CHAPITRE III

nés £QU4T|0]«S A PLUSIEURS INCONNUES.

S I. Des équations du second degré à deux inconnues. 880. FORBIE GéNÉRALE DE L'ÉQUâTION DU SECOND DEGRÉ k DEUX

ntcoNNUEs. Une équation du second degré, à deux inconnues a; et Vf ramenée à la forme entière, ne peut reofermer que six es*

pèces de termes, savoir : des termes en s?^ des termes en xy^ des termes en y^, puis des termes en y, des termes en x^ et des termes indépendants. L'équatîoq du second degré peut donc toujours se ramener à la forme,

Aa;»+Ba;y+Cy«+Da?+Ey+F=0.

281. RÉSOLUTION DE DEUX ÉQUATIONS DONT l'UNB EST DU PRE- MIER DEGRÉ. La résolution des équations simultanées est une des questions les plus compliquées de Talgèbre. Nous n'avons pas à en aborder ici la théorie générale : nous nous bornerons à traiter quelques cas fort simples.

On peut toujours résoudre deux équations à deux inconnues, Vune du premier et Vautre du second degré. Soit, en effet, le système :

Aa?*4-BaT/+Cy*+Dir+Ey-fP=0, \ [1]

ax-\-hy=zc. ) [2|

On tire de l'équation [2] :

c — ax,

substituant cette valeur dans l'équation [1], on obtient uneéqua^ tion du second degré en x :

(A&«— Ba6+Ca*)a?«+(B&c — 2Cac+D6»— Ea6;a?

+ Ce" + E6c +P6* =r 0, [3]

laquelle fournit deux valeurs pour cette inconnue ; et chacune de ces valeurs, mise à la place de Xt dans l'équation [2], donne deux valeurs correspondantes pour y.

Le système proposé admet donc deux systèmes de solutions. Si les deux valeurs de x sont réelles, les deux systèmes de solutions sont réels : ils sont imaginaires, si les valeurs de x sont imaginaires.

288. Cas de deux équations du second degré. Lorsque les équations à deux inconnues sont toutes deux du second degré^ réUmination de Vune des inconnues conduit, en général, à une équation complète du quatrième degré.

En effet, soit le système :

Aa?* + Ba?y+Cy«+Da? + Ey + F=0, ) [1]

A'a?*+B'a?y+CV+D'a?4-E'y+P = 0. j [2]

Poor éliminer y, on pourrait tirer sa valeur de l'une des équationSi et la substituer dans l'autre : mais on compliquerait ainsi réqaation finale de radicaux» qu'il faudrait ensuite faire disparaître, n est plus simple d'éliminer d'abord ^, en multipliant réquation [1] par Cet l'équation [2] par G, et en soustrayant l'un des résultats de Tautre ; on a ainsi :

(AC— CA>* + (BC— CB')xy + (DC— CD> + (EC— CE') y