L^Ulim

peuts'écrire : («*— 1) {«* + !) =0.

Elle est donc équivalente aux deux équations [1] et [2] ; et, par stiite, ses racines sont celles de ces équations, c'est-à-dire :

L'équaUon [6] a?*+ 1 =0»

est identique à a?* + 20?* + 1 =2a?*,

ou à {a?*+l)«— 2a;»=0:

elle peut donc s'écrire :

et par suite , elle est décomposable en deux équations du deuxième degré^

x*+x^ï+l=0, et a;*— a?v^+l=rO.

Ces deux équations ne* diffèrent que par le signe de x : elles eut pour racines»

Ce sont ddnc là. les quaire racines de réqualito [4]»

4« L'équation [7] a?» — 1 = 0^

est décomposable en deux autres,

Ses solutions sont donc les six racines des équations [3] et [4], c'est-à-dire :

a?=iîrK et a?= * •

L'éqnation [8] «•+1=;0,.

demul idenlîcpia à la précédente, «pxiQil on y remplace 9 par x^'^\ car on a:

{x>j'^^y=^a*[^'=^\y=-af.

Ses racines sont donc données par les équations :

et, pour les obtenir, il suffit de multiplier les deux membres par / — 1 ; car alors lès premiers membres deviennent égaux à a?X( — 1), ouà— a?. On a donc :

flp = ztv — 1, et 3?=' 5 •

5* L'équation [9] a;»— 1 — 0,

est décomposable en deux autres,

a?*— 1=0, et a?*-f-l = 0.

Ses racines sont donc les buit racines des équations [5] et [6], c'est-à-dire :

L'équation [10] a;» + 1 = 0,

peut s'écrire : œ*+ 2a::* -f 1 = 2a;*,

ou (a;*4-l)"— 2a;*=0:

elle se décompose donc en deux autres,

a*+l+a?V2=0, et a?*+l— «•v^2=0, équations bicarrées que l'on sait résoudre, et qui donnent :

O"" Enfin les racines de l'équation,

sont celles des équations [7] et [8].

Nous ne pousserofis pas plus loin l'étude de ces transformations ; car notre but était seulement de montrer, par quelques exemples, comment certaines équations, de degré supérieur au second, peuvent se ramener à celles du second degré. Hais la méthode générale de résolution des équations binômes appartient à la seconde partie de l'algèbre.

S III. Des équations trinômes.

270. RÉSOLUTION DÉ l'équation TRINOME. Une équation triûome est une équation à trois termes, de la forme,

aa?**+6x*+c=0. [1]

Si l'on prend x* peur inconnue, en posant :

ic*=z, d'où a5**=z*, [i]

cette équation devient du second degré,

az*+6z+^=0- [3]

On peut donc obtenir les deux valeurs de z; et, en les substi* tuant successivement dans l'équation [2], on est ramené, pour avoir les racines de l'équation [1], à résoudre deux équations binômes du degré n.

EXERCICES