Vabiations de l expression , ^J" , "T ,. Si Ion veut

déterminer les variations que subit une fraction du second de* gré, quand x croît de — oo à + <» » on commence par calculer, d'après la méthode précédente, le maximum et le minimum dont elle est susceptible , et les valeurs correspondantes de x. Pois on égale successivement à zéro le numérateur et le dénoroioateur de Texpression , pour trouver les valeurs de x qui la rendent nulle ou infinie. Enfin on détermine les valeurs particulières de la fraction, correspondantes àa;=±:(x>,etàa;=0. On fait un tableau des valeurs de la variable ainsi obtenues, en les rangeant par ordre de grandeur, et l'on place en regard les taleurs correspondantes de la fonction. Il est facile d*en déduire les variations que Ton cherche. Prenons un exemple.

Sou la fracUon : y= ____.

Comme (&''— 4aV) est positif, on tombe dans le premier cas; en égalant la fraction à m, on trouve que les racines du trinôme sont :

m'= T-=— , ni*=-

n' est un maximumi m' est un minimum. Les valeurs correspondantes de • »Dt:

Les valeurs de x, qui annulent la fraction , sont les racines de l'équation :

«lies sont 1 et 2. Les valeurs, qui la rendent infinie, sont les racines de Téqui^ UOQ:

Alo. B. l^* PlRTIB. Ift

242 UVRB. IH.

elles sont —2 et 4. Enfin, pourft=^ao, la fractloo pioend la Titour 1; et pour ffssOi elle eet égale à. ^ r-» , Ijnai la toetion propeeée peut s'éerire :

*""(»+ 2) (»--4)' On ftwme deac la tableau euifant :

«=—00, —2, 0, 1, 10— €v/2, 2, 4, 10+ffv/î, +•; ,*.+ ,. ±.,i, 0, ±=^, 0,=F«, ?i^, +1.

Quand c croit de — oo à — 2, v, qui est positif, puisque ses quatre facteurs sont négatifs, croît depuis + 1 jusqu'à +oo« £lle change alon ée aiguë, car le facteur (x+2) devient positif; elle passe brusquement de +°o à— oo : puis,

or continuant à croître depuis —2 xi^^^iu-^ 0^ de 0 à 1» et dft 1 jaiqua

10*- 6^2, l'expression croit depuis— oo jusqu'à — ;, de— t à 0» et de 0

jusqu'au maximum — r-^. À partir de là, quand x augmente jus^'à 2, et

depuis 2 jusqu'à 4, elle diminue du maximum à 0, et de 0 à — oo : puis e^ passe brusquement de — oo à + oo ; car ses quatre facteurs sont alors positifs ;

elle diminue ensuite jusqu'au minimum — ^-^, quand «croît de 4 à 10 +6^2;

et, quand enfin se croît de 10 + 6V/2 jusqu'à + oo, elle augmente depuis le minimum jusqu'à + 1.

510. Problèbie YII. Deux variables x et y étata liées ensemble par une équation du second degré :

trouver les valeurs extrêmes que puisse prendre Vune Selles^ x par exemple.

Si ron résout Téqualion par rapport à y, on aura :

^bx—d±\/(b^'-kac)x^+2(bd—2ae)x-j-d*'-kaf^

OU I en posant :

6* — 4ac=:m, bd — 2ae=n, d* — kaf=p^

— bx — d±)/mx^'\''inx + p y= . ra]

Ponr qae y soit réel, il faut que x soit choisi de manière que l'on ait :

«KB*-|-2lM!-|-p>0; [4]

et l'oa a yu (2f0) comment on pent, dans les différents cas, déduire de l'inégaiité [4] les Mmilee entre lesquelles k valeur de z doit être on ne pas Être comprise;.

SU. Règle générale» Les exemples, que nous venons de résoudre, suffisent pour montrer comment on procède,, en algèbre élémentaire, à la recherche des maximums et des minimums de certaines fonctions du second degré , qui ne dépen-> dent que d'une seule variable indépendante. On iiudiâ (Tabord^ autant que possible^ ïa marche de la fonction y pour reconnaître Texistence du maximum ou du minimum. On choisit ensuite certaines variables fournies par la question^ et l'on exprime la fonction au moyen de ces variables. Puis on égale Vexpression à m, et Von écrit les équations^ que foutnU Vénoncé^ entre les diverses variables. Ces équations permettent de déterminer la variable indépendante en fonction de m; et la discussion des conditions de possibilité du problème fait connaître les limites qui fournissent, s'il y, a lieu, le maximum et le minimum de Vexpression.

