CHAPITRE
ADDinOlV ET 80U8TEAGTION ALGËDRIQUES.
$ I. Addition' et sottstraotion des menomes.
18. Ugle d'additioii dbs homohss. Pour addUimmrdes mo^ wmeSy on Us écrit les wu à la suite des autres^ en les séparant par le signe+. On forme ainsi un polynôme qui est la somme cher-
chée : s'il renferme des termes semblables, on a soin de les réduire en un seul (10).
Exemple. La somme des monômes ka, 3&, 5e , 2a, 6&, 8e, est
et se réduit à 6a + 9b + 13e.
i4. Règle de soustraction des monômes. Pour soustraire d'un monôme un autre monomCy on écrit le second à la suite du premier, en les séparant par le signe — . On forme ainsi un binôme, qui est la différence demandée. Si les deux termes sont semblables, on les réduit en un seul.
Exemple. La différence des monômes \/7a et y/zb est
Celle des monômes Sa^b'e et ha*b^c est
et se réduit k 3a*&'e.
Ces deux opérations algébriques étant les plus simples de toutes, on conçoit qu'il n'y a pas lieu de les simplifier.
S II. Addition et soustraction des polynômes.
18. Principes pour l'addition et la soustraction des polynômes. L'addition et la soustraction des polynômes reposent sur quelques principes que nous allons énoncer, et qui sont évidents pour la plupart.
1"* Une somme reste la mimey dans quelque ordre que Von ajoute ses diverses parties. •
2* Un polynôme ne change pas de valeur numérique^ quel que soit l'ordre dans lequel on écrive ses termes. Il est égal, en effet, dans tous les cas, à l'excès de la somme de ceux qui sont précédés du signe + sur la somme de ceux qui sont précédés du signe — (9).
3" Pour ajouter à un nombre la somme de plusieurs autres, il suffit de lui ajouter successivement chacun deux.
4* Pour ajouter à un nombre la diff'érence de deux autres^U suffît de lui ajouter le premier, et de retrancher le second du résultat.
5" Pour retrancher d'un nombre la somme de plusieurs autres, il suffît den retrancher successivement chacun deux.
6* Pour rdrancher d'un nombre a la différence (b — c) de deux autres f il faut lui ajouter le second c, et retrancher le premier b du résuUat. En effet, la diSérence entre deux nombres a et (6— c) ne change pas, lorsqu'on ajoute un même nombre c à ses deux termes. L'excès de a sur {b — c) est donc le même que celui de (a+e) sur b ; il est donc (a +c— 6).
Ces principes s'expriment par les formules suivantes :
Bt ils conduisent aux règles suivantes :
16. Règle d'addition des polynômes. Pour ajouter un polymme à un nombre, il faut lui ajouter les termes précédés du signe +, et retrancher du résultat les termes précédés du signe — .
Soit, en effet, à ajouter au nombre P le polynôme
c'est-à-dire, à effectuer l'opération
p-|-(a 6+c— d— e+/)- Le polynôme, en vertu du second principe (i»), peut s'écrire :
a+c+f^b—d—e^ et, en vertu du cinquième principe, il est équivalent à
La somme demandée est donc :
Or, d'après le quatrième principe, cette somme équivaut à
V^ia+c + fj-ib-^-d+e),
00, d*après L* troisième et le cinquième, à
(Test précisément ce qu'il fallait démontrer.
17. RÈGLE DE SOUSTRACTION DES POLYNOBfBS. PouT retrancher cCun nombre un polynôme, il faut ajouter à ce nombre les termes qui^ dans le polynôme^ sont précédés du signe — » et retrancher les autres du résultat.
Soit, en effet, à retrancher de P le polynôme
a — b-^c — d— e+/, c'est-à-dire, à effectuer l'opération
Le polynôme, en vertu des principes deuxième et cinquième i
est égal à
{a+c-\-f)^{b+d+ey,
la différence demandée est donc :
f-{{a+c+f)^ib+d+e)\.
Or, d'après les principes sixième, troisième et cinquième,
c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.
18. Remarque. L'ordre, dans lequel on écrit les termes d'un polynôme, étant indifférent (princ 2*), on peut énoncer les règles précédentes en disant :
ÎPour ajouter à un nombre P un polynoms^ il faut écrire ses différents termes à la suite de P, en leur consei^vant leurs signes.
Pour retrancher dun nombre P un polynôme^ il faut écrire ses différents termes à la suite de P, en changeant le si^ne de chaoun d^eux. \
On devra d'ailleurs, s'il y a lieu, réduire les termes semblables dans le résultat.
lO. Exemples de ces deux opérations. Dans la pratique, lorsque les polynômes, sur lesquels on opère, renferment des termes semblables, on les dispose les uns au-dessous des autres, de manière que les termes semblables soient dans une même colonne verticale ; et Ton fait alors à la fois Topérationet la réduction.
