OU ^ } 13J
Il y a donc deux systèmes de solutions, qui sont toujours réelles. 3" Soit le système :
Si Ton élève au carré les deui membres de la premièiia éfttatloil, pus qu'on en retranche les doux membres delà second», oAa :
On connaît donc la somme et le produit des inconnues, qui sont, pftr saitOi racines de Téquation :
on a donc: s^a±^/25^ ^^
Si Ton a : 2&1 — a«> 0, les valeurs de » et de y sont iMl«; elto Mnt ima^ ginaires, si Ton a : 2b'— a> < 0.
4* Soit le système :
Si Ton double les deux membres de la seconde équation, puisqu'onl'ijouteàli
première, et qSon Ven retranche successivement, on remplace le système proposé par le sptàœat èqiûralnt (13^ :
On tire de là 3
Par conséqiientY en «jDotant et en zetnnchant membre & menilire, puis en divisant par 2| on a
y =:± ^ Vo* + 21)* IF 1 V^a'- 2b>. ^
Remarque. Il semble qu'il y ait là huit systèmes de solutions, qu'on obtieniîrait en combinant les signes des radicaux de toutes les manières possibles. Mais on doit faire observer que les équations [3] forment seulement quatre systèmes; savoir, en posant ^â* + 2P=R, et ^a'— 26'=R' :
:+y=:R,i ai+y=— R,i a+y= R, i «+y=^R, » ;-y=R', J »— y= R', I «— y=— R', i «— y=— R'. »
Déplus, si l'on permute x et y, les équations [1] ne changent pas; le yre-> mier et la troisième système sont équivalent»; il en est de même du second et àa quatrième. Il n'y a donc, en réalité, que deux systèmes de solutions.
On voit d'ailleurs, que les solutions seront réelles, si Ton a : a'>2(&*; el imaginaires, si l'on a : a* < 21^.
b* Soit le système :
«y =6».| Oo ramène ce système à œkd du second cas^ en Fécrtvajit ainsi
«e>— ./=a', 1 Et l'on en tire les valeurs de i^ et de y*, puis celles de « et de y :
V 2 V rQi /«Il V
y/a* + kb*
[3] ou ^ 1 ) [4]
Hais le système [2] est plus général que le système [1], parce qu'on a élevé au carrelés deux membres de la seconde équation [1]. On doit donc combiner les valeurs de x et de y, de manière que leur produit soit égal à &> : et cela exige que l'on associe les valeurs qui ont le même signe.
Il y a donc quatre systèmes de solutions : les deux premiers sont réels, et iee deux autres imaginaires.
208 LIVRE m.
S II. Des équations du second degré à plus de deux inconnues. 264. Exemples. 1* Soit le système :
xy=ex.
Si l'on élève au carré les deux membres de la première équation, après avoir fait passer z dans le second membre, on a :
«'+2ary + y'=a*— 2o;r+x* ; et, si Ton substitue à o;^ + y' et à jy leurs valeurs tirées des deux autres, il rient :
2;j> — 2(a+c)x + a»— 5»=0, équation du second degré en x, d'où Ton tire :
Connaissant jt, on tirera la somme x-^-y de la première équation, et le produit a:y de la troisième; et le calcul s'achèvera, comme au n" S83 (1*). 2" Soit encore le système :
«'-f-«yH-y'=37,\
«> + a;jf + x»=28, { [1]
Si Ton retranche la seconde équation de la première, et la troisième de la deuxième, on a :
Cap-y)(x + y + ;[f)=9;J
d'où l'on conclut : y — ;f=»— y, ou x + z^=2y\ [2]
el, par suite, (a— y)y=3. [3]
On tire de cette dernière : âp= - + y ;
if
et, substituant r^tte valeur dans la première des équations proposées, il vient :
ou 3y* — 28y + 9=0,
équation bicarrée, qui donne :
y=it3, y=dbîV3.
lar suite, «=it4, x=±'-^^,
el Ji=±2, jir--:^-v'3.
§ m. Des équations de degré supérieur au second. 18S» SxmPLBS. 1* Soit le système :
£n chassant les dénominateurs de la seconde équation, on peut écrire ainsi le système :
6(aî+y)
Si donc on considère sy et s + y comme deux inconnues auxiliaires u et v,
on aaia :
La seconde équation donne v=-u; en substituant cette valeur dans la
première, on obtient :
-u'=30, ou u*=86; o
delà: tt=d= 6, et v=d=5.
Il faut adopter le même signe pour la valeur de u et pour celle de v, puisque
r=gi..
Si nous adoptons d'abord les valeurs tt=6, v=b, nous avons :
d'où l*on déduit, pour x et pour y, les valeurs 2 et 3«
Si nous adoptons u:= — 6, v=— 5, nous avons :
»+y=— 5, j iry=: — 6-, J
d'où l'on déduit pour x et y les valeurs^ 6 et 1. 2* Soit encore le système :
La première équation devient, si Ton cbasse les dénominateurs :
4«'+ (4+y)y«»=(8+ 4y)ay' + 12y*; ston peut récrire, en ajoutant 4y^ aux deux membres,
»' P + y)"— 4jy» (2 + y) + 4y* = 16y*. ÂL6. B. I^* Partie. 1%
fllO LIVRE m.
Or ie premier membre est le carré de x{1 + y) — 2t/^ ; cette équation peut donc s'écrire :
ce qui équivaut à »(2 + y) — 2t/>= ± 4y'. '[$]
Nous pouvons donc^ au système proposé, substituer les deux suivants :
^''J I 4y»-a?y=ic. 4y»-«y =ar. | ^^^
Nous résoudrons^ d'ailleurs, sans difficulté ces deux systèmes. En effet, 'x seconde des équations [3], résolue par rapport à x, devient :
et cette valeur, substituée dans la première, donne :
d'où Ton conclut : y=0, et y=l,
et, par suite, a=0, et x=2.
On trouvera de mttae, pour les solutions du système [4] :
Ainsi les solutions du système proposé sont :
* iy=0, jy=l, 3
Ly=- 3-
3* Soit, enfin, le système :
On peut, en groupant les termes, l'écrire ainsi :
ary(iFa+y»)=468; f
et, en divisant la seconde équation par la première, on a :
équation qui peut remplacer l'une des précédentes. Si l'on désigne le produit ly par V, et la somme 0+ y par v, le système devient :
DES ËQUATIONS DU SECOND DE6R8. 21 i
Si ToQ élimine v entre ces deux équations, on a :
II* !tu*
équation trinôme » d'où Ton tire :
^=36db V36>+ 13X36;
et de là: » = — 6, et i*=6\/Î3r
Par suite, t?=l, et t)=/i3*.
Âinâ le premier système de solution est fourni par l'équation i
jr>-jf-6=û; d'où l'on conclut : «=3, y=— 2;
et le second système est fourni par Téqûation :
«•— yÎ3»jf + 6Î/Ï3'=0; d'où l'oQ conclut :
yï3»+ 1^—11^13 yt3^-v^-iiVi3
EXERCICES
