Limite de la somme des termes d'une progression

270 ' LIVBE Vf.

DÉcROissumTB. La formule [8], qaiiioinieiaMaiiiie des lemes d'une progression décroissante, peut s'écrire :

1 — jq 1 — q

Ovj si le nombre des termes va en augmentant indéfiniment, l'expression T—^, qui ne dépend que du premier terme et de la raison, conserve constamment la m%me valeur; maàs le produit l T—"» composé d'un facteur! qui décroît sans limite (MO),

et d'un facteur qui reste constant, peut devenir aussi petit que l'on voudra. Par conséquent la somme des termes, tonjours inférieure àj— -, peut différer de /__ «tissî peu gneFon voudra, si le nombre des termes est suffisamment grand : en d'autrès termes, j—- est la limite Yers laquelle tend la ««maie,

lorsque le nombre Aes termes croit indéfiniment. Bu désignant cette limite par «, on a :

340. Application. Une fraction décimale périodique peut être considérée comme une progressioQtiécrmisaQte; .et la locmuie {llj M.aat ^Hplioable. Soit, par exeiz^U, laXEaction pâriodique

0,3335S53BSS.

Si on la sépare en tranches de deux chiffres, à partir de la yirgule, on peut la regarder comme la limite de ia somme des termes tl*mie pnugressioii dècioi»^ santé à Tinfini :

109' 10000* lOMMO' loeoeoow) '

doaiiaxaisoQ'est— . D'après laiecmule [11 L cette UmilB«6tiégy6

ce qui est précisément le résultat qu'on obtient, en arithmétique, dans la théorie des iractions périodiques.

EXERCICES

1. Quelles sont les progressions par différence dans lesquelles la somme de deu termes quelconques fait partie de la progiesaion ? Ce sont celles dont le premier terme est un multiple de la raison.

n. Quelles sont les progressions par quotient^ dans lesquelles le produit de deax termes fait partie de la progression ? Ce sont celles dont le premier terme est une puissance de la raison.

HT. Si, dans une suite Qe nonfbres, chacun est la 'demi-somme de ceux qui le comprennent, ces nombres forment une progression par différence. Si chacun est moyen 'proportionnel entre les deux qui le comprennent, ils forment une progression par quotient.

On ramène immédiatement cet énoncé<««Ei déftnitioiiB tSSS'et^Bas).

TV. Dans quelles progressions par 'différence existe-t-il un rapport, indépendant de n, antre la somme des n pnmieis itennes et la somme des n utivanisf

Ce sont œllas û& la xaiion est double du pireoiier teone (Ev. H, ohap. tii, exerc 1).

V. ^j ^5~et /7 peavent-ils faire partie d'une môme progression par différence ou par quotient T

Non. On s'appuiera sur les n*** 330 et 348.

VI. Si Ton prend la suite des nombres impairs 1, 3, 5,7*».^ et qu'on la sépare en groupes, dont le premier jiit un terme, •le-.deuiièa» ^eux termes^ Je troisième trois termes, etc., la somme des termes d'un môme groupe eatonciibe.

On formera le promier et le dernier terme de n"* .groupe, et .on appliquera la formule [6] du n* 833 : on trouvera n' pour somme.

vn. Si l'on /considère la suite 1, 2, 4, 6, 8, 10. . . , la somme 'des m ipremiers termes est impaire; et, ;quand on ajoute au nombse ainsi obtenu les (n— 1) nombres impairs qui le. euiyent, ton obtient imuGube. '

On trouve pour résultat n', en suivant la même marcha.

VIII. Dans une progression géométrique de six termes, la différence de/ tenues extzômes est plus grande que cinq fois la différence des termes du milieu.

On exprime le rapport .des denx différences en 'fonetion jde Ja vatam, et l'on trouve que le minimum du rapport est 5.

IX. On forme une suite de termes tels, que chacun soit la demi-somme des deux précédents ; connaissant les deux premiers termes a, h de cette suite, trouver de quelle limite on s'approche, lorsqu'on en forme un nombre de plus en plus grand.

La limite est -^ — .

X. Soit AB une ligne quelconque ; on marque son milieu G, puis le milieu D de GB, puis le miUeu E de DG, puis le milieu F de ED, le milieu G de FE, et

ainsi de suite indéfiniment; trouyer de quelle limite les points C, D, E, F, G,

s'approchent de plus en plus^ lorsqu'on en marque un nombre de plus en plus grand.

Le point limite est au tiers de ÂB, & parUr du point B.

XL Trouver la limite de la somme des fractions

«TT'r'ô«7c»'ïô« ••••f

dont les numérateurs forment une progression par différence, et les dénominateurs une progression par quotient.

On décompose cette série en plusieurs progressions géométriques décroissantes , et Ton trouve que la limite est 2.