DéFuvrnoN des logarethmes des nombres qui ne peuvent

PAS FAIRE PARTIE DE LA PROGRESSION PAR QUOTIENT. — Quaild UU

nombre ne peut pas être introduit dans la progression par quotient, son logarithme, qui ne peut être commensurable (5tttt), se définit de la manière suivante :

Le logarithme d'un nombre N, qui ne peut pas faire partie de la progression par quotient ^ est plus grand que les nombres commen^ surables qui sont les logarithmes de nombres inférieurs à N, et plus petit que les nombres commensurables qui sont les logaritlimes de nombres supérieurs à N.

Par exemple, dans le système défini par les progressions du n* 5S5, le nombre 37 ne peut pas faire partie de la progressior par quotient. Pour définir son logarithme, concevons que Ton insère entre 10 et 100 un nombre considérable de moyens par quotient, et entre 1 et 2 le même nombre de moyens par différence; on trouvera, dans la progression par quotient, deux termes consécutifs qui comprendront 37, et dont les logarithmes commensurables, très-peu différents l'un de l'autre, comprendront, par définition, le logarithme de 37. La valeur de ce logarithme sera, d'ailleurs, parfaitement déterminée : car elle sera la limite commune, vers laquelle convergeront les logarithmes des deux nombres qui comprennent 37, lorsque le nombre des moyens insérés croîtra indéfiniment.

557. Théorème. — Il résulte de tout ce qui précède, que tout nombre^ plus grand que l^ a un logarithme.

S II. Généralités sur les nombres incommensurables. 3S8. DÉFINITIOlf G^NÉBALB DES NOMBRES IBCOBOiESSURABLES.

Nous venons (31(6) de définir le logarithme d*un nombre, en disant quels sont les nombres commensunables qui sont plos grands que lui, et quels sont ceux qui sont plus petits que loi. Cette manière est le moyen ordinaire de définition pour les nombres incommensurables. Quelques explications sur ce sujet ne seront pas inutiles.

U existe des gnuideurs qui n'ont pas de conmiune mesure. On sait, par exemple, que la diagonale d'un carré n'a pas de commune mesure avec son côté; il en est de même de la diagonale d'un cube et de son arête. Dans ce eas , le rafpport des deux grandeurs ne peut être représenté par aucun nombre, eQtier ou fractionnaire : on dit qu'il est incommensurable.

Pour définir un nombre incommensurable, on ne peut qu'indiquer comment la grandeur qu'il exprime peut se former an

moyen dfe l'unité. Veut-on , par exemple, définir \/27 nombre incommensurable qui représente une grandeur bien déterminée^ savoir la longueur de la diagonale du carré construit sur un côté égal à l'unité ? On dira qu'un nombre est plus grand ou

plus petit que ^ selon que son carré est plus grand ou plus petit que 2. Et, cela posé, après avoir adopté une certaine unité de longueur, on regardera tous les nombres comme exprimant des longueurs portées sur une même ligne droite, dans le même sens, à partir d'une même origine. Une portion de cette ligne recevra les extrémités des longueurs mesurées par des nombres

moindres que v^2; et une autre portion recevra celles des longueurs mesurées par des nombres plus grands que ^¥. Entre ces deux régions, il ne pourra exister aucun intervalle d'étendue finie; car les nombres de l'une des séries diffèrent^ aussi peu qu'on veut, des nombres de l'autre. Il n'y aura donc entre elles qu'un point de démarcation; et la distance à laquelle ce

point se trouve de l'origine, est, par définition, mesurée par ^,

Nous nous sommes bornés à définir là grandeur dont /2~est la mesure. Et, en eflet, il ne paraît pas possible de définir directement un nombre abstrait. Si l'on réfléchit aux définitions

domiées, même dans les cas simples des nombres entiers et fractionnaires, on verra qu'elles ne sont que rindication de Topération à l'aide de laquelle la grandeur, dont ils sont la mesure, dérive de l'unité.

àê9. ÀDDincii ET SOUSTRACTION. Ajoutef OU soustraîre des nombres incommensurables, c'est trouver un nombre exprimant la sonune ou la différence des grandeurs que niesurent les nombres proposés.

560. Multiplication. Si le multiplicateur est commensurabte, il n*j a aucun changement à apporter à la définition.

Ainsi, multiplier v/2 par 7, c'est trouver un nombre exprimant

une grandeur 7 fois plus grande que celle qu'exprime v^- Mul-

tipiier ^ par -, c'est trouver un nombre exprimant mie gran-

deur égale aux r de celle que mesure v^2.

Hais si le multiplicateur est incommensurable, il faut une définition nouvelle. Nous appellerons produit d'un nombre A par un nombre incommensurable B, un nombre moindre que le produit de A par un nombre commensurable quelconque supérieur à B, et plus grand que le produit de À par un nombre commensurable quelconque moindre que B.

