TRAHSÏORMAflOW DÈS EKPtlË*SIOKS DÉ LA FORME V^+V

La formelle [î], qui résout Téquarlion bicarrée, contient deux Fadfcaux superposés ; et cette forme n'est pas avautagrase, en général, quand il s'agit de calculer numériquement les racines. II n'est donc pas inutile de chercher, à quelles conditions il sera

possible de transformer une expression de la forme Vo-fyF en une somme de deux radicaux simples.

Posons l'équation :

rfa+^b^)/x+)/y\

et essayons de la résoudre par des valeurs ratiomielles de x et de y; c'est le seul cas, où il y ait avantage à opérer la transformation. Nous supposerons, pour éviter toute difficulté, que les quatre radicaux ont le signe +; îl iious sera permis alors (126) d*élever au carré les deux membres de l'équation [I]; et nous aurons l'équation équivalenle :

ou (a— a?— i/)+v^5=2|/i^. [2]

Si neoft élevons encore au carré, nous aurons :

(a— a?— y)*+2(a— a;— y)v/?+6=4iry^

Or le second membre est commensurable, par hypothèse ; il en est de même des termes (a — x — yy et b, H faut donc que

2 (a — X — y)/S soit aussi conmiensurable ; et^ comme /b ne l'est pas, il faut que (a— a?-— y) soit nul. Oa doit donc avoir :

x+y=a et, par suite : . kxy^^b. 1^1

196 LIVAE III.

Il résulte de là, que n; et y ne peuvent être que les racines (256) de l'équation :

jr«-a*+J=0. [4]

Ainsiy on doit avoir, par exemple :

a;=-XiL , y=— ^^2 . [5]

Mais ces valeurs ne sont commensurables que dans le cas où (a'— 6) est un carré parfait. Donc, si cette condition n*esl pas remplie, la transformation n'est pas possible. Si, au contraire, (a*^b) est un carré c*, a; et y ont des valeurs commensurables :

et, ces valeurs vérifiant l'équation [2], nous avons la formule de transformation :

Faisons remarquer, d'ailleurs, que, quel que soit (a* — 6), la formule :

est vraie, puisqu en l'élevant au carré, on arrive à une identité; mais elle n'offre aucun avantage, quand (a^ — b) n'est pas un carré, puisqu'alors on substitue à un radical une somme de deux radicaux de même forme.

27». Remarque. Si l'on a à tranformer \a^^b^ on posera:

yô— -v/6 = v^— \/y,

X étant plus grand que y; et les mêmes raisonnements conduiront à la même équation [4], pour la détermination de x et de y. La transformation ne réussira donc que dans le cas où (à^—b) serait un carré parfait c*; et l'on aura :

Vwr=v/2±-^-v/^.

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 19f

Si maintenant le premier membre a le signe — -, il est facile de voir que, pour faire concorder les signes des deux membres, on devra écrire :

Car il suffira, pour obtenir ces nouvelles formules, de changer les signes des deux membres des formules [6] et [7]. Ainsi, en résumé, on a :

en admettant que les signes extérieurs se correspondent, ainsi que les signes intérieurs.

S96. AppucÀnoRB.

3* On démontre, en géométrie, qu'en désignant par C le côté d'un polygone rëgalier inscrit dans un cercle de rayon R, et par x le cdté du polygone régulier

inscrit d'un nombre de côtés double, on a la formule : ap=v2R'— I^V^^R*— C». Ici, a=2R', &=4R*— C?R»5 d'où o»— 5=C»R>. On a donc :

-=vAH)-v'»H)

V Condition nécessaire et suffisante , pour que les racines de l'équation bi* curée s*+fM^ + 9=0, s'expriment par la somme de deux radicaux simples.

On a: ' «=±y -|=fc Vf -«•

Dansceeas, a=— |, 5=P— g- donc a*— &=ç.

Ainsi , U faut et il suffit que q soit un carré.

108 LiviiE ru.

"$ H. Dt queiqaei éfostà&iu bintnes.

277. Forme de l'équatioh binôme. Une équation binôme est une équation à deux termes^ de la forme :

af-fA=0. [1]

Si A est positif, en désignant par a la racine m"* de A, on

aura : A=a**. Si A est négatif, on désignera par a la racine

m"* de — A, et Ton aura: A=— a*. L*équation [1] prendra

alors la forme,

Et, si Ton pose, x^^ay^ Téqu^ion {^] deviendra :

•u^'i^ -il (X* — Q,

ou y-±l=0. * [3]

Telle est la forme à laquelle on peut ramener toute équation binôme. Quand on a trouvé les valeurs de y, on les multiplie par q, pour avoir les valeurs de x.

278. Résolution de quelques équàtiouïs binobiss. l» L'équation [I] a?*— )=o,

a pour i^c^nes,^ œ=:^l.

L'équation [2] a?*+ 1 =0,

a pour rcocines, x=^±^'^.

V V^qotition [3] rc>-^ 1 «X),

peut s'écrire : (»— iX«*+a?+ 1)=0;

elle est donc décoinposable çn deux équations,

a?— 1=0, et a?*+«-f 1=0; et ses racines sont :

a?=l, et ^=s ^ .

L'équation [4 J »^4-i=o,

devient identique à la précédente, quand on y change x en — x: ses racines sont donc celles de [S], changées de signe» c'est-àdire:

«=—1, et x= 1 .