3A2. Remarque. Cette méthode est ^ il faut Tavciier, fortres» treinte; car elle ne s'applique qu'aux fonctions du second degré. D'un autre côté, elle ne semble pas naturelle; car, au lieu de conduire à la découverte du maximum et du miftînr>fvn d'une fonction par des raisonnements basés suc la définitûm générale (300), elle donne, en quelque sorte, accidentellement les résultats, puisqu'eUe les déduit des conditions de possibilité d'ua problème, qui n'est pas le problème propesé.

Dès lors, il n'est peut-être pas sans intéorèt de montrer, que les résultats qu'elle fournit satisfont à la définition générale. Reprei^ons, dans ce but, le prablènie YI (306) ; et considérons, pour fixer les idées, le cas où (6'* — 4a'c') est positif. On sait qu'alors, si les racines du trinôme du second degré en m sont réelles et inégales^ la fraction ne peut recevoir aucnne valeur comprise entre elles: la plus petite m' est un. maximum, et la plus grande m" est un minimum de la fraction. Désignons d'ailleurs par x' et par xf les valeurs corrcspondafntes de x.

Ce qui caractérise (300) le maximum M d'une fonction , c'est que, si l'on appelle a la valeur de x qui correspond à ce maximum, la substitution de {a— h) et ie{a-{-h)kx fournit des va- Ifiiics de la. fonelioA.iBlErieurfi8.iLM, pourvu qoeftsûitailfisam--

ment petit. De plus, ces valeurs diffèrent de M, à cauu de la cantinuiti, de quantités aussi petites que Ton yeut. Or x' et m* remplissent ces conditions. En effet » quand x yiKrie par degrés insensibles, la fraction m varie aussi d'une manière continue. De plus, pour x=^3^j m prend la valeur m'. EnGn^ quand on pose : x=x* — A, et x^x'+h^ h étant suffisamment petit, les valeurs de m ne peuvent être qu'inférieures à m'; car elles doivent en différer très-peu, et elles ne pourraient lui être supérieures sans être au moins égales à m'^ puisque m ne peut recevoir aucune valeur comprise entre m' et m".

On montrerait , par des raisonnements analogues, que af et m'^ satisfont aux conditions imposées par la définition au minimum d'une fonction; et que, dans les autres cas où la fraction du second degré est susceptible d'un maximum et d'ua minimum, la méthode élémentaire fournit des résultats qui vérifient aussi la définition générale.

% II. Maximum ou minimum de quelques fonctions d'un degré supérieur

au second.

515. Problème YIII. Partager un nombre donné a en n parties dont le produit soit le plus grand possible.

Chacune des parties étant moindre que a, leur produit ne peut pas atteindre a* : il est donc susceptible d'un maximum. Décomposons le nombre a en n parties positives quelconques, â?, y, r, ,. • . u, t, de telle sorte que l'on ait :

Leur produit est : xyz ....ut. [2]

Or, supposons que deux facteurs â? et y ne soient pas égaux, et

remplaçons-les , l'un et l'autre, dans le produit , par leur demi-

somme ' ^, nous aurons le nouveau produit :

£+^.£±^z ut Comme la somme des deux premiers facteurs n*a pas été alté>

rée» ce produit satisfait encore à la candition [1]. Hais, comme ces facteurs sont devenus égaux, on a (SOI) :

et, par suite.

a?yj?....tt«<--^.--^.j8f....!a. [3]

Le produit [S] n'est donc pas maximum. Ainsi, un produit de facteurs positifs variables dont la somme est constante, ne peut pas être maximum, quand ces facteurs ne sont pas égaux. Gomme le maximum existe, on doit en conclure que h produit

est maximuniy quand tous les facteurs sont égaux à - .

