Formule générale. Une équation du premier degré à

une inconnue ne peut renfermer que deux sortes de termes,

savoir : des termes qui contiennent l'inconnue et des termes qal

ne la contiennent pas. Si donc on réduit, dans chaque membre,

les termes semblables, la forme la plus générale de l'équation

sera i

ax + b=^a'x + b\ [1]

On en tire: (a — a')a?=6' — 6;

et divisant par (a — aOi on a la formule :

Mais cette formule n'est équivalente à i'équntion [1], que dans le cas où (a — af) n'est pas nul (i24}.

213. Discussion de la formule. Lorsque a' n'est pas égal à a, la formule [2] représente un nombre positif, nul ou négatif, qui, substitué dans l'équation [1] , et traité d'après les règles convenues, rendra le premier membre égal au second. Le seul cas que Ton doive examiner à part est donc celui où {a—a')=^ 0. Mais alors deux hypothèses se présentent :

l"" (a— a') M nul, sans que (b'— b) k soit. La formule [2] donne :

ce qui ne signifie rien. Si Ton remonte à l'équation pour interpréter ce résultat, on voit que, a* étant égal à a, il vient :

ce qui ne peut avoir lieu, puisque b' n'est pas égal à b.

Donc riqiuUion est impossible; et rimpossibilité se manifeste, dans

lafarmuk,parlafonne,x=^.

2"" (a— a*) est nul, en même temps gixe (b'— b). La formule devient, dans ce cas : ^^ 5 >

œ qui ne signifie rien. Si Ton remonte à l'équation, on voit qu'elle devient : ax+b = ax+b.

Donc t équation est satisfaite^ quel que sait x ; et l'indétermination

se manifeste par la forme j x = -•

Ainsi, une équation du premier degré à une inconnue admet une solution unique et déterminée» ou elle n'en admet aucune, ou elle en admet une infinité.

$11. Discussion complète des formules générales de résolution d'un système de deux équations à deux inconnues.

Si4. FoRKULES céNÉRALES. On sût (i45) qu'un système de deux équations à deux inconnues x^ y, peut toujours se ramener à la forme :

aX'\'by = Cy

Appliquons à ce système Tune des méthodes connues; par exemple, la méthode par addition et soustraction. Pour cela, multiplions la première équation par b\ et la seconde par 6, et retranchons le second résultat du premier ; nous aurons :

(06'— 6a>=cy— 6(/; d'où ^=%E^''

Uoltiplions, au contraire^ la première équation par af et la seconde par b\ et retranchons le premier résultat du second; nous aurons :

(aV—ba')y=ac^'^ca'; d'où |/=^|;^|2..

Ainsi, le système [1] a pour solution ie système :

cV — hd ac^ — ça! j.^.

Les formules [2] sont les formules générales de la sotation. Zlles ne sont légitimes qu'autant que {aV — ha!) n*est pas égal à zéro. On vérifie aisément qu'elles satisfont aux équations dans ce cas.

818. RÈGLE POUR COMPOSER LES FORMULES. On Obtient facilement ces formules à Taide des remarques suirantes :

l'' Pour former le dénominateur commun {ab'^bcl)^ on écrit, l'une à la suite de l'autre, les deux permutations ab et ha des deux lettres a et 6, en les séparant par le signe — , et en accentuant la dernière lettre de chaque terme.

^ Pour former le numérateur de la valeur de chaque inconnue, on remplace, dans l'expression {aV ^ hd)^ les coefficients qui, dans les équations, multiplient cette inconnue, par le terme tout connu de l'équation correspondante. Ainsi, pour la valeur de X, on remplace a et al par c et c' : et, pour la valeur de y, on remplace h et V par c et c'.

816. Marche a suivre pour la discussion des formules. Lorsque le binôme (a6' — ha') n'est pas nul , les formules [2] ne donnent lieu à aucune dirflculté ; elles fournissent pour x et pour y des valeurs déterminées. Le système [1] a une sdotion et une seule. Il n'y a donc à examiner que le cas où ab' — &a'=0.

Nous supposerons d'abord que cette égalité ait lieu, sans

qu'aucun des coefGcients a, (, a', </, soit nul ; elle est alors équi*

valente à la suivante :

laquelle exprime que les caefjîcients des deux inconnues ^ dans les deux équations f sont respectivement proportionnels.

Nous examinerons ce que deviennent, dans cette hypothèse, les formules [2] ; et nous chercherons à interpréter les résultats en remontant aux équations [1].

