EXTENS:ON DE LA MéTHODE FOURNIE PAR LE THÉORÈME

(513). Pour rendre maiimum un produit de facteurs variables, on cherche à rendre constante la somme de ces facteurs , puis à les égaler entre eux. On peut, si cela est nécessaire, multiplier d*abord ces facteurs par certains nombres constants , convenablement choisis; car celte multiplication n'allère pas les conditions du maximum. Hais il n'est pas toujours facile de découvrir, aprioriy les nombres que Ton doit employer. On désigne alors ces nombres par des lettres; et, les considérant comme des inconnues, on cherche à les déterminer, de manière à satisfaire aux deux conditions du maximum (513).

329. Problème XIY. On donne^ dans un trapèze isocèle^ la p€tUê base a, et la langueur commune c des deux côtés non parallèles. On demande le maximum de Faire du trapèze.

Désignons par x la demi-différence des deux bases du trapèze; la grande base sera {a+2x)] la hauteur sera y/c^—a^i par suite, Taire du trapèze aura pour expression :

250 UYIUE m.

et le maximum de cette aire aura lieu pour la même valeur de x que le maximum du carré,

expression que l'on peut écrire :

Il serait facile de rendre constante la somme des quatre facteurs; il sufGrait de multiplier le dernier par 3 : mais on ne pourrait pas rendre ensuite ces facteurs égaux. Multiplions donc lotis les facteurs distincts, à Texception d'un , par des nombres indéterminés a,p; et écrivons :

oLpS*={a + x){a+x){oLC'\-aix){pc—^).

Nous pourrons exiger d'abord , que la somme des facteurs soit constante, en égalant à zéro le coefficient de x; ce qui donnera:

a+« — P=jO. [2]

Puis nous pourrons égaler les divers facteurs ; ce qui donnera :

a+a?=«c+aj?, [3]

ja+x=^—px. [k]

Ces trois équatioois [2], [3]^ [4], suffiront ponr déterminer les coefficiente « et ^ et la valeur cbercliée de x. Mais il n'est pas nécessaire de locmnaltre « et ^ ; il suffîtt de les éUsûner, à l'aide des trois équations, pour «obtenir as. On a ainsi, d'après les équations [3] et [4] :

cH-ar* ^ c — «' et, substituant ces valeurs dans l'équation £2], on a :

ou,en siraplifiavt:

-«a^ + oa? — t^^O. [5]

La racine positive, qui seule convient ici , est :

C'est la valeur de x, qui correspond au maximum.

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 25il

Qa peut femarquer qae réqnatioD [6], mise «ous la forme

prouve que le côté c est moyenne proportionnelle entre x et la grande base ; et que, par conséquent , la grande base est Thypotënuse (f un triangle rectangle» qui aurait pour côtés de Tangle droitle côté-cet la diagonale du trapèze.

Si fG»a : ^=90, mi en conohit: ar= 0 « ^ ^ grande base est égale

à 2a. Le tnypèze maximum devient un demi- hexagone régulier.

K II faut remarquer que, si Texpression renferme n facleoTs disfinds, 011 emploie (n — I) indéterminées» qui, avec x^ fbrment n meanmres. Or, en exigeant que la somme des facteurs soit constante, on obtient une première équation : et en égalant les n facteurs, on forme (n ^ 1} équations. La méthode fournit donc autant d'équations que d'inconnues : elle est géné-

S m. ttuânnim ou minîmam de quelques fonetioiB de iiAudeort

•Tariahles.

3ft4. Pkcbi^heXY. Trouver entre qudks lirnUes pûiU varier k foijfmnm:

lorsque les variables xetj prennent totOes les valeurs possibles.

Cherchons à rendre ce polynôme ég«il à une ^piantité donnée m, en posant :

Ay»+Ba?y + C»«+ Dy+lflî+P = m.

Si l\)n considère y comme inconnue» on tire de cette équation:

— (Bg+D)dbv/(B»— 4AC)g'-h2(BD— 2AE)a;-h(D'— 4AF)-h4Am

Or, pour qu'une valeur, assignée à m, soit compatible avec des Talenrs réelles de a; et de y, il faut que, pour celte valeur de m, on puisse avoir, en choisissant x convenablement :

(B«— 4Aq)aî*+2(BD— 2AE)a?+D»— 4AF+4Am>û. £3]

IHsthigiioiis trois cas :

10 (Bi 4AC^ est peeilif. Danos ce cas, qud que soH m, Tîné-

S52 LIVRE m.

galité [3] est toujours possible ; car on peut toujours choisir pour X une infinité de valeurs telles, que le trinôme, qui forme le premier membre de l'inégalité, prenne le signe de son premier terme (269).

2» (B'~4 AG) est nésratif. Dans ce cas, l'inégalité [3] est possible, si les racines du trinôme sont réelles; car en donnant à x des valeurs comprises entre ces racines, on rendrl le trinôme de signe contraire à son premier terme. Mais elle n'est possible qu'à cette condition : car, si les racines étaient imaginaires, le trinôme conserverait, pour toute valeur attribuée à x, le signe de son premier terme; il serait constamment* négatif (268). Ainsi on doit, dans ce cas, choisir m de telle manière que les racines du trinôme soient réelles. Or, cette condition est exprimée (246) par l'inégalité

(BD— 2AE)*— (B«— 4AC)(D*— 4AP+4Am)>0. [4]

Comme cette inégalité est du premier degré en m, on en déduira (210) la limite de cette quantité : il y aura, par suite, un maximum ou un minimum , si cette limite est admissible.

Or, cette valeur limite de m annule le premier membre de l'inégalité [4] ; elle rend donc égales les racines du trinôme [3]. Ce trinôme peut, en conséquence, s'écrire : (B*— 4AC)(« — a/)*, en désignant par xf la valeur de la racine double. Il en résulte que la valeur [2] de y devient, dans cette hypothôse,.

-(Ba?+D)±(ar— a/)v/B»-4AU.

et, comme (B*— 4AC) est négatif, y n'est réel que pour x=af. Il faut donc donner à x cette valeur; ce qui exige que y reçoive la valeur correspondante

Ces valeurs de â? et de y sont admissibles : ce sont donc celles qui fournissent le maximum ou le minimum de m.

3* (B*— 4AC)=0. Dans ce cas, l'inégalité [3] est du premier degré en x : quelle que soit la valeur attribuée à m, il est toujours possible de vérifier cette inégalité, en choisissant x convenablement. Il n'y a, par suite, ni maximum ni minimum.

Si y cependant^ (BD — SAE) était nul en même temps que (B'— 4AG)» rinégalité[3] se réduirait à

D«-.4AP + 4Am>0;

et l'on en déduirait une limite de m, savoir :