CHAPITRE IL

mÉORIE ELEMENTAIRE DES LOG4BITII1IE9.

S L Définitioii des logarithmes.

SM>. DâiNinoN. — Lorsque Ton considère deux progressions, l'une par quotient et commençant par l'unité, Tautre par différence et commençant par zéro , les termes de la seconde sont appelés les logarithmes des termes qui ont le même rang dans la première. Ainsi, soient les deux progressions :

^ 1 tO. r. 2r. 3r.4r :

TTlTm • • • • • fil*. • • • • t JT • • • • ,

mr est le logarithme de 9*.

Remarque. — Le logarithme d*un nombre considéré isolément est tout à fait arbitraire. Si l'on demande quel est le logarithme de 3, cette question n*a aucun sens, tant qu'on n'a pas choisi les progressions qui définissent le système des logarithmes dont on veut parler.

Dans tous les systèmes le logarithme de 1 est 0.

55t. Extension de la DÉFmmoN.—* D'après la définition précédente, lorsque l'on a choisi les deux progressions qui définissent un système de logarithmes , il semble que les nombres qui ne font pas partie de la progression par quotient, n'ont pas de logarithmes ; nous allons voir comment, en étendant cette définition, on est conduit à regarder chaque nombre plus grand que l'unité comme ayant un logarithme.

Concevons que l'on insère entre deux termes consécutifs de chacune des progressions [1] un même nombre de moyens; nous obtiendrons (331, 341S) deux nouvelles progressions, commençant encore l'une par 1, l'autre par 0, et dans lesquelles les termes correspondants des progressions primitives se correspondront encore. Nous dirons donc que les termes nouvellelaent introduits , dans la progression par différence, sont les logarithmes des termes de même rang, introduits dans la progression par quotient.

Alo. B. !«« Paktib 18

552. Théorème. — Pour que cette extension de la déânition soit admissible, il faut prouver que, si, en insérant des nombres difiérents de moyens, on amène un même nombre, de deux manières différentes, à faire partie de la progression par quotient, on lui tronyera, des deux manières, le même logarithme.

Supposons que l'on insère d'abord (p — 1) moyens entre les termes consécutifs des progressions [l], la raison de la progression par quotient sera (341), ^q; et la raison de la progression

par différence sera (529) -• £a sorte «que le terme , de rang

{k+\)f dans la première, sera (v^5)*; et le terme correspon-

dant^ dans la seconde, sera &-•

Supposons maintenant que Ton insère, entre les termes consécutifs des progressions [I], un autre nombre (p' — l) de moyens;

un terme, de rang (/t' + 1), dans la première , sera (v^*^» ^^ '^'

terme correspondant, dans la seconde, sera k' -•

Nous voulons prouver que, si l'on a :

on aura aussi : ife - = /c' — , ou - = - .

Si, en effet, nous élevons les deux membres de l'égalité [2] à la puissance pp', nous aurons :

('v'9r = rVi)""'. ou «•'' = 3»>;

et cette dernière égalité entraîne évidemment :

kp'=k'p, on -=-7.

Donc, si Von peut introduire un même nombre, de deux manières différentes^ dans la progression par quotient, on lui trouvera, des deux manières, le même logarithme.

5ô5. Théorème. — Si Von calcule des logarithmes en insérant un certain nombre de moyeris entre les termes consécutifs des deux progressùms, puis que Von en calcule ^-'autres en insérant un ature

fumUfTê de moyens^ ces divers logarithmes peuvent êêre aonsidéris comme faisant partie d^un seul et mime système.

