CHAPITRE L
DES EQUATIONS DU SECOND DEGllÉ A UNE INCONNUE.
256. Forme générale d'une équation A une inconnue. Une équation à une inconnue x est du second degré, lorsque ses deux membres, étant entiers en x, contiennent le carré de Tinconnue, et n'en contiennent pas une puissance supérieure. Cette équation ne peut donc renfermer que trois sortes de termes : savoir, des termes qui contiennent le carré de x, des termes qui contiennent sa première puissance, et des termes indépendants. Par conséqu€fnt, si l'on fait passer tons les termes dans le premier membre, et que l'on réunisse en un seul tous les termes en a^, en un seul tous les termes en x, et en un seul tous les termes connus, l'équation prend la forme générale^
ew?'4-^a?-j-c=0;
a, 6, c étant des nombres donnés qui peuvent être positifs ou négatifs. Par exemple, l'équation,
se transforme successivement en les équations suivantes :
Les solutions de l'équation du second degré se nomment ses
racines.
Le coefficient a ne peut pas être nul ; car Téfiialion cesserait d'être du second degré ; cftais les coefficients beic peuvent être égaux à zéro. L'équation prend aloi*^ l'une des formes :
On dit, dans ce cas, qu'elle est incomplète.
$ I. Résolntion de réqaation da second degrâ
K57. Cas ou l'équation est de la forme aa7*+c==0.Lorsque l'équation du second degré se présente sous la forme,
ûa?*+c=0, [1]
on peut la considérer comme une équation du premier degré dont l'inconnue serait rc* ; et l'on en tire :
Si donc — est un nombre positif , ce nombre est le carré de
rinconnue. La valeur de x est 'donc la racine carrée de ;
et, comme ceite racine (96) a deux valeurs égales et de signes
contraires, on a deux solutions :
Si, aucontraire, est négatifs il n'y a pas de nombre positif
ou négatif, dont ce nombre soit le carré (96). Véquation [1] n'a donc pas de solution. Cependant on dit alors, qu'elle a deux racines imaginaires j représentées par les formules [2].
258. Cas ou l'équation est de la forbie oc* + bx= 0. Lorsque le terme indépendant de x est nul, l'équation se présente
sous la forme :
ax*+bx=0'j [1]
on peut alors mettre x en facteur, et écrire :
a?(aa?+6)=0.
Or, pour qu'un produit de deux facteurs soit nul, il faut et il
172 LIVHE m.
suffit que l'un des deux facteurs soit nul. On aura donc toutes les solutions de Inéquation, en posant :
équations du premier degré, dont les solutions sont :
Ainsi, V équation a deux racines^ dont Pune est toujours nulle,
259. RÉSOLUTION DE l'équation COMPLÈTE. Gousidérons maintenant l'équation complète,
ax^-\-bx+c=0. [1]
Pour la résoudre, on cherche à la ramener à la forme [1] du n"" 237, dans laquelle le premier membre est un carré contenant l'inconnue, et le second est tout connu. A cet effet, on multiplie les deux membres par ka (ce qui est permis (1 22), puisque a n'est pas nul) ; puis on fait passer kac dans le second membre, et l'on obtient l'équation équivalente :
kà^x^-\-ikabx=: — kac.
On reconnaît alors sans peine, que le premier membre se compose des deux premiers termes du carré de (2aa?+6), et qu'il ne manque que b^ pour compléter ce carré. Si donc on ajoute b* aux deux membres, l'équation devient :
kà^x*'{-kabx-\'b^=b^-' kaOf ou (2aa?4-6)"= 6" — kac.
Elle a ainsi la forme cherchée : (6*— 4ac) est le carré de (2ar-4-6). Si donc {b^-^kac) est positif, la valeur de (2aa?+6) sera la racine carrée de ce nombre; et comme cette racine a deux valeurs égales et de signes contraires, on aura indifféremment :
équations du premier degré, d'où l'on tirera :
^.— fe4'v6'-4ag, —b—y/b^^kac
Céquation a donc deux solutions. On indique, en général, cette double valeur, en écrivant de la manière suivante :
— 6±:v/6* — 4ac
on sous-entend, que 4V^^--4ac représente la valeur positive du radical, et que — v^6'—4a(? représente sa valeur négative.