361. DmsroN. Diviser un nombre A par un nombre B, c'est trouver un troisième nombre qui , multiplié par le diviseur B, reproduise le dividende A. Cette définition s'applique, quels que soient les nombres A et B, commensurablcs ou incommensurables.

S62. Racines. La racine m** d'un nombre incommensurable €3t un nombre qui, pris m fois comme facteur, donne un produit égal au nombre proposé.

On voit que la seiile opération qui exige une définition véritablement nouvelle, est celle de la multiplication ; toutes les autres se rallachent h celle-là.

505. Théorème. On peut toujours trouver deux nombres com^ mensurableSj ayant une différence aussi petite qu'on le voudra^ et qui comprennent entre eiis un nombre incommensurable donne.

St80 LIVRE IV.

En effet , soit n un nombre entier quelconque ; si Ton considère la suite :

n n' tr n' n '

on voit que ses termes augmentent sans limite ; comme ils commencent à zéro, le nombre incommensurable donné, quel qa*il soit, est nécessairement compris entre deux d*entre eux,

- et ^^^. Et Ton peut prendre n assez grand pour que leur différence, qui est - , soit aussi petite que Ton voudra.

364. Extension des théorèmes démontrés four les nombres COMMENSURABLES, AU CAS DES NOMBRES INCOMMENSURABLES.

Le théorème précédent permet évidemment d'étendre aux nombres incommensurables les théorèmes suivants, qui ont été démontrés pour les nombres commensurables.

1* Dbîis un produit de plusieurs facteurs, on peiU intervertir tordre des facteurs.

2* Pour multiplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs, on peut le multiplier successivement par ces divers facteurs.

3* Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de mul^ tiplier un de ses facteurs par ce nombre.

4* Pour multiplier un produit par un autre, il suffit de former un produit unique avec les facteurs du multiplicande et ceux du multiplicateur.

b"" Pour multiplier deux puissances d'un mime nombre, il suffit d^ajouter les exposants.

S III. Propriétés des logarithmes.

56tt. Théorâme I. Le logarithme cFun produit de deux facteurs est la somme des logarithmes des facteurs. Soient les deux progressions :

•S- 0 .r . 2r. 3r nir..,. :nr...., )

qui définissent un système de logarithmes. Les termes de la pre-

miëre sont les puissances successives de la raison q; ceux de la seconde sont les multiples consécutifs de la raison r.

Si Ton multiplie l'un par l'autre deux termes de la progression par quotient 9 9* et q\ on aura un produit q"^^ qui, évidemment, est le (m + n + l)"' terme de la même progression; si l'on ajoute les logarithmes de 9* et g*, qui sont mr et nr^ on aura une somme (in4-n)r, qui est évidemment le (m+n+ !)■»• terme de la progression par différence» et, par conséquent, le logarithme de g*'*'**; la préposition est donc démontrée.

366. Gjînéralisation. La démonstration précédente suppose que les nombres considérés font partie de la même progression par quotient. Elle est en défaut pour les logarithmes incommensurables définis (5S0). Pour démontrer que, dans ce cas, la proposition est encore exacte, remarquons que, si Ton donne deux nombres quelconques N et N', on peut toujours insérer dans les progressions assez de moyens, pour que les termes croissent par degrés insensibles, et que, par conséquent, il s'y trouve deux termes Ni et N'i, qui diffèrent, aussi peu qu'on le voudra, de N et de N'. Or on aura (505) :

log(N.xN',) = logN,+logN'i.

Le premier membre diffère, aussi peu que l'on veut, de logCNxN"), et le second, aussi peu que l'on veut, de logN + logN'; il est donc impossible, que log(NXN') et logN-f-logN' aient une différence déterminée quelconque; par conséquent, ces deux quantités sont égales. C'est ce qu'il fallait démontrer.

567. Extension au cas de plus de deux facteurs. Le thio* rème précédent s'étend à un nombre quelconque de facteurs. Soit, par exemple, un produit de quatre fiicteurs abcd; on a évidemment:

[1] log (abcd) :?= log {abc Xd)=z log {abc) + log d

s=:log(a6) + logc4-logd=loga+log& + logc+logd.

368. Théorème II. Le logarithme (Tune puissance entière et po^ titived^un nombre est le produit du logarithme du nombre par F^exposant de la puissance.

282 LIVBE IV.

Ce théorème est une conséquence du précédent Soit, en eOêt, a^ la puissance considérée; on a :

Ioga»=logfaXaXaXfl)

= log a -f- log a + Ioga+ loga = 4 log».

La démonstration s'^applique évidemment , quel que soit Tezposrmt entier et positif.

Ainsi, logflf = mIoga. [2]

5G0. THÉORèME m. Le logarithme dTunqitotientestêgcd au loga-> rithme du dividende^ moins celui du diviseur.

