Théorème. Dans Umieprogresiionpar quotient, le produit

de deux termes également distants des extrêmes est constant et égal au produit des extrêmes.

Soit, en erfet, la progression limitée :

^aïoiciaimmm.* m fiHi

le second terme 6 est égal à ag, et l'avant-dernier fe est égal à-;

donc leur produit 6ft=aZ. En général, le terme x^ qui en a p avant lui, est égal à 9'; et le terme y, qui en a p après lui, est

égal à -; ; donc le produit xy=aL

546. Produit des termes d'une progression. Désignons par P le produit des termes d*une progression, qui commence par a, qui unit par I, et dont n est le nombre des termes. Nous avons :

l?z=abcd ikl.

On n*altëre pas ce produit en renversant l'ordre des facteurs,

et en écrivant :

P=//a dcha.

Si Ton multiplie ces deux produits égaux Tun par Tautre, en groupant deux par deux les facteurs de même rang, il vient :

P* = (al) (bk) (ci) (ic) (kb) {la).

Or tous les produits renfermés entre parenthèses sont égaux (348) à al. D'ailleurs leur nombre est celui des termes de la progression ; donc :

d*où l'on tire :

V=zs/{al)\ [6]

Ainsi, h produit des termes d'une progression est égal à la racine carrée d'une puissance du produit des extrêmes^ dont V exposant est le nombre des termes.

547. Somme des termes d'une progression par quotient. Désignons par S la somme des termes de la progression précédente ; de sorte que Ton a :

Si Ton multiplie les deux membres de cette égalité par q^ on obtient :

Sg=a?+6?-fcg+dg+ ^iq-\.kq+lq.

Mais, par hypothèse» aq=^bybq=Cf cq=d^....yiq=zkykq=li donc Fégalité précédente devient :

Sg=6+c+d+ +*+/+/9.

Si Ton suppose 9> 1, et qu'on retranche S de S9, on a évidemment, en supprimant les termes qui se détruisent :

S^— S = lg — a, ou S{q — l) = /g— a; d'où S = îî=^. [7]

Ainsi, la somme des termes d'une progression croissante par qt^otient se fonnej en multipliant le dernier terme par la raison^ en retranchant du produit le premier terme, et en divisant la différence par Fexcès de la raison sur runité.

Si l'on suppose g < 1, on ne peut plus retrancher S de Sg; on retranche alors Sq de S, et l'on a :

S— S(7=a— ^, ou S(l— (/)=a— ^g;

««•où ' S = ^l [8]

. Ainsi, la somme des termes d*une progression décroissante se forme j en retranchant du premier terme le produit du dernier par la raison, et en divisant la différence par V excès de Vunité sur la raison.

Hais les conventions faites sur les nombres négatifs rendent cette seconde forme équivalente à la première.

Remarque. Si Ton ne connaissait que le premier terme a, la raison g, et le nombre n des termes, il faudrait, pour faire usage des formules précédentes, commencer par calculer le dernier terme l à Taide de la formule [2]. En substituant sa valeur dans les formules [7] et [8], on a :

l«] 8 = 22;^. et S=«-^-. [101.