Si, au contraire^ la quantité (b* — 4ac) est négative^ ^b^ — kac ne représente, d'après nos conventions, aucun nombre positif ou négatif; et Véquation proposée n^admct aucune solution. Cependant on dit alors, qu*eUe a deuxracines imaginaires, représentées par la formule [2].
Il pourrait arriver que (b* — 4ac) fût égal à zéro; dans ce cas,
les deux valeurs de v/^* — 4ac se réduisent à zéro; Téquation devient : (2aa?+&)' = 0, et les racines deviennent, l'une et l'autre :
x = — —.Véquation n* admet donc qu'une solution. On dit ce-
pendant encore, qu'e//e a deux racines, mais qu* elles sont égales.
ÎÉ40. Une équation du deuxième degré a toujours deux RACINES. Kn résumé, on voit qu'une équation du second degré admet quelquefois deux solutions, quelquefois une seule; et quelquefois enfin, elle n'en admet aucune. On dit cependant, qu'elle en admet toujours deux, qui peuvent être réelles et différentes, réelles et égales, ou imaginaires. Il peut sembler puéril, au premier abord, de choisir ainsi une forme détournée, pour affirmer, dans tous les cas, Texistence de deux racines, qui n'en existent pas pour cela davantage. Ces locutions et l'introductlon dans les calculs des nombres imaginaires sont cependant une conséquence de Tesprit de généralisation qui règne enal* gèbre. Il serait impossible, en effet, d'opérer sur des expressions latérales, si la forme des résultats changeait avec la valeur numérique deslettres.il faudrait, à chaque instant, diviser et subdiviser les questions, pour obtenir les formules correspondantes à telle ou telle hypothèse. L'adoption des nombres négatifs et imaginaires a pour but d'éviter cet inconvénient. Dans une question particulière, l'introduction de ces nombres n'aurait aucune utilité; mais dans l'élude générale d'une classe de questions, ils permettent d'exprimer et de démontrer, en une fois, des règles et des résultats qui exigeraient, sans cela, des démonstrations et des formules distinctes.
24i. DÉFINITION DE l'expression IMAGINAIRE. On désigne, OU général, sous le nom à' expression imaginaire, la racine carrée tl'uu nombre négatif. Il ne faut attacher à cette locution aucune
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idée relative à la mesure des grandeurs. Une expression imaginaire, semblable en cela à un nombre négatif, ne représente aucune grandeur. Mais» de même que les opérations faites sur les nombres négatifs, les opérations relatives aux expressions imaginaires reçoiveniconventionnellement un sens, et deviennent un moyen précieux de généralisalion.
La première de ces conventions consiste ^ en ce que le carré de F expression^— A est — A.
Pour définir les autres opérations, on cormenid^appliquer auxexpressions imaginaires toutes les règles démontrées généralement poxjw les qttantités réelles, (On donne le nom de réels aux nombres positifs et négatifs).
242. Forme des racines imaginaires de l*équation du se-' co^D DEGR1Î. Les racines imaginaires de l'équation du second degré sont, d'après ce qui précède, des expressions de la forme
A -f v^ — B,B représentant un nombre positif. Si Ton désigne par 5 la racine carrée de ce nombre, de telle sorte que Ton ait, B=i=2;^, Texpression imaginaire, qui représente la racine, devient A + V— ^*> ou A + v/6*x( — 1). Puisque Ton convient d'appiiquerauac opérations relatives aux expressions imaginai^ res toutes les règles démontrées généralement pour les nombres réels, on fera sortir le facteur 6* hors du radical, comme s'il s'agissait de la racine carrée d'un produit positif; et Ton écrira l'expressioDi aiosi :
D*après cela, y^— 1 sera le seul facteur imaginaire, qui entrera dans une expression imaginaire. On le déOnira, en disant qu'il a pour carré — I.
En général, comme nous Tavons dit, les règles démontrées pour les nombres réels serviront de définition, dans ce cas nouveau,, aux opérations qui, sans cela, n'auraient aucun sens.
