative,
S34. Cas particuxjbrs. Nous .avons supposé jusqu'ici , que l'on a V ^ v% d ^ vh. Examinons maintenant les cas où ces inéigalités se ti*ansfarmefit en égalités.
1» Si d = vh, sans que y soit égal à V, la formule [a] donne : x=0\ c'est-à-dire que la distance du point de rencontre au point A' est nulle, ou que les deux courriers sont ensemble en X\ On voit, à priori^ qu'il doit en être ainsi : car, puisque vh=d, Jil arrive en A' en même temps que tt'; et, puisque les vitesses sont inégales, ils ne sont ensemble qu'en œ point.
2* 5î V = v'y sans que d soit égal à yh, la formule [a] donne :
ar= — i. Cette forme est (213) le symbole de Timpossibi-
lité. On doit donc affirmer que, dans ce cas, ks courriers ne se rencontreront jamais. (Test ce dont il est facile de se convaincre à priori; car, puisque d n'est pas égal à vA, les courriers ne sont pas ensemble au point A'; et, puisqu'ils ont la même vitesse» la ëislaiice qui les sépare est toujours la même.
3^Sîrona,àto/b«;v=v', d=vh, la formule [a] donne: a? =-.
Cette forme est ordinairement le symbole de l'indétermination. On peut donc penser que, dans ce cas^ les deux courriers sont toujours ensemble. Mais il faut le vérifier à priori, et cela est facile; car, puisque d=i vh, ils sont ensemble au point A'; et, puisque leur vitesse est la même, ils ne se sépareront jamais.
Ainsi, mAme dans les cas particuliers où l'équation e^ la formule cessent d'eiister, on peut donner aux symboles que l'on rencontre.uae interprétation qui fournit la solution véritable.
235. Nous ne pousserons pas plus loin la discussion de ce problème ; nous en avons dit assez pour indiquer la marche h suivre. Nous engageons le lecteur à faire d'autres hypothèses : par exemple, à supposer que le courrier M' marche de X'vers X, ou que le courrier H passe en A, h heures après que le courlîertl' est passé en A'. En construisant directement, pour chacune de ces hypdthèses, Téquation et la formule qui la. résout, il trouvera toujours que l'équation [1] et la formule [a] sont applicables, pourvu qnll regarde comme négatives les grandeurs dont il aura changé le sens.
EXERCICES
I. Quelle relation faut-U supposer entre A, B, A', B'^ pour que l'expression i
À* ■«/> ^^ une valeur indépendante de «?
A B n &ut que Ton ait : 7-, =^, ou bien B=0, B'=0.
n. QueUes relations faut-il supposer entre A, B, G, A', B', C, pour que rez«
pression pp—^~^^^ y ait une valeur indépendante à la fois de x et de y
Il faut que Ton ait ; T'^w^C''
On demande encore, si l'expression peut être indépendante de Xf sans 1 être de y. Non.
m. Trouver une progression par différence, dans laquelle il existe un rapport constant entre la somme des x premiers termes , et la somme des kx termes suivants; k étant donné, et x pouvant prendre toutes les valeurs entières.
Il y a une infinité de progressions qui répondent à la question. Ce sont celles dont la raison est double du premier terme.
lY. Discuter les formules de résolution de tiois équations à trois inconnues. On distinguera les cas suivants :
1** Les deux premières équations peuvent être incompatibles, quelle que soit la troisième.
On trouvera, pour cela, les conditions : -7=^= - , et bl^—kh'^0.
T* Les deux premières peuvent être incompatibles avec la troisième. Il faudra, pour cela, que le dénominateur commun soit nul, et que le Numérateur d'une des inconnues ne le soit pas. 3** Les deux premières équations peuvent rentrer Tune dans l'autre.
Il faudra, pour cela, que l'on ait : -y=rj=:-;=p.
4* La troisième peut rentrer dans les autres
Il faut, pour cela, que le dénominateur commun soit nul, ainsi que le numérateur d'une des inconnues.
V. Déterminer les conditions nécessaires e( suffisantes, pour que le problème du n" 190, relatif à des réservoirs qui sont remplis par des robinets et par la pluie, devienne impossible ou indéterminé. On rendra compte, à priori, de l'impossibilité ou de rindctermination.
Il s
On trouve que la condition d'impossibilité est — = -,; et que si, en outre, on
fv s
a : vtft'=ffst, le problème est indéterminé.