Exemples. 1" Eiïeciuer Taddition :
(4«» — 5a'x — 8a» — Aax^) + (2a»« - 3»» + 7tt») + (90^ — 6a»» + 5«").
On écrit, en interTertissant convenablement les termes :
4x' — kasfi — ba^x — 8a»
— âx» +2a^JP+.7a»
et Vqu a : 6x^ -^ 9ax» — 3a»x + 8e».
3* Effectaer la soustraction :
On écrit, en changeant les signes des termes du second polynôme :
ba* + 7a»b — 8a»6» - 26*
— 2o*-"4a^6 -f 4ay -f 2M
et l'on a : 30^+ 3a'b — Wb* + 4a&'.
S III. Enoncé plus simple des résultats précédents.
80. Conventions qui introduisent les nombres négatifs POUR simplifier les énoncés. La forme des résultats précédents
peut se simplifiera l'aide d* une convention trës-^ntile en algèbre. Cette convention consiste à regarder tous les termes tant positifs que négatifs (8) tïun polynôme comme ajoutés les uns aux autres. Ainsi, Von convient de regarder la différence a — b comme résultant de V addition de a avec ( — b),
a— ft=a + (-6). [1]
L'expression isolée (—6), que Ton nomme un nombre né^aii/, n'acquiert pour cela aucune signification; seulement on dit : ajouter {—h)^ au lieu de dire : retrancher]).
On convient de même que retrancher ( — b), signifie ajouter b,
Il serait absurde de chercher à démontrer les formules [1] et [2] : les définitions ne se démontrent pas. On doit remarquer cependant» que la convention exprimée par la formule [2] est une conséquence toute naturelle de la première. En effet, si Ton ajoute { — b) à a, on obtient, d'après la première convention, l'expression a— 6 : si maintenant on retranche ( — b) du résoltat, on a, d'après la seconde convention, a — &+^i ou simplement a : les deux opérations se détruisent, ce qui doit être. Hais si l'on ne faisait pas la seconde convention, il arriverait, qu'en ajoutant d'abord à un nombre a, puis en retranchant du résultat une même quantité {—b)y on ne retrouverait pas le nombre a. Cette nouvelle convention est donc nécessaire, dès que l'on a adopté la première.
511. Règle générale u'ADonioN. Ces deux conventions permettent de réduire la règle d'addition à l'énoncé suivant :
Pour ajouter deux polynômes^ U faut ajouter au premier tous les termes du second, quels que soient leurs signes. Soient, en efTet, les deux polynômes :
a — fr+^i ^ — ^-bp — y; leur somme est (18) :
ce qui équivaut, d'après nos conventions, à
a— 64.c-fm+(-.n)+p+(--g);
résultat conforme à l'énoncé.
22. Règle générale de soustraction. Les mêmes conventions permettent de réduire la règle de soustraction à l'énoncé suivant :
Pour retrancher un polynôme d^une quantité quelconque A, il faut en retrancher successivement ses di/férerUs termes, quels que soient leurs signes.
Soit, en effet, à retrancher de A le polynôme m — n'-p'\'q ; on a vu (18) que la différence est :
A— m+n-f p— ?; et ce résultat, d'après nos conventions, équivaut à
A— m— (-n)— (— p)— gr; ce qui est conforme à l'énoncé.
23. Remarque. L'introduction des nombres négatifs permet ' d'énoncer, avec plus de concision, des résultats auxquels cette forme nouvelle n'ajoute absolument rien. Nous verrons que tel est toujours, en algèbre, le but de leur introduction*.
24. Autre convention. Si l'on considère une différence {a^6), et que l'on suppose b plus grand que a, l'opération est impossible ; on convient alors de regarder F expression (a— b) comime représentant un nombre négatif égal à l'excès de h sur à.
* Les explications qui précèdent sont absolument indispensables; elles n*ont lien de commun avec l'emploi des nombres négatifs pour représenter les grandeurs; nous ne parlerons de cette autre Uiéorie qu'à l'occasion des problèmes du premier degré.
Celte convention est loute naturelle ; et, en ne la faisane pas, on détruirait l'analogie complète qui existe entre les opéralions relatives aux nombres négatifs et positifs. Désignons, eu elTet, par d l*eicès de b sur a : \
si donc on applique la règle de soustraction (22), on aura :
Nous prouTons ainsi, qu'il est naturel de faire la convention en question; mais nous ne démontrons pas la formule [3]. Notre raisonnement, en effet, est fondé sur 1 application d'une règle de soustraction (22), qui, jusqu'ici, n'a de sens que pour des soustractions possibles. II est naturel et commode de l'étendre i tous les cas ; mais cela n*en est pas moins arbitraire.