243. Règle. La formule [2] fournit, dans tous les cas, les racines de l'équation [1]. Elle montre que,pour les obtenir, onprend le coefficient de x, après avoir changé son signe; on lui ajoute et Von en retranche séparément la racine carrée du nombre formée en soustrayant du carré de ce coefficient le quadruple produit du coef-
fickra de x* par le terme indépendant; puis ondimse le résuUatparle daubU du coefficient de x*.
244. Simplification. Il arrive quelquefois, que celle formule et la règle qu'elle exprime se simplifient légèrement.
!• Souvent le coefficient de a?* est égal à l'unité ; on peut toujours, d'ailleurs, amener celle circonstance, en divisant les deux membres par a. L'équation prend alors la forme :
ai'+px+q=0. [3]
Oo pettt réaoudre directement cette équation, en faisant passer q
dans le second membre^ puis en ajoutanl^auideux membres,
et en extrayant les racines des résultats, comme on l'a fait au n"" 239. Mais il est plus simple de déduire la nouvelle formule de la formule [2], en y faisant a=l, b=p, c=:ç; elle devient :
OU, en effectuant la division du radical par 2,
Il faut savoir par cœur la formule, sous cette dernière forme, et l'employer toutes les fois que a=l. Elle montre que, pour résoudre réqxmtion [3], il faut prendre la moitié du coefficient de x changé de signe, puis ajouter et retrancher successivement la racine carrée du nombre qu^on obtient en soustrayant du carré de cette moitié k terme tout connu.
2* Il peut arriver que le coefficient b iex soit pair. Si l'on met lcfacteur.2 en évidence, en posante = 2/?, l'équation [1] prend la forme :
ax^-\'2kx-\-c = 0. [5]
On pourrait encore résoudre directement cette équation par la méthode (S59). Toutefois on multiplieratt seulement les deux membres par a, el l'on formerait dans le premier le carré ieiax-^-k). Mais il est plus simple de faire l'hypothèse &= 2^ dans la formule [2] ; elle devient :
—^k±\/kk'^—kac X=z ;
176 Livre m.
ou, en divisant les deux termes par 2,
^^-u^sHEbi, tel
Ainsi, pour trouver les racines dans ce cas^ il faut prendre la moitié du coefficient de x changé de signe^ ajouter et retrancher la racine carrée du nombre qu'on obtient en retranchant du carré de cette moitié le produit du coefficient de x^par le terme indépendant^ et diviser le résultat par le coeffi/)ient de x^ II ne faut jamais se dispenser de faire cette simplification, quand elle se présente.
245. Appucations. V Soit l'équation : «» — 7» + 10=0; on aura :
f*^""2 2"-*- 2" Soit l'équation : 3x» + 14a;— 440=0;
— 7±v/49 + 3.440— 7dbv/l369— 7±37 *"■ 3 "" 3 "" 3 •
3* Soit léquation ; 7x* — 1 3x + 3 = 0 ;
on a:
4» Soit l'équation : «* — 6x + 9 = 0 ;
on a (racines égales) :« = 3±v9 — 9 = 3; ) „__V
5" Soit l'équation : 2x' — 11» + 20 = 0; on a (racines imaginaires) :
^ll±V^r21— 4.2.20 lldz>/^Il39^ \ 4 '
6* Soit réquation littérale : î±^+£±|=" + 5.
Oa chaste d'abord les dénominateurs ; puis on transpose, et Ton réduit les tennes semUables ; et Ton trouTO :
(a— 6)»x»— (a^+è>) (a+b)»+ab(a+&)«=0.'
^ ,^ (a»-hb»)(a4-&)±\^(fl^+&^Mo4-fr)^-4od(a-fb)Mo— 5)*| D«^- •= l(a-.d)» '
S n. Discussion des formules.
846. Cas où les racines sont réelles et inégales. On a tu qae, lorsque (V—kac) est positif, l'équation [1] a deux racines réelles et différentes :
— h — s/b'^—kac - —h^-s/h^—knc ar=r , rr=
On peut admettre que a est positif; car s'il ne Tétait pas, on changerait les signes de tous les termes, et on le rendrait ainsi plus grand que zéro. Le dénominateur des deux racines est donc positif; et ces racines ont le signe de leur numérateur.