217. Théorème I. Dans le cas owab' — ba' = 0, les numéro- Uurs des valeurs [2] de x et de y sont nuls tous deux à la fois, ou n» sont nuls ni Vun ni Vautre,

Pour le prouver, remarquons que la condition aV — ba' = 0, donne:

donc, si Ton désigne par N« et N, les numérateurs de x et de y. on a, en remplaçant, dans N«y b' par sa valeur:

Or, {cof — atf) est égal au numérateur de y, changé de signe ; donc :

Comme 6 et a ne sont nuls ni Tun ni l'autre , on conclut de là que si N, est nul, N. l'est aussi ; mais que, si N, n*esl pas nul, N. ne peut l'être non plus. C'est ce qu'il fallait démontrer. II résulte de là, que les valeurs de x et dey se présentent à la

fois sous la forme -^ ou à la fois sous la forme -rç.

SIS. Théorème II. Dans le cas où aV — bà'=0^ les deux équations [I] sont incompatibles, ou elles rentrent Fune dans Vautre,

Pour le prouver, substituons à V sa valeur dans la seconde des équations [1] ; elle devient :

<jfX'\ y = c', ou aa'x-^-ba'yzi^aff.

Mais, en multipliant la^première des équations [1] par of, on a :

aa'iD -f ba'y = ca'.

Ainsi, dans ce cas, les équations [1] sont équivalentes à deux autres équations qui ont le même premier membre, et dont les seconds membres sont ad et ca\ Si donc ad et ca* ne sont pas égaux, les deux équations sont incompatibles; mais si ac'=:ca\ eUes sont identiques. C'est ce qu'il fallait démontrer.

219. Conséquences. 1* Lorsque ad n'est pas égal à cal^ N, n'est pas nul; et, par suite (217), N, ne l'est pas non plus. Donc, ^quz les deux équations [l] sont incompatibles , les formules \2] se

présentent toutes deux sous la forme -^ • Cette forme est donc le symbole de rimpossibilité,

2*> Lorsque ac'=ca\ N. est nul, ainsi que N^ (2t7). Donc, lorsque les équations [l] rentrent Cune dans rautre^ les formules [2] se

présentent toutes deux sous la forme ~. Cette forme est donc le symbole de Vindétermination*

Un système de deux équations à deux inconnues admet donc une solution unique et déterminée, ou bien il n'en admet aucune, ou bien il en admet une inûnité. Mais nous avons supposé, dans celte discussion^ au'aucun des coefficients des inconnues n'est égal à zéro ; il nous reste à examiner maintenant les cas particuliers où quelques-uns d'entre eux seraient nuls, en même temps que {àb'—ba').

820. Cas où l'un des coefficients est nul en même temps que {ab' — ba'). Supposons qu'on ait, à la fois,

il en résulte que ba' = 0; donc : ou a' = 0, ou &=0. I* a' = 0, les formules [2J deviennent :

~bc' w!

Donc, si d n'est pas nul, elles prennent toutes deux la forme -r:

et, si c'=0, elles prennent toutes deux la forme -z* Or les équations deviennent alors :

aa?-f6y=c, Ose*

elles sont donc incompatibles, dans le premier cas, puisque la seconde est absurde ; et il n'en existe plus qu'une dans le second cas , puisque la seconde est identique. Donc, fes formas

-Q «* Q> que prennent w% les formules^ sùnJt encore le symbole^ Ium

de rimpossibilité^ l'autre de rindéUrmination.

SI* Si 6 = 0, les formules deviennent :

0 ûc' — ca'

donc, si cd n*est pas égal à ac\ y se présente souf ia forme ^^ tandis que x prend la forme -. C'est une exceptior au théorème

(217). Or, dans ce cas, les équations deviennent :

ax=^Cj a'x=c'; elles ne contiennent que l'inconnue x, et elles donnent :

mais -n'est pas égal à -79 puisque co! n*est pas égal à a(!\ donc

\ti équations sont incompatibles ; et f impossibilité se manifeste ici par ks formes simtUtanies — et ^.

Hais, si adz=^ca\ les deux formules prennent la forme-; et les deux équations se réduisent à une seule :

C^te équation détermine la 'ûaleur de x, mais ta vcAeur de y reste indéterminée. Il y a donc ici une indétermination partielle^ qui se

manifeste par la forme-. Qn doit remarquer que cette forme affecte les denx formules, bien que la valeur de x soit parfaitement déterminée.

Cette partie de la discussion comprend te cas où les coefficients des deux inconnues sont nuls dans une même équation, et celui où les coefficients d'une même inconnue sont nuls dans les deux équations. Nous n'avons plus à examiner que le cas suivant.