Soient un quotient r, que je désignerai par q; on aura :

a = 6xç; donc: loga = tog& + logg;

d'où: logg = loga— logb, ou log^ = log a — log &• [3]

Rekarque. On suppose, dans le théorème précédent, que le quotient r est plus grand que 1 ; car les logarithmes des nom-

bres plus grands que 1 ont seuls été déiinis jusqu'à présent.

570. Théorème IV. Le logarithme d'une racine d'un nombre est égal au logarithme du nombre divisé par Pindiee de la racine.

Soit la racine yây que je di^signe par r ; on a , par définition :

a = r^^ d'où Ton conclut (368) :

loga = mlogr; et , par suite^

togr=— ^^, ou logv^a:=5— ^:^. [4]

371. Remarque. Les quatre théorèmes précédents montrent, qu'une multiplication de plusieurs facteurs peut être remplacée par Yaddition de leurs logarithmes ; une division^ par la soustraction de deux logarithmes; une formation de puissancey par la multiplication du logarithme du nombre par l'exposant ; et enfin, une extraction de racine, par la division du logarithme du nombre par l'indice de la racine.

Mais il faut, pour profiter de ces simplifications, avoir noe table de logarithmes, et savoir y trouver le logarithme d'un

PROGRESSIONS ET LOGARITHUES. 283

narabre donné, et le nombre correspondant à un logarithme donné.

S IV. Construction et disposition des taUes de logarithmes.

574. Logarithmes vulgaires. Dans les calculs numériques, on emploie exclusirement le système de logarithmes défini par les dcQZ progressions :

ii : 10 : 100 : 1000 : loooo : looooo : ....

Sans ce système, wu puissance de 10 a pour logarithme son exposani. Car, le logarithme de 10 étant 1^ on a :

log 10*=mlogl0 = m.

Les logarithmes de tous les autres nombres^ entiers ou fraction-' naires, sont incommensurabies (5iS^).

375. Caractéristique. On nomme caractéristique du Ioga« rithmc d'an nombre la partie entière de ce logarithme. Les nombres compris entre 1 et 10, c'est-à-dire ayant une partie entière composée d'un seul chiffre, ont pour logarithmes des nombres compris entre 0 et 1; la caractéristique est zéro. Les nombres compris entre 10 et 100, c'est-à-dire ayant une partie entière composée de deux chiffres, ont des logarithmes compris entre 1 et 2 ; la caractéristique est 1. En général, les nombres compris entre 10"~* et 10* ont une partie entière composée de nchiffres; et leurs logarithmes, étant compris entre (n — l)etn, ont pour caractéristique (n — 1).

Donc la caractéristique du logarithme d'un nombre contient autant d^unités qu'il y a de chiffres dans la partie entière du nombre^ moins un.

374. Théorème. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise un nombre par une puissance de 10, la partie décimale de son logarithme n*est pas altérée; mais la caractéristique est augmentée ou diminuée (Fautant dCunités qu'il y en a dans l'exposant de la puissance,

£n effet, on a (505 et 568) :

log (o X 1 0") = log a + log 1 0* = log a + n ; et (569) : log j~ = log a — log 1 0" = log a — n.

tSk LIVRE IV.

57B. Construction des tables. On ne calcule et on n'inscrit dans les tables que les logarithmes des nombres entiers. Gomme tous ces logarithmes sont incommensurables (58S), on ne peut les calculer qu'avec une certaine approximation; on se contente, en général, des sept ou huit premières décimales.

La définition, que nous avons donnée (586), conduit à la valeur approchée du logarithme d'un nombre. Car, si l'on insère dans les progressions un nombre considérable de moyens, il y aura deux termes consécutifs de la progression par quotient, qui comprendront le nombre donné, et dont les logarithmes seront des valeurs approchées de son logarithme.

Mais ce procédé serait fort long et très-pénible ; et nous allons montrer, par un exemple, combien il exigerait d'opérations. Oa donne, d'ailleurs, dans la seconde partie de Talgèbre, pour le calcul des logarithmes, des méthodes beaucoup plus rapides.

Exemple. On demande le logarithme de 1855.

Comme 1855 est compris entre 1000 et 10000, son logarithme est compris entre 3 et 4. Si l'on insère un moyen entre 1000 et 10000 tians la progression par quotient, et un moyen entre 3 et 4 dans la progression par différence, on

trouve

a=VlOOOX 10000=3162,27766

pour valeur du premier, et 3,5 pour valeur du second. Ainsi *

3,5 =log a= log 3162,27766.

Comme 1855 est compris entre 1000 et a, son logarithme est compris entre 3 et 3,5. Si Ton insère un moyen entre 1000 et a dans la progression par quotient, et un moyen entre 3 et 3,5 dans la progression par différence, on trouve, pour le premier,

b^vTÔÔÔôzs 1778,2794,