Or c peut être positif, nul ou négatif. 5t c est positif , (6*^4ac)
est plus petit que b'; et par suite ^V—kac est plus petit que la râleur absolue de b : donc c'est le terme — h qui donne son signe aux numérateurs : donc, dans ce cas, ks deux racines ont le mime signe, qui est celui de — b. Sic est négatifs (6* — kac) est plus grand que 6*; le radical est donc plus grand que la valeur absolue de la quantité qui le précède, et il donne son signe aux numérateurs : les deux racines sont donc de signes contraires; et la plus grande, en valeur absolue, est â/, si b est positif, et â^, si
b est négatif. Dans le cas particulier où c=0, ^b*^kac est égal à la valeur absolue de b : par suite, â/= — , et af^= 0, si h est
positif; af=z0^af=- ^ si h est négatif.
247. Cas où les racines sont réelles et éoales. Lorsque (b*— 4ac)=0,on sait que les deux racines sont égales, l'une et
l'autre, * — s- • ^^ ont donc im signe contraire à celui de b.
Alo. b. 1^ Partis. 13
178 uva£ m.
On peut remarquer qae, dans ce cas, l'équation générale [1] peut s'écrire :
aa?'+6x + - = 0, ou ^[^+2a) =^' Son premier membre est un carré parfait, multiplié par a.
248. Cas où LES RACINES SONTIMAGINAIRES. Lorsque (ï)* — 4ac} est négatifs on sait que les racines sont imaginaires; et» en posant, — ô"=*> ®^^^ ~P' elles deviennent :
Le premier membre de Féquation peut, dans ce cas, se mettre sous une forme particulière, très-utile à connaître. En eflet, on a évidemment :
Or les trais premiers termes, dans la parenthèse, composent le carré de (x+—); et les deux derniers se réduisent à ^f""-. Donc l'équation peut s'écrire :
Mais — 7-^— est un nonJsre positif, que l'on peut regarder comme le carré de sa racine carrée. Donc on peut écrire
•.iKè)'+('^)>»-
Ainsi le premier membre est le produit par jàdela somme des carrés de deux expressions réelles.
Cette forme montre bien pourquoi l'équation, dans ce cas, n'admet aucune solution : car il n'est pas de nombre positif ou négatif, qui, substitué à x dans le premier membre, puisse l'annuler.
249. Tableau DE la discussion. La discussion précédente est résumée dans le tableau suivant :
Î^ r6<0, deux racines posiUreSy ( 6 > Oy deux racines négatives.
c=0 (une racine nulle, une racines: • c<0 {deux racines de signes différents.
Ô»— 4ac=0. /
) , „ h (le premier membre est îradnesPéeUeset a?=a;'=-^: | un carré parfait.
égales. \
6* — kac <;o. jic'=a— p y^^ ^ ( le premier membre est 2 rac. imaginaires. | a^= « + P^^ ' I ^^ somme de 2 carrés.
280. Remarque, l"" Lorsque a et c sont de signes différents» les racines sont toujours réelles : car (d' — kac) est alors une somme, toujours positive.
2^ Pour que les racines soient égales et de signes contraires, il faut et il suffit que l'on ait : 6=0. En effet, si a et —a sont les deux racines, on doit avoir à la fois :
d*où l'on tire par soustraction :
00 f puisque a n*est pas nul ,
La condition , d'ailleurs, est évidemment suffisante.
$ in. I^priétés des racines.
Mi. Théoréhr L La somme des ractnes de NqucUion du second degré est égale au quotient^ changé de signe^ du eoeffieient de x divisé par le coefficient de x*.