514. Remarques. Nous supposons, dans le raisonnement précédent, que tous les facteurs soient positifs. S'il n'eu était pas ainsi, le produit n'aurait pas de maximum; car la somme des fecteurs restant la même, leur valeur absolue pourrait augmenter indéfiniment; et, si le nombre des facteurs négatifs était pair, le produit serait positif et aussi grand qu'on le voudrait.

Notre raisonnement suppose, en outre, qu'il est possible de rendre égaux tous les facteurs. On doit toujours vérifier cette condition , lorsqu'on veut appliquer le théorème.

515. Problème IX. Partager un nombre a en deux parties x, y, telles que le produit x'j^ soit maximum^ P et q étant des nombres entiers donnés.

Les conditions du maximum ne sont pas changées, si Ton

substitue au produit a'y» la fraction —, qui n est autre que

ce produit divisé par un nombre constant p'5«. Or cette fraction peut s'écrire :

Px X X V V ^^y

elle est donc un produit de (p+q) facteurs, dont la somme (x+y) est constante et égale à a. Si ces facteurs étaient indépendants entre eux, et n'étaient assujettis qu'à la condition d'avoir une somme constante, si l'on considérait, par exemple.

* 346 LIVRE m.

le produit Pg=x^. . • a?;!/iyi. . . y^, on obtîcnarail (51S)le nmîmum de Pi en posant:

-T-- I . Mais certains fectefars de f

de^not rester égaux, le Faisonnement du n* 5ftS n'est plus applicable. Toutefois, les valeurs de P sont évidemment toutes fioiBprises parmi les valeurs de P| ; k maximum de P ne pe«t donc surpasser celai de Pi. fi*aâlleurs il lui est égal, siiroii pose

- = ^ = — r— . Donc le produit x'y» est maximum lorsque les deux

parties â? et y de a sont proportionnelles aux exposants p et q. On prouvera de même que, pour partager a en n parties Wt yl z, .... u, ty telles que le produit afyh''. . . . unt soit maxi« Qium y il fant satisfaire anx oonditions,

516. f ROBLàuE X. Déûompœêr/un nonbr$ çtnm fmsUwn positifs, dont la somme sqU la plus petite possible»

Je dis que la somme sera minimuiEy quand tons tes nombres

seront égàm k^p; car «n vient de démontrer (919) que, si la somme de n nombres est égalekn ^p, leur produit ne peut surpasser (\^p)* ou p, c'est-à-dire la puissance n"* de la n** partie

de la somme. Donc, si cette somme «st ssoîadre que n^p, le produit ne pourra pas atteindre p. Par conséqueni, pour ^/at k prsduit puisse être égal à p, il faut que la somme soit au moins

égale à n\/p* Donc n^fp est le minimum de la somme ; et, dans

ce cas, toutes les parties sont égales à ^p .

517. Problème XI. On donne le produit xPyi = P. Tpounerk minimum de la somme x+y-

Je dis que ce minimum correspondra au cas où- = -.

En effet, désignons par « et p deux nomlires satisfaisant an deux conditions :

DES ÉQUATIOnS OU SECOND DEGRË. U7

Oq vient de démontrer (3itS) que, parmi tons les nombres x et y qui ont pour somme («+?)} les nombres « et p sont ceux qui donnent au produit afy* sa plus grande valeur. Si donc deux nombres x et y ont une somme moindre que (a+P). le produit afy* sera., à fortiori^ moindre que a^*, c'est-à-dire que JP. Par suite, pour que le produit âB'y* soit égal à P^ il fiint que {m + y) soit au moias égal à (« + p), qui est, par conséquent, sa valeur minimum.

318. Rs^fARQUE. Les trois problèmes (305), (316), (317), sont, en quelque sorte, réciproques de ceux que nous avons résolus n"* 301, 315, 315. Cette réciprocité, entre certains problèmes de maximum et de minimum, peut être formulée, comme il suit , d'une manière générale.

Si une quantité Y étant donnée, une autre quantité X est maxi^ mum dans certaines circonstances; X étant donnée à son tour^ Y sera minimum dans les mimes circonstances^ pourvu que h maorimum de X diminue^ quand la valeur donnée de Y diminue elle-' même.