Pour le prouver, remarquons que si , entre les termes consécutifs de la progression par quotient, on insère d'abord (p — 1) moyens, puis (p' — 1} moyens, tons les termes obtenus, dans l'un et l'autre cas, font partie d'une seule et même progression, que fou obtiendrait en insérant (pp'— 1) moyens. En effet, si l'on insère {pp' — 1) moyens entre deux termes consécutifs a et b d'une progression , le terme b aura, a{Mrès cette insertion , le (pp'+l)"« rang. Si donc, dans la progression ainsi formée, on compte les termes de p' en p', à partir du second, c'est-à-dire

le (p'+l)**, le (2p'+i)% le (3p' + l)«^ , b se trouvera

le p"* de cette suite. Or, q étant la raison de la progression nouvelle, les termes ainsi désignés sont respectivement ^aux

à 0^, 0^, ag"' ; ils sont donc en progression ; et l'on

peut les considérer comme formant (p — 1) moyens entre a et 6. De ffléme^ si Ton compte les tisrmes de p en p, à partir du se-* cond, b se trouvera le p'"* de cette autre suite; et ces termes pourront être considérés comme formant (p'— 1) moyens entre aeib,

La même remarque s'applique à la progression par différence : on voit donc que les deuic systèmes obtemis , en insérant séparément (p — 1) moyens et (p' — 1) moyens, sont compris dans le système unique, qui correspond à {pp'— 1) moyens.

Par exemple, si a et 6 désignent deux termes consécutifs quelconques d'une

progression par quotient ou par différence, et que Ton insère entre a et b,

d'abord trois moyens, puis ensuite cinq moyens, de manière à former les progressoBS

a, A|, Ai, A3, d, a, Bi, B3, Bs, B«, B», b;

si I011 xDsm ensuite (%x6 — 1) ou 23 moyeu, on iormBra une progresiioa nouvelle, daas laqueUe A4, At, As figuremat aux langs 1, 13, 19, et B|^ Bg, Bj^ Bi, B», aux rangs 5, d, 13, 17, 21.

3S4. Théorème. — On peut insérer ^ entre hs termes consécutifs de la progression par quotient, un assez grand nombre de moyens, pour que deux termes consécutifs quelconques de la progression nouvdle diffèrent aitssi peu qu'on voudra.

En effet, soit q la raison, et soient A et Âg deux termes consécutifs quelconques de la progression donnée. Si l'on insère

(m*-l} moyens entre ces deux termes» la raison de la progression nouvelle sera 77; P&r suite , deux termes consécutifs de cette progression y compris entre A et Ag, seront A.Çy/qy ei A (7 ?)***» el leur différence sera :

Arv'îr'-AOT*. ou A(-v/?rrv^-i).

Comme k est inférieur à m, {y/qY est inférieur à 9 ; la différence est donc plus petite que

kqiyq-i).

Or» quand m croit indéfiniment, (7? ~ 0 tend vers zéro. Car, pour vérifier que Ton a, pour une valeur suffisamment grande de m»

quelque petit que soit t, il suffit de prouver que Ion a, dans les mêmes circonstances :

7ç<i-h., ou (7<(i+«r;

et cette dernière inégalité est évidente, puisque Ton sait (339) que les puissances d'un nombre plus grand que 1 croissent, sans limites, avec leur exposant.

Ainsi le facteur {yq^— l) tend vers zéro; d'ailleurs le facteur

kq est fixe : donc le produit kq Çy/q — l) peut devenir aussi petit que Ton voudra, si l'on donne à m une valeur suffisamment grande; et il en est de même, a fortiori, de la différence considérée.

355. Remarque. — Il résulte du théorème (354), que les nombres dont les logarithmes sont définis dans les paragraphes précédentSi croissent par degrés aussi rapprochés que l'on veut. Si l'on se bornait cependant à cette définition , il y aurait une infinité de nombres qui devraient être regardés comme n'ayant pas de logarithmes. On sait, par exemple (344), que, quel que soit le nombre des moyens insérés entre les termes de la progression par quotient,

aucun de ces moyens n'est commensurable. Tous les nombres

commensurables peuvent, au contraire, s'introduire, comme moyens, dans la progression par différence,

Par conséquent, dans le système de logarithmes que définissent ces deux progressions, les nombres commensurables qui ne sont pas entiers f sont tous des logarithmes de nombres incommensurables, et Us nombres commensurables qui ne sont pas des puissances delO^ nepouvant pas faire partie de la progression par quotient^ devraient être regardés comme n'ayant pas de logarithmes.