En effet, si Ton additionne les formules [2] du n^" S59, on a :
x'+,af= — -. [1]
882. Théorème IL Le produit des racines est égal au quotient du Urme vonnu, dwisé par le coefficient de x^.
En effet, muitipliant les formules [2] rone par l'antre, on a :
ou a^rc^=î- [2]
8S5. Remarque. Ces deux théorèmes peuvent se démontrer h priori. Car, dire que af etaf sont les racines de Téquation
c'est dire qu'on a les identités :
raa?'*+6a?' + c = 0,
or, on en tire par soustraction :
et, en divisant par (a/ — a^), .
a{a/+af) + b = 0;
donc: aZ+a^'^ss— -. [i]
Si Ton remplace b par ~'a{ccf-\'af) dans la première des identités précédentes, il vient :
oa/»— a(a/4-^a?'+c = 0 ;
d'où afof='. [2]
Ces deux propositions sont fort importantes; leurs applications sont nombreuses. Nous en indiquerons quelques-unes.
254. D&OMPOsmoN du premier membre de l'équatioh du SECOND degré en FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ. Si â^ et as^ désignent les racines de Téquation
aa^+bx + c = 0, [l]
on a (285) :
Si Ton divise les deux membres de l'équation [1] par a, et que
DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRE. ISi
b e Ton remplace - et - par les yaleurs précédentes, son premier
membre décent :
ou, comme il est facile de le vérifier,
(a? — rc')(ap— a?*).
Ainsi, k premier membre cTune équation du second degri^ mite tous la forme
est le prodvU de deux binômes du premier degri^ igatub à ïexcèt dexswr chacune des racines.
Si rèqoation proposée est de la forme :
(M;*+6ap+c = 0,
c*est senlement après l'avoir divisée par a, que l'on peut lui appliquer le résultat précédent; et, par suite, avant cette division, k premier membre est égal à
a{x — af){x — (d^.
SStt. DÉcoMPOsmoN d'un trinôme du second de6rj£ en facteurs DU PREMIER DEGRÂ. Lc théorème qui précède s'applique inuDédiatement à la décomposition du trinôme du second degré: mais il peut se démontrer directement d'une autre manière.
Considérons, en effet , le trinôme
00 a identiquement :
or, on peut remplacer (- — —A par l'expression identiquement égale,
et, par cette substitution, l'expression [1] devient le produit de fl par la différence de deux carrés, savoir :
[hk)'-W^[
182 LrVRE m.
Or, on sait que la différence de deux carrés est égale au .produit de là somme des racines par leur différence; et, par suite, Texpression précédente, équivalente k ax^-{-bx+c^ peut s'écrire :
ou , ce qui revient au même,
et Voa reconnaît l'expression trouvée plus haut',
a{x — af){x — ar).
Cette formule, quelle que soit la manière dont on l'établisse, s'applique évidemment an cas où x^ et cf sont imaginaires (241); mais, dans ce cas, les deux facteurs (a? — a?^, {x-^af)y n'ont aucune valeur arithmétique, et nous n'aurons pas occaesion d'en faire usage.
On nomij^e ordinairement racines d*un trinoriM aa?'+^^ + ^» les nombres qui, substitués à a;, le réduisent à zéro, c'est-à-dire les racines de l'équation
Par conséquent, pour décomposer le trinôme en facteurs du premier degréj on détermine ses racines^ on retranche chacune d'elles de X, et l'on multiplie par a le produit des différences.
256. PROBLÈBiE. Les propriétés du n"* 253 fournissent immédiatement l'équation du second degré, qui permet de résoudre le problème suivant: Trouver deux nombres j connaissant leur somme et leur produit.
Soient, en effet, S la somme de deux nombres, et P leur produit ; ces deux nombres sont les racines de l'équation
a;* — Src + P = 0;
car la somme de ces racines est S,, et leur produit est P.
Il ost facile, d^ailleurs, de donner àTéquation une forme qui
montre, à priorij la raison de ce fait ; on peut, en effet, l'écrire
ainsi
P=:Sa? — 0?% ou P=a?(S — a?);
et Ton voit que, résoudre cette équation, c*est trouver deux nombres x et S— rr, dont le produit soit P, et dont la soDOone flj+S— a? soit égale à S.
SUS7. DâTKKHnrATKrf, a priori, des siones des racines. Les relations, qui donnent la somme et le produit des deux racines (2o5), permettent de déterminer leurs signes, sans résoudre Téquation.
