Génébalisation de quelques résultats. La convention

que nous venons de faire permet de généraliser des résultats

que l'on devrait, sans cela, énoncer avec restriction; on a, par

exemple (15, 4*) :

Cette formule est évidente, lorsque a est plus grand que b. Notre convention la rend vraie dans tous les cas ; car ai a est moindre que 6, on a [24] :

et par suite, en appliquant successivement la première convention du n* 20, et le sixième principe du n"" 15,

c-\'{a-'b)=c — (Jb — a)=c-{-a — b

De même la formule^

devient vraie, par suite de nos conventions, lors môme que c est moindre que a. Car, en vertu de la convention (24),

Donc, en appliquant la 2« convention du n» 20, puis les principes (18, 40 et 2«},

c — (a— ^=c+(& — û)=c-[-6 — a=6 + ^~^- Alo. b. V* Partie. 2

D*un autre côté» d'après les mêmes conventions^ o étant plus

petit que a»

donc c—{a—b)=b+{e—a).

Si Ton représente une quantité négative isolée par une lettre m, les formules d'addition et de soustraction subsistent :

Car si l'on pose m= — n, n étant positif, on a :

A— m=A— (--n) = A+n»A+(— w), et A+m=A+(— n)=A— n=A— (— m);

ce qui démontre les deux formules.

26. Remarque, Dans les questions d'algèbre» les valeurs numériques des lettres ne sont jamais fixées d'avance ; et lorsqu'on a à faire une opération algébrique, on ne sait pas si la mise en nombres ultérieure n'amènera pas des résultats auxquels ne sauraient s'appliquer lés formules, démontrées pour certains cas. Il est donc fort important que les formules s'appliquent à tous les cas possibles; et Ton comprend /d'après cela, quelle est la grande utilité des conventions relatives aux nombres négatif.

EXERCICES

Deux courriers M et N parcourent la ligne OB. Au départ, ils sont situés, l'un en A et Tautre en B, à des distances a et & du point 0 ; ils s'éloignent avec des vitesses v etu, dans le sens OB. Trouver des formules pour exprimer, après le temps t^ la distance x des deux courriers, et la distance y du point 0 au milieu de la droite qui les joint.

On trouve : ap=6 — a-f-(M — «)*, ou «^a— 5 +(«— tt)l,

selon que N est en avant ou en arrière de M;

puis y=-X+-JL»|.

II. Trois vases contiennent des mélanges d'eau et de vin : le premier, a litres 4reau, b litres de vin; le deuxième, a' litres d'eau, b* litres devin; le troisième, o' litres d'eau, b' litres de vin. On prend la moitié du liquide contenu dans le premier vase, et on le verse dans le deuxième ; puis le tiers du liquide qui se trouve alors contenu dans celui-ci, et on le verse dans le troisième. Trouver les

fonnnln qm Indiquent la quantité d'eau et celle de vin contenuef dans ebaque vase après ces opérations.

OntrouTe: Eau. VUu

6a»+2a'+o ôb'+^f + b 3*^ 6 ' 6

ni. Deux vaaes A et A!, dont les capacités sont v et tf, sont pleins, l'un d'eau, Tautre de yin. A l'aide de deux mesures de môme capacité, on extrait de chacun d'eux un même volume u de liquide ; et Ton verse dans A ce qui a été pris dans A', et réciproquement. On recommence trois fois cette opération. Trouver les formules qui expriment les quantités de vin et d*eau contenues dans chacun des vases.

Pn trouve : pour le vase Â,

quantité d'eau = ^—j—+^j-^ + ^-^ +-^jj7,

quantitédevin = ^-^+-^j— j-' + ^i-^r- + -j^; et pour le vase A',

quantité d'eau =^-^ +-5- j — jr— + (— 5— +-p)î» quanutédevin = (i--^+-j-5;r- + (-]^ + -^J-.