En effet, soient B la valeur donnée de Y, et A la plus grande valeur de X qui puisse se concilier avec B. Si Ton donne & Y une vftleur b moindre que B, la valeur maximum correspondante de X sera, par hypothèse, moindre que A. Donc, pour que la valeur de X puisse être égale à A , il faut que celle de T soit au moins égale à B. Par suite, B est la moindre valeur de Y qui puisse correspondre à la valeur X = A , c'est-à-dire la valeur minimum de Y correspondant à la valeur A de X.

Exemple. On démontre, en géométrie , <)ue la drconférence de cercle est la coaH)e qui, sous une longueur donnée^ renferme la plus grande surface. Il en résulte qu'elle est la courbe qui, avec une aire donnée, a le plus petit périmètre.

319. Problème XII. Inscrire, dans une tphire de rayon donné R, un qflindre dont le volume toit maximum, '

Lorsque le rayon de base du cylindre est très-petit, le volume a une trèspetite valeur. Cette valeur augmente à mesure que le rayon croit, liais cet accroissement a une limite ; car, lorsque le rayon devient à peu près égal à B , la hauteur devient très-petite, et par suite le volume est presque nul.

Désignons par x le rayon de base, et par 2y la hauteur d'un des cylindras inscrits ; son volume V aura pour expression 2 icj^. D'ailleurs la géométrie donnoi 9ntre « et y, la relation :

2'i8 LIVRE IIL

Oa en conclut, en éliminant #,

V=27ry(R»— y«). p]

Or le maximum de cette expression correspond à la même valeur de y, que celui de y(H>— y'}. Mais ce produit n'est pas du second degré ^ et il n'est pas possible d^appliquer la méthode ordinaire (8 1 1 )à la recherche de son maximum. On ne peut pas non plus décomposer Texpression en facteurs^ et l'écrire : y(R+y) (R — y), ou en la doublant, y(R + y) (2R— 2y) ; car, Men que les trois facteurs aient alors une somme constante et égale à 3R, il n'est pas possible de les rendre égmux eotre eux. Mais, si l'on élève le produit au carré, ce qui donne y'(R' — j^', on remarque que l'on peut conudérer y* comme la variable; et que la somme des deux facteurs y' et (R'— y^ est constante et égale & R^ Par suite, en vertu du théorème (815), si Ton peut choisir pour y une valeur satisfaisant à la proportion :

cette valeur correspondra au maximum cherché. Or de l'équation [3] on tire :

et, par suite, «* = — .

Ces valeurs de s et de y sont admissibles; car elles sont réelles et inférieures

4k R' au rayon R. Le volume maximum du cylindre a donc pour valeur : V =s =.

520. Il a quelquefois avantage à ramener la recherche du minimum d'une fonction à la recherche du maximum de la fouction inverse.

PROBLÈMB XIII. CireoMcrire à une sphère ^ de rayons, un cône dont la hase repose sur un plan diamétraly et dont le volume soit minimum. Désignons par « et par y le rayon de base et la hauteur d'un des cènes cir-

conscrits. Son volume V est égal à * ne' y. D'ailleurs la géométrie donne aisé-

ment la rebtion :

I/cxprenion du Tolume est donc :

Gomme le ikcteur ^ nP^* est constant, il suffit de déterminer le minimum de la

frtQtioQ .*^ . ,. Or ce minimum correspond évidemment au maximum de U

fractîoii renrersée - — ; — , on au maximum de son carré ^^ — j~^. Et, comme

on a identiquement :

»• ""y»\ y' / y'v yv~ R''yH y V '

on Toit que, abstraction faite du facteur constant ^ , la somme des deux fac-

R* / Rl\

teurs -^ et fi — --^ j est constante; si donc on peut choisir pour y la valeur fournie par û relation (315) :

yt ^i

cette valeur correspondra au maximum de ^^^ — j—, c*est-à-dire au minimum

de ^ . Or on tire de l'équation [3], y»=3R* : et, par suite Téquation [1] y^~""R

3R' donne : «*= -— . Ces valeurs de s et de y, étant plus grandes que R, sont

admissibles; et, par conséquent, le volume minimum du cône circonscrit a pour valeur :