. On voit, en effet, d*après le signe de leur p^duit -, si les
racines sont de même signe ou de signes contraires. Dans le
premier cas, le signe de la somme apprendra si elles
sont toutes deux positives, ou toutes deux négatives. Dans le second cas, Tune est positive et Tautre négative ; et le signe
de fait connaître le signe de celle dont la valeur absolue
est la plus grande. Ainsi les racines de Téqnation
sont de signes contraires, car leur produit est — 4; et la plus grande est positive, car leur somme est positive et égale à 3.
SS8. Remarque. Avant d^ appliquer les règles précédentes, il faut
Rassurer que les racines sont réelles. Si l'on considère, par exem-*-
pie, réquation
on serait conduit (255) à regarder les racines comme toutes deux positives; car leur produit 10 est positif, ainsi que leur somme 3. Mais Texpressien {b^^kac) étant ici égale à — 31, les racines sont imaginaires^
289. Problème. Le théorème de l'article 288, dont on fait, du reste, un usage continuel en analyse, permet de résoudre immédiatement la question suivante : former une équation du second degré, dont les racines sefient des nofn(>res donnés a et p. L'équation demandée est évidemment :
(ar— a)(a?— p) = 0, ou a?*— (a+p)a?+ap=0;
et Ton aperçoit d'ailleurs, à priori, que le premier membre (a;— a) (a? — p) s'annule pour «=a et pour xssp.Oa voit aussi
que le coefficient de x est égal à la somme des racines, prises en signe contraire, et que le terme tout connu est égal au* produit des racines.
Exemples ; 1* Quelle est riquation du second degré, doni les racines sont :
La somme 2 + ^M- 2 — v/3'=4,
etleproduit <2 + v^) (2— V^) = 4— 3=1;
Péquation demaDdée est, par conséquent, «>— 4s + 1 =0. 3* L'équation du second degré, dont les, racines sont {a+b) et (a— d), est :
S IV. Examen d'un cas particulier remarquable.
fiOO. Cas ou a=0. Lorsque, dans l'équation aa?*+*^+«=0, on suppose que a prend la valeur zéro, les formules
deviennent :
af^ ô 1 ^- ô »
c'est-à-dire, si b est positif.
et, si b est négatif.
Ainsi Tune des racines se présente sous la forme indéterminée, et l'autre sous la forme infinie. D'un autre côté, l'équation proposée devient :
elle est alors du premier degré, et elle n'admet qu'une solution:
Les formules générales semblent donc, dans ce cas, en défaut. Remarquons d'abord que, si réellement il en était ainsi. U
n'en faudrait rien conclure contre les raisonnements qui y ont conduit; car ces raisonnements supposent expressément (258), que a ne soit pas nul.
Cependant les valeurs de ^ et de âf satisfaisant à l'équation proposée, quel que soit a, lorsque a tend vers zéro. Tune d'elles doit approcher de la solution de l'équation
Et c'est é^demment, comme nous allons le Térifier, celle qui se présente sous la forme -t. Gonsidéronsi en effet, pour fixer les idées, le cas où b est positif. On a :
— 6+v^^ — 4ac
MuItipUons les deux termes de cette fraction par l'expression
— 6—^^— 400, qui ne deyient pas nulle pour a=0; nous aurons :
, (—6+ \/y— 4ac) (— 6— v/6«— 4ac),
en effectuant la multiplication indiquée au numérateur, où l'on remarque que Ton a le produit de la somme de deux nombres
( — fr+V^ — kac) par leur différence ( — h—y/t^^kac)^ il vient:
6* — 6* + 4flc kac
af=
2a(— 6— V'ft*— 4ac) . 2a(-— 6— v^6*— 4ac) 2e
—b—^V—kac^
et, sous cette forme, il est évident que, a tendant vers zéro, af
s'approche de la valeur "^ 51 ou— y
Quant à la valeur de af^ elle augmente évidemment sans limite quand a diminue, puisque le numérateur tend vers -— 26, tandis que le dénominateur tend vers zéro.
S V. Résolution de Téquation aa^ + to4- c s 0, quand a est très-petit
S6I. GRAifDEUR DES RAQNES. Ln'sque a est très-petit^ par rap*
port àhet à c, Vuns des racines diffère peu de — z^ et FaiUre est
extrêmement grande. Cette proposition résoite évidemmoit de
ce que, lorsque a tend vers zéro, Tune tend vers— r, et 1 autre
croit indéfiniment (200).
On peut s'en convaincre, en mettant l'équation proposée sous la forme
En effet, comme le second membre est très-petit, on satisfera à cette équation, en donnant à x une valeur convenable, qui rendra très-petit l'un des facteurs du premier, sans rendre l'autre très-grand. Pour cela, il sufQra de choisir pour x une valeur
très-grande ; car alors le facteur - sera très-petit, et le facteur (b -f- ^ ] différera peu de 6 ; ou bien, on prendra pour x une va^
leur voisine de — - ; car cette valeur rendra très-petît le second
facteur, tandis que le premier différera peu de — ••
2G2. DéSAYANTAGE DES FORMULES ORDINAIRES. Là formule
générale, qui donne les racines de l'équation ax*+bx-{-c = Of
se prête mal aux calculs numériques, lorsque le coefficient a a une valeur très-petite par rapport à celles de b et de c. On comprend, en effet, qu'après avoir calculé approximativement
^b^^kacy si l'on divise le résultat par 2a, on divisera en même temps l'erreur, qui se trouvera par là considérablement augmentée. Il est donc convenable de modifier, dans ce cas» la for* mule qui donne les racines.
263. Calcul de la plus petits racine. Nous nous occuperons seulement de la racine qui diffère peu de ^ |* L'autre se
tromen. ensaile sans peine, puisque la somme des deux est connue et égale à .
De l'équation aa? + ^^+ « = 0,
on déduit: ^~""Â T* ^^^
Or a est, par hypothèse, très-petit ; a? et 6 ne sont ni très-grands ni très-petits ; donc la valeur de -r- est elle-même très-petite ;
et nous pouvons la négliger, et écrire, comme première appro^ xinuUUm:
ax
tiir
L'erreur commise, en adoptant celte valeur, est -j- ; elle contient en facteur la première puissance de a; et l'on dit, pour cette raison, qu'elle est petite du premier ordre. Si nous désignons par ot Terreuc commise, quand on prend
âP=— Ty nous aurons exactement :
En remettant cette valeur dans le second membre de l'équation [1], il vient :
c a/ c , y c ac^ . 2aai^ a«,* r,-
si nous négligeons, dans le second membre, le troisième et le quatrième terme, qui contiennent en facteurs aoi etoai*, il viendra, comme seconde approximation :
c ac^ ^*=-6"^' [5]
«1 étant du premier ordre par rapport à a, aai et aoi* sont respectivement du second et du* troisième ordre, c'est-à-dire qu'ils contiennent a* et o^ en facteur. Notre seconde approximatioUj
188 LIVRE m.
fournie par Ja formule [5], ne laisse donc subsister que des erreurs du second ordre; et si nous posons, par conséquent :
*"=-6— 6Ï+-' te]
«1 sera du second ordre, c'est-à-dire que son expression contiendra a* en facteur.
Si nous remettons dans le second membre de la formule [1] la valeur de x fournie par la formule*[6], il vient :
OU, en développant.
Or oi étant du second ordre (c'est-à-dire contenant a* en &cleur), oia et -^ seront du troisième et du cinquième ordre. Si donc nous négligeons les termes qui les contiennent, ainsi que-TT» qui est du troisième ordre, et qu'il n'y a dès lors
aucune raison pour conserver, il vient, comme troisième approximaiionf
c (u? ^aV - -
^•— — j— -gr gr-î W
et Terreur commise n'est plus que du troisième ordre. Il serait facile de continuer ainsi indéfiniment.
S64. Rebiarque. Les formules i* approximations successives : c c ac^ c ac^ 2aV
a?»^— g, 0?,— j — -jj-i ^1 — — J— ^—
satisfont aux conditions que Ton doit toujours s'efTorcer d'obtenir dans un système d'approximations successives.
1* Chacune s'obtient de la précédente par l'addition d'un terme de correction.
2* L'erreur qui subsiste, après l'addition de chacun des termes, est toujours très^petite par rapport à ce terme.
En effet, quand on écrit : x= — -r^ rerreur commise contient a en facteur, et est, par suite, très-petite par rapport à — |.
Quand on écrit: «= — r — -n-» l'erreur commise contient
fuf €^ en facteur, et est très-petite par rapport à -rj-; et ainsi de
suite.
D'après cette remarque, pour savoir si la valeur obtenue est trop grande ou trop petite, il suffira d'examiner le signe du terme de correction que Ton obtiendrait en poussant l'approximation plus loin. Car, si ce terme est positif, comme il l'emporte sur la somme de tous ceux qui le suivraient, l'erreur est positive, et la valeur trouvée est trop faible. Ce sera l'inverse, si le terme de correction est négatif.
S VI. Propriétés da trinôme du second degré.
968. DéFiNmoN du trinôme du second degré. Un trinôme du second degré est un polynôme à trois termes, de la forme générale^
a, &, c 7 représentent des nombres constants, positifs ou négatifs, donnés à priori; x y représente'un nombre variable, susceptible de recevoir toutes les valeurs possibles. Lorsque l'on fait varier la valeur attribuée à x, la valeur du trmome varie et passe par différents états de grandeur qu'il est utile d'étudier.
Nous avons déjà dit (25S) qu'on nomme ordinairement racmes du trinôme les racines de l'équation qu'on obtient en égalant le irinome à zéro. Ces nombres peuvent être réels ou imaginaires; si on les désigne par x' et par txfy on sait que le trinôme est représenté par le produit : a[x — a?')(a? — rc").
806. Théorème I. Lorsque les racines x', x' du tnnomt sont réelles et inégales^ et qu'on substitue à n un nombre compris entre elles^ la valeur du trinôme a un signe contraire à celui de son premier terme; et si Von remplace x par un nombre non compris entre les racineSy le signe de la valeur du trinôme est celui de son premier' terme*
190 LIVUE III.
En effet, si Ton suppose x'^af^ toute valeur donnée à « et comprise entre a?' et rê*, rend (a? — âf) positif et (a? — af) négatif: elle rend donc négatif le produit (X'-a^ix — oT); elle donne par suite, au produit a{X'—af){x — af) un signe contraire à celui de a, 0U9 ce qui est la même chose ^ à celui de oj^. Si, au contraire, la valeur attribuée à x est plus petite que af, ou plus grande que sc^j les facteurs {x — a?'), (a; — af) sont tous deux négatifs ou tous deux positifs; leur produit est positif , et le trinôme a{x — x') (x — if) avle même signe que a.
267. Théorème II. Lorsque les racines du trinôme sont ritlks et égakSy le trinôme est toujours de mêms signe que son premier terme^ quelle que soit la valeur attribuée à x , à T exception de i^eUe qui le rend nul.
En effet, on sait (847) que, dans ce cas, le trinôme prend la forme :
Or le carré est toujours positif, quelle que soit la valetur de x ; doDC le trinôme a toujours le signe de a. Cependant il £aut faire
exception pour la valeur a;= — r- , qui annule le trinôme.
1168. THÉOKiME IIL Lorsque les racines du Irvnome sont imagi' nairesy la valeur du tmnome a toujours^ quel que^oit x, le tigne de son premier terme.
Gar on a vu (848) >que, daas ce cas, le trinôme est le produit de a par la somme des carrés de deux nombres réels, dont Tun n'est jamais nul. Cette somme étant toujours positive, le produit est nécessairement de môme signe que a.
.269. Remarque. Les trois théorèmes précédents peuvent se renfermer sous un seul énoncé: Le trinôme ax'-j-bx+c est de même signe que son premier terme^ excepté lorsque la viUeur attribuée à a est comprise entre les racines.
On sous-entend alors que, dans le cas des racines imaginaires, X ne pouvant jamais être compris entre elles, le trinôme a toujours le signe de son premier terme.
